Teemade mitmekesine lahkamine

Eesmärk

See kiht võtab ühe raske teema ja avab selle mitme vaate kaudu. Sama mõtet vaadatakse arvutusena, joonisena, sõnalise mudelina, tüüpvigadena ja kontrollküsimustena.

Seotud põhimaterjalid algavad referentskogust ja klassiõpikutest:

• Matemaatika kiirreferents;
• VIII klassi õpik;
• X klassi õpik.

Sisukorra harud

• üks teema nelja vaatega: mõiste, arvutus, joonis ja rakendus;
• tüüpvigade lahkamine: miks vale tee tundub usutav;
• eelduste kaart: mida peab enne oskama;
• õpetaja aruteluplaan: milliseid küsimusi klassis küsida;
• lapsevanema kodune kontroll: kuidas aidata ilma lahendust ette ütlemata.

Vaadete kontrollmaatriks

Iga haru peab hoidma eri lehed eri rollis. Kui kaks lehte vastavad samale küsimusele, tuleb need ühendada või üks neist kitsamaks teha.

Teemade kiirvalik

Esimene haru: funktsioonid

Funktsioon sobib eri õppijaprofiilide katsetamiseks, sest sama seost saab näha valemi, loo, tabeli, graafiku ja kontrollküsimusena. Haru ei ole üks pikk seletus, vaid väikeste lehtede kogum.

Funktsiooni haru on jaotatud eraldi lehtedeks:

• funktsioonide teejuht;
• tihe referents;
• õpetaja metoodika;
• õppimise karid;
• tempokale õppijale;
• pehme sissejuhatus;
• sammhaaval harjutajale;
• mängud ja harjutused.

Teine haru: ruutvõrrand

Ruutvõrrandi haru hoiab lahendamise, lahendivalemi tuletuse ja tüüpvigade kontrolli eraldi:

• ruutvõrrandi teejuht;
• lahendivalemi lihtne tuletus;
• täisruudu eraldamine;
• tüüpvigade kontroll;
• õpetaja metoodika.

Kolmas haru: protsendid ja suhted

Protsentide haru eristab osa leidmist, uue koguse leidmist, protsendipunkti ja suhte osadeks jagamist:

• protsentide ja suhete teejuht;
• pehme sissejuhatus;
• tihe referents;
• tüüpvigade kaart;
• mängud ja harjutused.

Neljas haru: vektorid

Vektorite haru hoiab eraldi nihke, liitmise ja kolmemõõtmelise ruumi mõtte:

• vektorite teejuht;
• nihe ja koordinaadid;
• vektorite liitmine;
• tasandilt ruumi;
• tüüpvigade ja jooniste kaart.

Viies haru: trigonomeetria

Trigonomeetria haru eristab kolmnurga külgede keelt, lihtvalemeid ja ringjoone üldistust:

• trigonomeetria teejuht;
• kolmnurga keel;
• $a,b,c$ ja lihtvalemid;
• nurk, ringjoon ja ühikring;
• tüüpvead ja õpetaja metoodika.

Kuues haru: tõestus

Tõestuse haru teeb nähtavaks vahe näite, põhjenduse, vastunäite ja üldise tõestuse vahel:

• tõestuse teejuht;
• mis on tõestus;
• tõestusviisid;
• vastunäide ja põhjendus.

Funktsioonid

Kasutuskaart

• Põhitase: 7.–9. klass.
• Eeldus: õpilane oskab koordinaate lugeda, tabelist väärtusi leida ja avaldisse arvu asendada.
• Eesmärk: valida õppija vajaduse järgi tihe, pehme, sammhaaval, metoodiline või süvendatud vaade.
• Järgmine samm: funktsioon kui sisendi ja väljundi seos.

Milleks see haru on?

Funktsioon on teema, kus üks mõte ilmub korraga mitmes keeles: tekst, tabel, valem, graafik ja olukorra tähendus. Selle haru eesmärk on hoida need vaated eraldi väikeste lehtedena, et õppija ei peaks korraga kõike seedima.

Seotud põhireferentsid:

• Koordinaatteljestik;
• Lineaarfunktsioon;
• Ruutfunktsioon.

Ühine näide

Rattalaenutus maksab 5 eurot alustuseks ja 2 eurot iga lisatunni eest.

Sama seos viies keeles:

• tekst: alustasu ja tunnitasu;
• valem: $h(t)=5+2t$;
• tabel: $t=0,1,2,3$ annab $h=5,7,9,11$;
• graafik: sirge algab punktist (0;5) ja tõuseb iga tunniga 2 eurot;
• tähendus: punkt (3;11) ütleb, et 3 lisatundi maksab kokku 11 eurot.

Tavaliselt alustatakse koolis tähistusest $f(x)$, aga see on kokkuleppeline nimi. Sama seost võib kirjutada $f(x)=5+2x$, $h(t)=5+2t$ või $g(a)=5+2a$, kui selgitad, mida sisend tähendab. Rattalaenutuses on $h$ mugav nimi, sest see meenutab hinda, ja $t$ meenutab tunde.

Väikesed alamlehed

• Parabooli kuus muutust - pildilugu nihutamisest, kuju muutmisest ja peegeldamisest.
• Graafikuvaatleja - viis valemikuju, muudetavad kordajad ja graafikute võrdlemine.
• Tihe referents - mõiste, valem, ühikud ja kontroll lühidalt.
• Õpetaja metoodika - rõhuasetused ja klassiküsimused.
• Õppimise karid - miks õpilane võib sisendi, väljundi ja graafiku segi ajada.
• Tempokale õppijale - üldistus, kahe punkti meetod ja mudeli piir.
• Pehme sissejuhatus - inimesele, kes tunneb, et matemaatika pole tema keel.
• Sammhaaval harjutajale - vahepealne tee: tabel, valem, graafik ja kontroll.
• Mängud ja harjutused - kuidas siduda seletus tegevusega.

Mida testida

Kas eri vaated aitavad eri õppijatel jõuda sama kontrollini: sisend, väljund, muutus ja algväärtus peavad kõik olema tähendusega seotud?

Seotud lehed

• VIII klassi funktsioonide tee;
• Lineaarfunktsioon referentsis;
• Funktsioonile pihta mäng;
• järgmine soovitatud vaade: tihe referents.

Funktsioon: tihe referents

Mõiste

Funktsioon seab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja väljund on $y$, kirjutatakse sageli

$$y=f(x).$$

Siin $f$ on funktsiooni nimi ja $x$ on sisendmuutuja. Nimi võib olla ka $g$, $h$, $p$ või mõni muu täht; sisend võib olla $x$, $t$, $a$ jne. Näiteks $f(x)=5+2x$ ja $h(t)=5+2t$ kirjeldavad sama kujuga seost, kui $x$ ja $t$ tähendavad sama sisendit.

Lineaarfunktsioon on kujul

$$y=kx+b.$$

Siin on $k$ tõus ehk muutus ühe sisendiühiku kohta ja $b$ algväärtus ehk väärtus siis, kui $x=0$.

Näide

Rattalaenutuse fikseeritud tasu on 5 eurot ja sõiduaeg maksab 2 eurot tunnis. Fikseeritud tasu ei sisalda sõiduaega; ka poole tunni eest makstakse ajaga võrdeliselt. Kui $t\ge0$ on sõiduaeg tundides, siis hinnamudel on

$$h(t)=5+2t.$$

• sisend $t$: sõiduaeg tundides;
• väljund $h(t)$: selle sõidu koguhind eurodes;
• algväärtus $5$: fikseeritud tasu laenutuse alustamisel;
• tõus $2$: iga sõidutund suurendab hinda 2 euro võrra.

Kontroll:

$$h(3)=5+2\cdot3=11.$$

Seega maksab kolmetunnine sõit kokku 11 eurot.

Graafiku lugemine

Punkt (3;11) tähendab: sõiduaeg on 3 tundi ja koguhind 11 eurot. Kui punkt on graafikul, siis tema koordinaadid täidavad valemit. Kui punkt ei täida valemit, ei kuulu ta graafikule.

Minikontroll

1. Mis on mudelis $h(t)=5+2t$ sisend?
2. Mida tähendab $h(t)$?
3. Mida tähendab arv 2 koos ühikuga?
4. Kas punkt (4;13) kuulub funktsiooni $h(t)=5+2t$ graafikule?

Vastused: 1. sõiduaeg tundides; 2. sõidu koguhind eurodes; 3. 2 eurot tunnis; 4. jah, sest $5+2\cdot4=13$.

Seotud lehed

• Funktsioonide teejuht;
• Lineaarfunktsioon referentsis;
• Funktsioonile pihta.

Funktsioon: õpetaja metoodika

Õpetamise põhirõhk

Funktsiooni õpetamisel ei ole esimene eesmärk valemi mehaaniline kirjutamine. Esimene eesmärk on, et õpilane seoks neli asja: sisend, väljund, algväärtus ja muutus.

Rattalaenutus küsib 5 eurot fikseeritud tasu ja 2 eurot iga sõidutunni eest. Fikseeritud tasu ei sisalda sõiduaega. Aja eest tasutakse võrdeliselt, ka osalise tunni korral. Mudelis $h(t)=5+2t$, kus $t\ge0$, on tähtis, et õpilane ütleks:

• sisend $t$ on sõiduaeg tundides;
• väljund $h(t)$ on selle sõidu koguhind eurodes;
• $5$ on fikseeritud tasu eurodes;
• $2$ näitab tunnitasu: 2 eurot tunnis.

Too kohe nähtavale, et $h(t)$ ei ole uus reegel võrreldes tavapärase $f(x)$ kujuga. $h$ on funktsiooni nimi, $t$ on sisend ja $h(t)$ on väärtus selle sisendi korral. Sama mudeli võiks kirjutada ka $f(x)=5+2x$, kui $x$ tähendaks sõiduaega tundides.

Klassiküsimused

Küsi järjest:

1. Mis muutub?
2. Millest see sõltub?
3. Mis on väärtus alguses?
4. Kui sisend kasvab ühe võrra, mis juhtub väljundiga?
5. Kuidas sama seos paistab tabelis?
6. Milline punkt kontrollib valemit kõige kiiremini?

Diagnostiline ülesanne

Anna tabel:

Palu õpilasel kirjutada üks lause, üks valem ja üks graafiku kirjeldus. Kui üks neist kolmest on vale, on näha, milline esitusviis vajab eraldi tuge.

Õppimise tüüpilised karid on eraldi kaardina: Funktsioon: õppimise karid.

Hea tagasiside

Ära ütle ainult "vale valem". Täpsusta, milline osa jäi tähenduseta:

• "Tõus on õige, aga algväärtus puudub."
• "Valem arvutab hinda, aga sa nimetasid sisendiks hinna."
• "Punkt on õige, kuid telgede tähendus on vahetuses."

Seotud lehed

• Lineaarfunktsioon referentsis;
• VIII klassi õpik;
• Funktsioonide teejuht;
• Funktsioon: õppimise karid;
• Lineaarfunktsiooni kontroll.

Funktsioon: õppimise karid

Mis teeb funktsiooni õppimise keeruliseks?

Funktsiooni õppimisel ei valmista raskusi ainult arvutamine. Sama seost tuleb osata kirjeldada sõnade, valemi, tabeli ja graafiku abil ning mõista, kuidas need esitused kokku sobivad.

Tüüpilised probleemid ja vääritimõistmised

• Õpilane vahetab sisendi ja väljundi: $t$ on aeg, aga $h(t)$ on hind.
• $b$ leitakse suvalisest tabelireast, mitte kohast $x=0$.
• Tõusu kirjeldatakse ühikuta arvuna, kuigi tekstülesandes on see näiteks eurot tunnis.
• Punkt (3;11) loetakse "3 eurot ja 11 tundi", kuigi tähendus on 3 tundi ja 11 eurot.
• Graafikut nähakse pildina, mitte kõigi valemit täitvate punktide kogumina.
• Sõnalises ülesandes ei otsustata, kas küsitakse väärtust, muutust või mudelit.

Kiire parandustee

Enne arvutamist lase õppijal täita kolm lauset:

1. Sisend on ...
2. Väljund on ...
3. Kui sisend kasvab ühe võrra, siis väljund ...

Rattalaenutuse näites on fikseeritud tasu 5 eurot ja iga sõidutunni eest lisandub 2 eurot. Fikseeritud tasu ei sisalda sõiduaega. Sisend on sõiduaeg tundides ja väljund koguhind eurodes. Selles lineaarses mudelis lisab iga tund sama summa; suvalise funktsiooni puhul ei pea võrdsetele sisendi muutustele vastama võrdsed väljundi muutused.

Kontrollküsimus

Kui valem on $h(t)=5+2t$, siis mida tähendab punkt (4;13)?

Õige vastus ei ole ainult arvupaar. Õige vastus on lause: neljatunnine sõit maksab kokku 13 eurot.

Seotud lehed

• Lineaarfunktsioon referentsis;
• VIII klassi õpik;
• Funktsioonide teejuht;
• Funktsioon: õpetaja metoodika;
• Funktsioonile pihta.

Funktsioon: tempokale õppijale

Üldistus

Rattalaenutuse fikseeritud tasu on 5 eurot ja iga sõidutunni eest lisandub 2 eurot. Fikseeritud tasu ei sisalda sõiduaega. Aja eest makstakse võrdeliselt, ka osalise tunni korral.

Kui fikseeritud tasu on $a$ ja tunnitasu $r$, siis sõiduaja $t\ge0$ korral on koguhinna mudel

$$h(t)=a+rt.$$

Rattalaenutuse puhul on $a=5$ ja $r=2$.

Siin on $h$ lihtsalt funktsiooni nimi ning $t$ sisendmuutuja. Tavapärane $f(x)=a+rx$ on sama üldkuju teise tähistusega.

Kahe punkti meetod

Kui tead kahte punkti, saad tõusu:

$$r=\frac{\Delta h}{\Delta t}.$$

Kui graafik läbib punkte (1;7) ja (4;13), siis

$$r=\frac{13-7}{4-1}=2.$$

Sõiduaeg suureneb $4-1=3$ tunni võrra ja hind $13-7=6$ euro võrra. Ühe tunni kohta on muutus seega $6:3=2$ eurot.

Seejärel leia algväärtus:

$$7=a+2\cdot1,$$

seega $a=5$ ja mudel on

$$h(t)=5+2t.$$

Mudeli piir

Lineaarne mudel ütleb, et iga järgmine tund lisab sama palju. See ei pruugi enam kehtida, kui:

• pärast viiendat tundi rakendub päevapilet;
• esimene tund maksab teisiti kui järgmised;
• hind ümardatakse täiseurodeni;
• teenusel on miinimum- või maksimumhind.

Kiirkontroll

Leia lineaarfunktsioon, mille graafik läbib punktid (2;9) ja (6;21).

Sisend muutub $6-2=4$ ühikut ja väljund $21-9=12$ ühikut. Tõus on väljundi muutus ühe sisendiühiku kohta:

$$r=\frac{21-9}{6-2}=3.$$

Algväärtus:

$$9=a+3\cdot2,$$

seega $a=3$ ja mudel on $h(t)=3+3t$.

Edasi mõtlemiseks

Mis muutub, kui lisatasu ei ole püsiv, vaid iga järgmine tund on eelmisest kallim? Siis ei piisa sirgest ja tuleb otsida teist tüüpi funktsiooni.

Seotud lehed

• Funktsioonide teejuht;
• Funktsioonide teisendused;
• Ruutfunktsioon.

Funktsioon: pehme sissejuhatus

Mis on funktsioon?

Funktsioon kirjeldab, kuidas väljund sõltub sisendist. Igale lubatud sisendile vastab täpselt üks väljund.

Rattalaenutuses võib sisend olla sõiduaeg ja väljund selle sõidu koguhind. Hinnakiri määrab, kuidas aega teades hinda arvutada.

Lugu

Rattalaenutuse fikseeritud tasu on 5 eurot. See ei sisalda sõiduaega. Iga sõidutund maksab lisaks 2 eurot; poole tunni eest lisandub 1 euro.

Kui sõidad 3 tundi, lisad fikseeritud tasule kolme tunni tasu:

$$5+2+2+2=11.$$

Valem

$$h(t)=5+2t$$

kirjeldab sama arvutust: 5 eurole lisandub 2 eurot iga sõidutunni eest. $t\ge0$ tähistab sõiduaega tundides ja $h(t)$ koguhinda eurodes.

Tähistuses $h(t)$ on $h$ funktsiooni nimi ja $t$ sisend. Näiteks $h(3)=11$ tähendab, et kolmetunnise sõidu koguhind on 11 eurot. Tavapärast tähistust $f(x)$ loetakse samamoodi.

Kuidas graafikut vaadata

Horisontaalteljelt loed sõiduaega ja vertikaalteljelt koguhinda:

• laenutuse alustamisel ehk ajal $t=0$ on fikseeritud tasu 5 eurot;
• ühetunnine sõit maksab 7 eurot;
• kahetunnine sõit maksab 9 eurot;
• kolmetunnine sõit maksab 11 eurot.

Punktid asuvad ühel sirgel, sest võrdsele sõiduaja pikenemisele vastab alati sama hinnalisa. Sirge vahepealsed punktid vastavad osalistele tundidele. Negatiivne sõiduaeg selles mudelis ei sobi; joonisel on näidatud esimesed neli tundi.

Kontrolli arusaamist

1. Miks on mudelis $h(0)=5$, mitte 0?
2. Miks lisandub kolmetunnise sõidu eest fikseeritud tasule 6 eurot?

Vastused: 1. Laenutuse alustamisel tuleb maksta 5 eurot fikseeritud tasu. 2. Iga tund maksab 2 eurot ja $3\cdot2=6$.

Seotud lehed

• Lineaarfunktsioon referentsis;
• VIII klassi õpik;
• Funktsioonide teejuht;
• Funktsioon: sammhaaval harjutajale;
• Funktsioonile pihta.

Funktsioon: sammhaaval harjutajale

Tööjärjekord

Lineaarfunktsiooni ülesannet lahendades mõtle kolmele küsimusele:

1. Mis on sisend?
2. Mis on väljund?
3. Kuidas väljund muutub, kui sisend muutub?

Rattalaenutuse fikseeritud tasu on 5 eurot ja sõiduaeg maksab 2 eurot tunnis. Fikseeritud tasu ei sisalda sõiduaega; ka osalise tunni eest tasutakse ajaga võrdeliselt. Mudelis $h(t)=5+2t$, kus $t\ge0$, on sisend $t$ sõiduaeg tundides ja väljund $h(t)$ koguhind eurodes.

Lineaarfunktsioonis vastab võrdsetele sisendi muutustele alati sama väljundi muutus. Sisend ei pea muutuma ühe võrra: poole tunni lisandumisel kasvab hind 1 euro võrra ja kahe tunni lisandumisel 4 euro võrra. Ühe tunni kohta arvutatud muutus ehk tõus on 2 eurot tunnis. Kõigil funktsioonidel ei ole muutumiskiirus püsiv.

Kui oled harjunud kujuga $f(x)$, siis loe $h(t)$ samamoodi: $h$ on funktsiooni nimi, $t$ on sisend ja $h(t)$ on tulemus. Tähed vahetuvad, aga küsimused jäävad samaks: mis pannakse sisse ja mis tuleb välja?

Tee tabel

Tabelis suureneb sõiduaeg igas reas ühe tunni võrra ja hind 2 euro võrra.

Kontrolli punktiga

Kas punkt (4;13) kuulub funktsiooni $h(t)=5+2t$ graafikule?

Asenda $t=4$:

$$h(4)=5+2\cdot4=13.$$

Jah, punkt kuulub graafikule.

Kas punkt (4;12) kuulub graafikule?

Ei, sest sama sisendi korral annab valem 13, mitte 12.

Väike harjutus

Mudelis $p(x)=3+4x$:

1. mis on algväärtus?
2. mis on muutus ühe $x$ võrra?
3. leia $p(5)$;
4. kas punkt (5;23) on graafikul?

Vastused: 1. 3; 2. 4; 3. 23; 4. jah.

Seotud lehed

• Lineaarfunktsioon referentsis;
• VIII klassi õpik;
• Funktsioonide teejuht;
• Funktsioon: tihe referents;
• Lineaarfunktsiooni kontroll.

Funktsioonid: mängud ja harjutused

Mida tegevusega kinnistada?

Funktsiooni puhul peab tegevus aitama näha, et graafik ei ole taustapilt, vaid punktide kogum. Iga punkt sobib graafikule ainult siis, kui sama sisendi korral annab valem sama väljundi.

Sobivad tegevused

• Graafikuvaatleja - vaba katsetamine lineaar-, ruut- ja kuupfunktsiooniga, ilma skoori ja ajapiiranguta.
• Parabooli kuus muutust - kuus eraldi joonist, igaühelt otsetee samasse näitesse graafikuvaatlejas.
• Funktsioonile pihta - õpilane klõpsab koordinaatteljestikul ja saab kohe tagasisidet, kas punkt sobib graafikule.
• Lineaarfunktsiooni kontroll - õpilane kontrollib tõusu, algväärtust, sisendit ja väljundit sammhaaval.

Millal kasutada?

Pärast tihedat referentsi sobib interaktiivne kontroll, sest seal peab õppija nimetama seose osi. Pärast pehmet sissejuhatust sobib mäng, sest mängu tagasiside teeb nähtavaks, et punkt võib olla lähedal, aga mitte täpselt funktsioonil.

Õpetaja lisasoovitused

Pärast mängu küsi: "Miks roheline punkt oli õige?" Kui vastus on "sest ta oli joone peal", küsi edasi: "Mis valemiga seda kontrollida saab?" Nii liigub õpilane pildilt tagasi matemaatilisse põhjendusse.

Seotud lehed

• Funktsioonide teejuht;
• Funktsioon: õppimise karid;
• Lineaarfunktsioon referentsis.

Parabooli kuus muutust

Kaisa ja õpirobot katsetavad matemaatikatunnis, kuidas üks valem graafikut muudab. Ruutfunktsiooni tunned 9. klassist; nihked ja kuju võrdlemine sobivad 10. klassi süvenduseks.

Ava graafikuvaatleja. Iga pildi all olev link avab seal sama näite. Pidev sinine joon näitab uut graafikut, hall katkendjoon võrdlusgraafikut.

1. Alustame tuttavast

Kaisa: „Kui $x=2$, siis $y=4$. Aga kui $x=-2$?”

Robot: „Ikka $4$. Graafik on sümmeetriline $y$-telje suhtes. Madalaim punkt on $(0;0)$.”

Katseta algparabooliga.

2. Tõstame üles

Kaisa: „Lisan igale tulemusele ühe: $y=x^2+1$.”

Robot: „Kõik punktid tõusevad ühe ühiku võrra. Näiteks $(2;4)$ asemel on nüüd $(2;5)$. Haripunkt liigub punkti $(0;1)$.”

Katseta nihkega üles.

3. Liigume paremale

Kaisa: „Kirjutan $y=(x-2)^2+1$. Miinus kaks, aga graafik liigub paremale?”

Robot: „Ruut on kõige väiksem siis, kui sulgudes on null. Nüüd juhtub see kohal $x=2$. Haripunkt on $(2;1)$, kaks ühikut paremal.”

Katseta nihkega paremale.

4. Teeme kitsamaks

Kaisa: „Korrutan ruutliikme kahega: $y=2(x-2)^2+1$.”

Robot: „Haripunkt ei muutu. Kuid kõrgus üle joone $y=1$ kahekordistub: kohal $x=3$ on $y$ nüüd $3$, varem oli $2$. Harud on sümmeetriateljele lähemal, kui võrdled neid samal kõrgusel.”

Katseta kitsama parabooliga.

5. Teeme laiemaks

Kaisa: „Alustan taas valemist $(x-2)^2+1$ ja korrutan ruutliikme poolega.”

Robot: „Siis $y=0{,}5(x-2)^2+1$. Kõrgus üle joone $y=1$ väheneb poole võrra. Kohal $x=4$ saame $y=3$, mitte $5$. Graafik on laiem.”

Katseta laiema parabooliga.

6. Pöörame harud alla

Kaisa: „Panen ruutliikme ette miinuse: $y=-(x-2)^2+1$.”

Robot: „Võrreldes graafikuga $(x-2)^2+1$ vahetuvad sama kaugel sirgest $y=1$ olevad punktid. See on peegeldus selle sirge suhtes. Haripunkt $(2;1)$ on nüüd kõrgeim punkt.”

Katseta allapoole avaneva parabooliga.

Proovi ise

Leia graafikuvaatlejas $y=x^2+2$ ja jäta see mällu. Muuda ainult vabaliige väärtuseks $-1$. Kui palju ja mis suunas haripunkt liikus?

Edasi

• Ruutfunktsioon.
• Funktsioonide teisendused.
• Funktsioonide eri käsitlused.

Tegelaste illustratsioon on loodud OpenAI pildimudeliga. Graafikud on arvutatud valemitest. See on Mapiku oma seletus, mitte viidatud video tõlge või kaadrite koopia.

Ruutvõrrand

Kasutuskaart

• Põhitase: 9. klass.
• Eeldus: õpilane oskab hulkliikmeid teisendada, tegurdada ja lahendada lineaarvõrrandit.
• Eesmärk: eristada lahendusvõtted, lahendivalemi lihtne tuletus ja tulemuse kontroll.
• Järgmine samm: ruutvõrrand.

Milleks see haru on?

Ruutvõrrandi juures on kaks eri asja, mida ei tasu ühte pikka seletusse kokku suruda:

• kuidas konkreetset võrrandit lahendada;
• kust üldine lahendivalem tuleb.

See haru hoiab need eraldi. Õpilane saab alustada lihtsast arvutusest, liikuda täisruudu eraldamise mõtteni ja alles siis vaadata üldist valemit.

Seotud põhireferentsid:

• Ruutvõrrand;
• Ruutfunktsioon;
• Hulkliikmed ja tegurdamine.

Väikesed alamlehed

• Lahendivalemi lihtne tuletus - sammud ilma liigse üldistuseta.
• Täisruudu eraldamine - miks sama lisaliikme liitmine ja lahutamine annab õige tulemuse.
• Tüüpvigade kontroll - märgid, $\pm$, diskriminant ja asenduskontroll.
• Õpetaja metoodika - kuidas teemat klassis järjestada.

Ühine näide

Võrrand

$$x^2+6x+5=0$$

sobib esimeseks näiteks, sest selle saab lahendada ruutu täiendades:

$$x^2+6x+9-9+5=0,$$

$$(x+3)^2-4=0.$$

Nii on näha, et lahendid ei teki valemist tühjalt kohalt, vaid täisruudu ideest.

Seotud lehed

• IX klassi ruutmudeli tee;
• Ruutvõrrand referentsis;
• Ruutfunktsioon referentsis;
• järgmine soovitatud vaade: lahendivalemi lihtne tuletus.

Ruutvõrrand: lahendivalemi lihtne tuletus

Idee

Lahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on saada võrrand kujule, kus vasakul on ruut ja seejärel saab võtta ruutjuure.

Alustame üldkujust:

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Jagame kõik liikmed arvuga $a$:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

Liida ja lahuta sama lisaliige

Tahame, et kaks esimest liiget kuuluksid täisruutu. Selleks liidame ja lahutame sama lisaliikme:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Esimesed kolm liiget moodustavad täisruudu:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Viime ülejäänud liikmed paremale:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}.$$

Ühine nimetaja annab:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

Ruutjuur ja vastus

Ruutjuurt võttes on kaks võimalust:

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Viime $\frac{b}{2a}$ teisele poole:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

See on ruutvõrrandi lahendivalem.

Miks see võte annab õige tulemuse?

Sest liitsime ja lahutasime sama arvu. Võrrandi väärtus ei muutunud, aga vasakul tekkis täisruut. Täisruudu tunneb ära valemist

$$(x+p)^2=x^2+2px+p^2.$$

Siin on $p=\frac{b}{2a}$, sest siis $2px=\frac{b}{a}x$.

Seotud lehed

• Ruutvõrrandi teejuht;
• Täisruudu eraldamine;
• Ruutvõrrand referentsis.

Ruutvõrrand: täisruudu eraldamine

Konkreetne näide

Võtame võrrandi

$$x^2+6x+5=0.$$

Kaks esimest liiget $x^2+6x$ tahame muuta täisruuduks. Kuna

$$(x+3)^2=x^2+6x+9,$$

siis tuleb juurde panna 9. Aga kui ainult liidame 9, muudame võrrandit. Seepärast liidame ja lahutame 9:

$$x^2+6x+9-9+5=0.$$

Nüüd esimesed kolm liiget moodustavad täisruudu:

$$(x+3)^2-4=0.$$

Seega

$$(x+3)^2=4.$$

Ruutjuure võtmisel tuleb kaks võimalust:

$$x+3=\pm2.$$

Lahendid:

$$x=-1\quad\text{või}\quad x=-5.$$

Mida õpilane peab märkama?

Lisaliige ei tule suvaliselt. Kui avaldis on $x^2+6x$, siis võtame $6$ pooleks ja ruutu:

$$\left(\frac{6}{2}\right)^2=3^2=9.$$

Üldiselt avaldise $x^2+px$ puhul on lisaliige

$$\left(\frac{p}{2}\right)^2.$$

Graafiku tähendus

Sama võrrandi lahendid on ruutfunktsiooni $y=x^2+6x+5$ nullkohad. Need on kohad, kus parabool lõikab $x$-telge: $x=-5$ ja $x=-1$.

Seotud lehed

• Lahendivalemi lihtne tuletus;
• Ruutfunktsioon;
• Tüüpvigade kontroll.

Ruutvõrrand: tüüpvigade kontroll

Tüüpviga 1: lisaliige muudab võrrandit

Vale:

$$x^2+6x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+6x+9+5=0.$$

Siin lisati 9, aga ei lahutatud 9. Võrrand muutus.

Õige:

$$x^2+6x+9-9+5=0.$$

Tüüpviga 2: ruutjuurel ununeb kaks märki

Kui

$$(x+3)^2=4,$$

siis

$$x+3=\pm2,$$

mitte ainult $x+3=2$.

Tüüpviga 3: diskriminandi märk jäetakse vaatamata

Diskriminant

$$D=b^2-4ac$$

ütleb, mitu reaalarvulist lahendit on:

• $D>0$: kaks lahendit;
• $D=0$: üks kahekordne lahend;
• $D<0$: reaalarvulisi lahendeid ei ole.

Kontroll asendamisega

Kui leidsid lahendid $x=-1$ ja $x=-5$ võrrandile

$$x^2+6x+5=0,$$

kontrolli vähemalt üht:

$$(-1)^2+6\cdot(-1)+5=1-6+5=0.$$

Kui vasak pool annab 0, sobib lahend algsesse võrrandisse.

Seotud lehed

• Täisruudu eraldamine;
• Ruutvõrrand referentsis;
• Õpetaja metoodika.

Ruutvõrrand: õpetaja metoodika

Järjekord klassis

Ruutvõrrandi lahendivalemit ei tasu alustada valmis valemist. Mõistlik järjestus on:

1. nullkorrutise reegel ja tegurdamine;
2. lihtne täisruudu eraldamine konkreetse näitega;
3. sama mõtte üldistamine;
4. diskriminandi tähendus;
5. valemi kasutamine ainult siis, kui kordajad on õigesti loetud.

Küsimused, mis hoiavad tähendust

• Mis on võrrandi üldkujus $a$, $b$, $c$?
• Kas kõik liikmed on viidud ühele poole?
• Kas avaldist saab tegurdada enne lahendivalemi kasutamist?
• Mida tähendab lahend graafikul?
• Kuidas kontrollida vastust algses võrrandis?

Diagnostiline ülesanne

Anna kolm võrrandit:

1. $x^2-5x+6=0$
2. $x^2+6x+5=0$
3. $2x^2+3x-2=0$

Palu õpilasel igaühe juurde kirjutada, millist meetodit ta kasutaks: tegurdamine, täisruudu eraldamine või lahendivalem. Tähtis ei ole ainult vastus, vaid meetodi valiku põhjus.

Tagasiside laused

• "Kordajad on õiged, nüüd kontrolli diskriminandi märki."
• "Ruutjuure sammus jäi teine lahend kaduma."
• "Täisruudu idee on õige, aga lisaliige tuleb ka lahutada."
• "Vastus võib olla õige, aga kontrolli see algses võrrandis."

Seotud lehed

• Ruutvõrrandi teejuht;
• Tüüpvigade kontroll;
• Ruutvõrrand referentsis.

Protsendid ja suhted

Kasutuskaart

• Põhitase: 6.–7. klass.
• Eeldus: õpilane mõistab murdu osana tervikust ja oskab kümnendmurde korrutada ning jagada.
• Eesmärk: eristada protsendi alus, osa, uus kogus, protsendipunkt ja suhtega jagamine.
• Järgmine samm: protsendid, suhted ja võrded.

Milleks see haru on?

Protsendiülesanded lähevad tihti sassi mitte sellepärast, et arvutamine on raske, vaid sellepärast, et enne arvutamist ei küsita: "Millest protsent võetakse?"

See haru hoiab eraldi:

• osa-terviku pehme mõtte;
• tiheda arvutusreegli;
• protsendi, protsendipunkti ja suhte tüüpvigade kaardi;
• mängud, mis aitavad otsustada, millist arvutusviisi kasutada.

Seotud põhireferents:

• Protsendid, suhted ja võrded.

Väikesed alamlehed

• Pehme sissejuhatus - protsent kui osa sajast ja osa tervikust.
• Tihe referents - põhivalemid ja otsustusküsimused.
• Tüüpvigade kaart - alus, protsendipunkt ja suhe.
• Mängud ja harjutused - millal kasutada protsendirallit ja murdu-protsenti mängu.

Kolm keskset küsimust

1. Mis on tervik ehk 100%?
2. Kas otsitakse osa, uut kogust või muutuse protsenti?
3. Kas võrreldakse arve või protsendimäärasid?

Seotud lehed

• VI klassi protsentide tee;
• Protsendid, suhted ja võrded referentsis;
• Protsendiralli mäng;
• järgmine soovitatud vaade: pehme sissejuhatus.

Protsendid ja suhted: pehme sissejuhatus

Protsent kui "sajast"

Protsent tähendab osa sajast. Kui pildil oleks 100 võrdset ruutu ja neist 25 oleks värvitud, siis värvitud osa on 25%.

Sama mõte arvuna:

$$25\%=\frac{25}{100}=0,25=\frac14.$$

Alusta tervikust

Kõige tähtsam küsimus on:

> Millest see protsent võetakse?

Kui 25% võetakse 80 eurost, siis otsitakse veerandit 80 eurost:

$$80\cdot0,25=20.$$

Kui 25% võetakse 200 eurost, on vastus teine:

$$200\cdot0,25=50.$$

Protsent ise on sama, aga tervik on teine.

Suhe kui osade keel

Suhe $2:3$ ei tähenda, et esimene osa on $\frac23$ tervikust. Kokku on

$$2+3=5$$

osa. Esimene suurus on tervikust $\frac25$ ja teine $\frac35$.

Seotud lehed

• Protsendid ja suhted: teejuht;
• Murru ja protsendi paarid;
• Protsendid, suhted ja võrded referentsis.

Protsendid ja suhted: tihe referents

Põhiseosed

Protsent:

$$1\%=\frac1{100}=0,01.$$

Arvu $p\%$ leidmine arvust $A$:

$$\frac{p}{100}\cdot A.$$

Kasv $p\%$:

$$A\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right).$$

Vähenemine $p\%$:

$$A\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right).$$

Protsendiline muutus vanalt väärtuselt $V$ uuele väärtusele $U$:

$$\frac{U-V}{V}\cdot100\%.$$

Võrre

Kui

$$\frac ab=\frac cd,$$

siis ristkorrutis annab

$$a\cdot d=b\cdot c.$$

Miniotsustus

• Kui küsitakse "mitu eurot on 15% arvust 80", leia osa: $80\cdot0,15$.
• Kui küsitakse "mis on uus hind pärast 15% tõusu", leia uus kogus: $80\cdot1,15$.
• Kui võrreldakse 3% ja 5%, räägitakse protsendipunktidest või suhtelisest muutusest.

Seotud lehed

• Protsendid ja suhted: tüüpvigade kaart;
• Protsendiralli;
• Protsendid, suhted ja võrded referentsis.

Protsendid ja suhted: tüüpvigade kaart

Tüüpviga 1: protsent võetakse valest tervikust

Kui hind 80 eurot tõuseb 15%, siis tõus on

$$80\cdot0,15=12.$$

Uus hind on

$$80+12=92.$$

Kui hiljem 92 eurot langeb 15%, siis 15% võetakse 92 eurost, mitte vanast 80 eurost:

$$92\cdot0,85=78,20.$$

Tüüpviga 2: protsent ja protsendipunkt lähevad segi

Kui intress tõuseb 3% pealt 5% peale, siis muutus on 2 protsendipunkti.

Suhteline kasv on aga

$$\frac{5-3}{3}\cdot100\%\approx66,7\%.$$

Need kaks vastust kirjeldavad eri asja.

Tüüpviga 3: suhe loetakse murruks valesti

Suhe $2:3$ tähendab kokku 5 osa. Esimese suuruse osa tervikust on

$$\frac{2}{2+3}=\frac25.$$

See ei ole $\frac23$.

Kontrollküsimus

Enne arvutamist kirjuta üks lause:

> 100% on ...

Kui see lause puudub, on väga lihtne võtta protsent valest alusest.

Seotud lehed

• Protsendid ja suhted: tihe referents;
• Protsendiralli;
• Protsendid, suhted ja võrded referentsis.

Protsendid ja suhted: mängud ja harjutused

Millist oskust tegevus treenib?

Protsendiülesandes peab õppija enne arvutamist valima arvutusviisi. Kas otsitakse osa, uut hinda, muutust või protsendipunkti? Mäng peab seda otsust nähtavaks tegema.

Sobivad tegevused

• Protsendiralli - valik, kas olukord küsib protsenti, protsendipunkti või uut hinda.
• Murru ja protsendi paarid - kiired vastavused: $\frac12=50\%$, $\frac14=25\%$, $\frac34=75\%$.

Millal kasutada?

Murru ja protsendi paarid sobivad enne uut teemat või soojenduseks. Protsendiralli sobib pärast põhiseoseid, sest seal peab õppija otsustama, mida ülesanne tegelikult küsib.

Õpetaja lisasoovitused

Pärast mängu küsi: "Mis oli 100% selles ülesandes?" Kui õpilane oskab selle öelda, on arvutusel alus olemas.

Seotud lehed

• Protsendid ja suhted: teejuht;
• Protsendid ja suhted: tüüpvigade kaart;
• Protsendid, suhted ja võrded referentsis.

Vektorid

Kasutuskaart

• Põhitase: 10. klass.
• Eeldus: õpilane oskab koordinaate lugeda, kasutada Pythagorase teoreemi ja eristada punkti asukohta liikumisest.
• Eesmärk: ehitada nihkest komponentide, liitmise ja kolmemõõtmelise vektorini ühtne mõiste.
• Järgmine samm: vektorid.

Milleks see haru on?

Vektorite juures tuleb eraldi hoida kaks mõtet:

• punkt on asukoht;
• vektor on nihe.

Kui need segi lähevad, muutuvad ka koordinaadid, liitmine ja kolmemõõtmelised vektorid raskeks. See haru jagab teema väikesteks lehtedeks: nihe, liitmine, üleminek tasandilt ruumi ja jooniste lugemine.

Seotud põhireferents:

• Vektorid;
• Koordinaatteljestik;
• Pythagoras ja sarnasus.

Väikesed alamlehed

• Nihe ja koordinaadid - vektor kui liikumine punktist punkti.
• Vektorite liitmine - järjestikune liitmine ja komponentide summa.
• Tasandilt ruumi - miks kolmas komponent on uus suund.
• Tüüpvigade ja jooniste kaart - punkt/vektor, suund, pikkus ja ruudustik.

Ühine näide

Neli järjestikust vektorit:

$$(2;3)+(4;-2)+(1;4)+(2;-1)=(9;4).$$

Joonisel tähendab see: alustad punktist (0;0), liigud nelja nihke kaupa ja jõuad punkti (9;4).

Seotud lehed

• X klassi vektorite tee;
• Vektorid referentsis;
• Vektorite liitmise animatsioon;
• järgmine soovitatud vaade: nihe ja koordinaadid.

Vektorid: nihe ja koordinaadid

Vektor ei ole punkt

Punkt (3;2) ütleb, kus sa asud. Vektor (3;2) ütleb, kuidas liikuda: 3 ühikut paremale ja 2 ühikut üles.

Sama koordinaatpaar võib seega tähendada eri asja:

• punkt: asukoht teljestikul;
• vektor: nihe ühest kohast teise.

Kahe punkti vahe

Kui vektor viib punktist $A(x_1;y_1)$ punkti $B(x_2;y_2)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1).$$

Näide:

$$A(1;2),\quad B(4;6).$$

Siis

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;4).$$

See tähendab: punktist $A$ punkti $B$ liikumiseks tuleb minna 3 ühikut paremale ja 4 ühikut üles.

Vastassuund

Kui

$$\overrightarrow{AB}=(3;4),$$

siis

$$\overrightarrow{BA}=(-3;-4).$$

Sama tee teistpidi annab vastandvektori.

Seotud lehed

• Vektorite teejuht;
• Vektorid referentsis;
• Vektorite liitmine.

Vektorid: vektorite liitmine

Järjestikune mõte

Vektorite liitmisel võib mõelda liikumiste jadana:

1. tee esimene nihe;
2. alusta teist nihet esimese lõpust;
3. summa läheb algpunktist lõpp-punkti.

Näide:

$$(2;3)+(4;-2)+(1;4)+(2;-1).$$

Liidame komponendid:

$$x:\quad 2+4+1+2=9,$$

$$y:\quad 3-2+4-1=4.$$

Seega

$$(2;3)+(4;-2)+(1;4)+(2;-1)=(9;4).$$

Rühmitamine

Vektoreid võib rühmitada:

$$(2;3)+(4;-2)=(6;1),$$

$$(1;4)+(2;-1)=(3;3),$$

$$(6;1)+(3;3)=(9;4).$$

See annab sama lõpp-punkti.

Seotud animatsioon

Vektorite liitmise animatsioon näitab sama mõtet sammude kaupa.

Seotud lehed

• Vektorid referentsis;
• X klassi õpik;
• Vektorite teejuht;
• Nihe ja koordinaadid;
• Tüüpvigade ja jooniste kaart.

Vektorid: tasandilt ruumi

Kahemõõtmeline ehk 2D-vektor

Tasandil on vektoril kaks komponenti:

$$(x;y).$$

Näiteks (2;3) tähendab 2 ühikut $x$-suunas ja 3 ühikut $y$-suunas.

Kolmemõõtmeline ehk 3D-vektor

Ruumis lisandub kolmas suund:

$$(x;y;z).$$

Näiteks

$$(2;3;1)$$

tähendab:

• 2 ühikut $x$-suunas;
• 3 ühikut $y$-suunas;
• 1 ühik $z$-suunas.

Tehted ei muutu

Kolmemõõtmelisi vektoreid liidetakse samuti komponentide kaupa:

$$(1;2;3)+(4;-2;0)=(5;0;3).$$

Pikkuse valemisse lisandub üks liige:

$$|(x;y;z)|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Näide:

$$|(2;3;1)|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}.$$

Seotud lehed

• Vektorite teejuht;
• Vektorid referentsis;
• Ruumigeomeetria.

Vektorid: tüüpvigade ja jooniste kaart

Tüüpviga 1: punkt ja vektor lähevad segi

Punkt (3;2) on asukoht. Vektor (3;2) on nihe.

Kontrollküsimus:

> Kas see paar ütleb, kus asi on, või kuidas ta liigub?

Tüüpviga 2: liidetakse pikkusi, mitte vektoreid

Kui küsitakse vektorite summat, liida kõigepealt komponendid:

$$(2;1)+(3;-2)=(5;-1).$$

Alles pärast seda leia vajadusel summa pikkus:

$$|(5;-1)|=\sqrt{26}.$$

Tüüpviga 3: ruudustiku punktid ei klapi

Joonisel peab iga vektori algus ja lõpp olema ruudustiku tippudes, kui komponendid on täisarvud. Kui vektor on (4;-2), siis lõpp peab olema 4 sammu paremal ja 2 sammu allpool algust.

Tüüpviga 4: suund läheb tagurpidi

$\overrightarrow{AB}$ ja $\overrightarrow{BA}$ on vastandvektorid. Kui üks on (4;-3), siis teine on

$$(-4;3).$$

Seotud lehed

• Vektorid referentsis;
• X klassi õpik;
• Nihe ja koordinaadid;
• Vektorite liitmine;
• Vektorite liitmise animatsioon.

Trigonomeetria

Kasutuskaart

• Põhitase: 9. klass; ühikring ja funktsioonivaade jätkuvad gümnaasiumis.
• Eeldus: õpilane tunneb täisnurkset kolmnurka, Pythagorase teoreemi ja võrde lahendamist.
• Eesmärk: siduda külgede nimetused, suhted sin, cos, tan ja nurga ringjoonevaade.
• Järgmine samm: trigonomeetria.

Milleks see haru on?

Trigonomeetria muutub lihtsamaks, kui eristada kolm kihti:

• täisnurkse kolmnurga külgede keel;
• valemid $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$;
• ringjoone ja ühikringi üldisem vaade.

See haru jagab need väikesteks lehtedeks. Esmalt nimetame küljed, siis kasutame $a,b,c$ tähistust ning alles siis seome nurga ringjoone ja funktsioonidega.

Seotud põhireferentsid:

• Trigonomeetria;
• Trigonomeetrilised funktsioonid;
• Pythagoras ja sarnasus.

Väikesed alamlehed

• Kolmnurga keel - hüpotenuus, lähiskaatet ja vastaskaatet.
• $a,b,c$ ja lihtvalemid - $\sin\alpha=a/c$, $\cos\alpha=b/c$, $\tan\alpha=a/b$.
• Nurk, ringjoon ja ühikring - kuidas kolmnurgast saab ringi ja funktsiooni vaade.
• Tüüpvead ja õpetaja metoodika - nurga valik, kaatetite vahetus ja kraadid/radiaanid.

Keskne kontroll

Enne valemit küsi:

1. Millist nurka vaadeldakse?
2. Milline külg on selle nurga vastas?
3. Milline külg on selle nurga kõrval?
4. Kas hüpotenuus osaleb valemis või võrreldakse kaht kaatetit?

Seotud lehed

• X klassi trigonomeetria tee;
• Trigonomeetria referentsis;
• Trigonomeetrilised funktsioonid referentsis;
• järgmine soovitatud vaade: kolmnurga keel.

Trigonomeetria: kolmnurga keel

Alusta nurgast

Täisnurkses kolmnurgas ei ole "vastaskaatet" ja "lähiskaatet" igavesed nimed. Need sõltuvad sellest, millist teravnurka vaadeldakse.

Kui vaadeldav nurk on $\alpha$, siis:

• hüpotenuus on täisnurga vastas olev pikim külg;
• vastaskaatet on nurga $\alpha$ vastas olev kaatet;
• lähiskaatet on nurga $\alpha$ kõrval olev kaatet.

Miks nurk enne külge?

Kui valid teise teravnurga, vahetuvad vastaskaatet ja lähiskaatet omavahel. Hüpotenuus jääb samaks.

Seepärast on esimene töö alati:

> Märgi vaadeldav nurk.

Alles siis vali, milline kaatet on vastas ja milline kõrval.

Väike kontroll

Kui ülesanne ütleb "nurga $\alpha$ vastaskaatet", ära otsi lihtsalt "püstist külge" või "parempoolset külge". Vaata, milline külg jääb just nurga $\alpha$ vastaspoolele.

Seotud lehed

• Trigonomeetria teejuht;
• $a,b,c$ ja lihtvalemid;
• Trigonomeetria referentsis.

Trigonomeetria: sin, cos, tan, a, b, c

Tähistus pildilt

Selles vaates kasutame:

• $a$ - nurga $\alpha$ vastaskaatet;
• $b$ - nurga $\alpha$ lähiskaatet;
• $c$ - hüpotenuus.

Siis on põhiseosed:

$$\sin\alpha=\frac ac,$$

$$\cos\alpha=\frac bc,$$

$$\tan\alpha=\frac ab.$$

Mida nendest saab leida?

Kui tead $\sin\alpha$ ja hüpotenuusi $c$, saad vastaskaateti:

$$a=c\cdot\sin\alpha.$$

Kui tead $\cos\alpha$ ja hüpotenuusi $c$, saad lähiskaateti:

$$b=c\cdot\cos\alpha.$$

Kui tead $\tan\alpha$ ja lähiskaateti $b$, saad vastaskaateti:

$$a=b\cdot\tan\alpha.$$

Näide

Kui $c=10$ ja $\sin\alpha=\frac35$, siis

$$a=10\cdot\frac35=6.$$

Vastaskaatet on 6.

Valiku mõte

Valem ei tule mälu järgi. Valem tuleb sellest, millised kaks külge ülesandes koos on:

• vastaskaatet ja hüpotenuus: siinus;
• lähiskaatet ja hüpotenuus: koosinus;
• vastaskaatet ja lähiskaatet: tangens.

Seotud lehed

• Kolmnurga keel;
• Tüüpvigade kaart;
• Trigonomeetria referentsis.

Trigonomeetria: nurk, ringjoon ja ühikring

Hüpotenuus kui raadius

Täisnurkses kolmnurgas võib hüpotenuusi mõelda ringjoone raadiusena. Kui nurk muutub, liigub kolmnurga ülemine tipp mööda sama raadiusega ringjoont.

See mõte aitab näha, et trigonomeetria ei ole ainult üks kolmnurk. Nurk võib liikuda ja sama raadius jääb alles.

Ühikring

Ühikringil on raadius 1. Siis hüpotenuusi pikkus on $c=1$.

Kui punkt on ühikringil, siis tema koordinaadid on

$$(\cos\alpha;\sin\alpha).$$

Miks?

Täisnurkses kolmnurgas oli

$$\cos\alpha=\frac bc,\qquad \sin\alpha=\frac ac.$$

Kui $c=1$, siis

$$\cos\alpha=b,\qquad \sin\alpha=a.$$

Külgede suhted muutuvad otse koordinaatideks.

Sild funktsioonideni

Kui nurk liigub ringil edasi, korduvad samad väärtused. Sellest tulevad siinus- ja koosinusfunktsiooni lained ning perioodilisus.

Seotud lehed

• Trigonomeetria teejuht;
• Trigonomeetrilised funktsioonid;
• Radiaanid ja perioodilisus.

Trigonomeetria: tüüpvead ja õpetaja metoodika

Tüüpviga 1: nurk jääb märkimata

Kui nurka ei märgita, ei saa usaldusväärselt otsustada, milline kaatet on vastas ja milline kõrval. Sama kolmnurga teise teravnurga suhtes vahetuvad need nimed ära.

Tüüpviga 2: tangensit kasutatakse hüpotenuusiga

Tangens võrdleb kaht kaatetit:

$$\tan\alpha=\frac ab.$$

Hüpotenuus ei ole tangensi valemis.

Tüüpviga 3: valitakse valem tähtede, mitte tähenduse järgi

Enne valemit kirjuta:

• mida tean;
• mida otsin;
• millised kaks külge või nurga väärtust valemis koos on.

Kui tean vastaskaatetit ja hüpotenuusi, on siinus loomulik valik. Kui tean lähiskaatetit ja hüpotenuusi, on koosinus loomulik valik.

Tüüpviga 4: kraadid ja radiaanid lähevad segi

Kalkulaatoris tuleb kontrollida, kas režiim on kraadides või radiaanides. Põhikooli täisnurkse kolmnurga ülesannetes kasutatakse tavaliselt kraade.

Õpetaja järjestus

1. Joonis ja vaadeldav nurk.
2. Külgede nimetamine sõnadega.
3. Sama pildi tähistamine $a,b,c$ abil.
4. Lihtvalemid $\sin\alpha=a/c$, $\cos\alpha=b/c$, $\tan\alpha=a/b$.
5. Alles siis ümberavaldamine ja nurga leidmine.

Seotud lehed

• Kolmnurga keel;
• $a,b,c$ ja lihtvalemid;
• Trigonomeetria referentsis.

Tõestus

Kasutuskaart

• Põhitase: 8. klass; induktsioon on gümnaasiumi süvendus.
• Eeldus: õpilane oskab eristada näidet, väidet ja põhjendust ning kasutada lihtsat algebrat.
• Eesmärk: valida väite kontrollimiseks näide, vastunäide või sobiv tõestusviis.
• Järgmine samm: mis on tõestus?.

Milleks see haru on?

Tõestus ei ole lihtsalt pikem lahendus. Tõestus vastab küsimusele: miks väide peab kehtima kõigil lubatud juhtudel?

See haru jagab tõestamise neljaks väikeseks vaateks:

• miks üks näide ei ole veel tõestus;
• millal kasutada otsest tõestust, vastunäidet, kahte suunda või induktsiooni;
• miks üks vastunäide võib üldväite ümber lükata;
• kuidas hoida põhjendus sammude kaupa kontrollitav.

Seotud põhireferentsid:

• Mis on tõestus?;
• Loogika, hulgad ja tõestus;
• Matemaatiline induktsioon;
• Tõestamine ja ringjoone teoreemid.

Väikesed alamlehed

• Mis on tõestus? - näide, üldväide ja alati-kehtimise mõte.
• Tõestusviisid - milline tõestusviis sobib eri liiki väidetele.
• Vastunäide ja põhjendus - kuidas üldväidet ümber lükata ja miks joonisest üksi ei piisa.

Keskne kontroll

Enne tõestuse kirjutamist küsi:

1. Kas väide räägib ühest juhust või kõigist lubatud juhtudest?
2. Kas ülesanne palub tõestada või ümber lükata?
3. Millised eeldused on antud?
4. Milline samm seob eelduse järeldusega?

Seotud lehed

• X klassi tõestuse tee;
• Mis on tõestus? referentsis;
• Matemaatiline induktsioon referentsis;
• järgmine soovitatud vaade: mis on tõestus.

Tõestus: mis on tõestus

Põhimõte

Näide näitab, et väide kehtib ühel juhul. Tõestus näitab, miks väide kehtib kõigil lubatud juhtudel.

Näiteks väide “kui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga” ei vaja sadat näidet. Piisab üldisest põhjendusest:

Kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et

$$n=4k.$$

Siis

$$n=4k=2\cdot 2k.$$

Kuna $2k$ on täisarv, jagub $n$ arvuga 2.

Mida siin tegelikult tehti?

Tõestus ei hakanud arvama, milline $n$ on. Ta kasutas ainult eeldust “jagub 4-ga” ja jõudis järelduseni “jagub 2-ga”.

See on tõestuse põhisamm:

$$\text{eeldus}\Rightarrow\text{järeldus}.$$

Seotud lehed

• Tõestusviisid;
• Vastunäide ja põhjendus;
• Mis on tõestus? referentsis.

Tõestus: tõestusviisid

Kuidas valida?

Kõigepealt sõnasta, mida eeldad ja mida tahad tõestada. Sama väidet võib sageli tõestada mitmel viisil.

Mapiku soovitus: otsene tõestus, vastunäide ja kahe suuna eristamine alates 8. klassist. Induktsioon on siin 11. klassi lisaväljakutse, mitte vajalik eelteadmine teiste näidete jaoks.

Näide: otsene tõestus

Väide: kui täisarv $n$ on paarisarv, siis $n^2$ on paarisarv.

Eeldus: $n$ on paarisarv. Seega $n=2k$, kus $k$ on mingi täisarv. See kirjeldab suvalist paarisarvu, mitte ainult üht näidet.

Arvutus:

$$n^2=(2k)^2=2(2k^2).$$

Järeldus: $2k^2$ on täisarv, nii et $n^2$ on kahe ja täisarvu korrutis. See ongi paarisarvu definitsioon. Näiteks $6^2=36$ sobib väitega, kuid üksinda ei tõesta seda kõigi paarisarvude jaoks.

Näide: vastunäide

Väide: iga algarv on paaritu.

Kontroll: arv 2 on algarv, sest tema positiivsed jagajad on ainult 1 ja 2. Aga 2 on paarisarv. Seega leidub üks algarv, mille puhul väide ei kehti, ja üldväide on ümber lükatud.

Arv 4 ei sobiks vastunäiteks: kuigi ta on paaris, pole ta algarv. Vastunäide peab täitma väite eelduse.

Näide: mõlemad suunad

Väide: täisarv $n$ on paarisarv parajasti siis, kui $n^2$ on paarisarv.

Esimene suund: kui $n$ on paaris, siis $n^2$ on paaris. Selle tõestasime eespool.

Teine suund: eeldame, et $n^2$ on paaris. Kas $n$ võiks olla paaritu? Sel juhul $n=2k+1$ ja

$$n^2=(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1.$$

See oleks paaritu, vastuolus eeldusega, et $n^2$ on paaris. Seega $n$ on paaris. Alles mõlema suuna tõestamine õigustab sõnu „parajasti siis, kui”.

Näide: vastuväiteline tõestus

Väide: suurimat naturaalarvu ei ole.

Oletame vastupidist: leidub suurim naturaalarv $N$. Siis $N+1$ on samuti naturaalarv, aga $N+1>N$. See on vastuolus oletusega, et $N$ on suurim. Järelikult oli oletus vale.

Ka eelmise näite teine suund kasutas vastuolu. Tõestusvõtteid saab omavahel kombineerida.

Näide: induktsioon

Proovi ise

Tõesta, et kahe paarisarvu summa on paarisarv. Kas selle tõestab arvutus $4+8=12$?

Seotud lehed

• Mis on tõestus?;
• Jaguvuse näited ja ruutvõrrandi valemi tuletus;
• Matemaatiline induktsioon referentsis.

Tõestus: vastunäide ja põhjendus

Mapiku soovitus: jaguvuse põhjendused alates 8. klassist. Ruutvõrrandi lahendivalemi tuletus on eraldi avatav 9. klassi süvendus; induktsiooni sammud leiad tõestusviiside lehelt, 11. klassi lisaväljakutsena.

Vastunäide

Vastunäide on üks lubatud juht, kus üldväide ei kehti.

Kui väide on “kõik täisarvud on naturaalarvud”, siis $-1$ on vastunäide. Ta on täisarv, aga ei ole naturaalarv.

Vastunäide sobib ainult siis, kui see kuulub väites käsitletavasse hulka. Kui väide räägib täisarvudest, peab vastunäide olema täisarv.

Jaguvus: summa ja korrutis pole sama

Väide: kui kahe täisarvu summa jagub kolmega, siis mõlemad arvud jaguvad kolmega.

See on vale: $1+2=3$ jagub kolmega, kuid ei 1 ega 2 jagu kolmega. Mõlemad täidavad eelduse: nad on täisarvud ja nende summa jagub kolmega.

Seevastu kolme järjestikuse täisarvu summa jagub alati kolmega. Kirjutame arvud $n$, $n+1$ ja $n+2$:

$$n+(n+1)+(n+2)$$

$$=3n+3=3(n+1).$$

Kuna $n+1$ on täisarv, on summa kolme kordne. See arvutus hõlmab kõiki järjestikuseid täisarvukolmikuid, mitte ainult näiteks arve 4, 5 ja 6.

Kas summa jagub alati ka kuuega? Ei: $2+3+4=9$ on vastunäide.

Keerulisem näide: jaguvus kuuega

Väide: kolme järjestikuse täisarvu korrutis jagub kuuega.

• Vähemalt üks neist on paarisarv, seega jagub korrutis kahega.
• Kolmega jagamisel on kolmel järjestikusel arvul jäägid 0, 1 ja 2 mingis järjekorras. Üks neist jagub seega kolmega ja korrutis samuti.
• Arvudel 2 ja 3 pole ühist tegurit peale 1. Kui korrutis jagub mõlemaga, jagub see ka $2\cdot3=6$-ga.

Näiteks $4\cdot5\cdot6=120=6\cdot20$. Erinevalt näite kontrollimisest selgitab eelnev põhjendus, miks väide kehtib iga täisarvu $n$ korral korrutisele $n(n+1)(n+2)$.

Ettevaatust: sama järeldus ei sobi suvaliste jagajate jaoks. Arv 12 jagub nii 4 kui ka 6-ga, kuid mitte $4\cdot6=24$-ga, sest 4 ja 6 pole ühistegurita.

Kust tuleb ruutvõrrandi lahendivalem?

Miks joonisest üksi ei piisa?

Joonis aitab näha ideed, kuid joonis võib olla ebatäpne. Kui kaks nurka paistavad võrdsed, ei tähenda see veel, et nad on alati võrdsed.

Heas põhjenduses peab iga samm tuginema ühele neist:

• definitsioon;
• varem tõestatud omadus;
• antud eeldus;
• korrektne arvutus või teisendus.

Väike kontrollmuster

Pärast tõestust küsi iga rea kohta:

1. Kust see väide tuli?
2. Kas see kehtib kõigil lubatud juhtudel?
3. Kas ma kasutasin joonist ainult vihjena või ka põhjenduseta eeldusena?

Seotud lehed

• Mis on tõestus?;
• Tõestusviisid koos induktsiooninäitega;
• Loogika, hulgad ja tõestus referentsis;
• Ruutvõrrandi lahendusviisid.