Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused
Enne alustamist9. klass · raskus 4/5
Mõiste
Ruutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
Valemid ja tingimused
Üldjuhul $D=b^2-4ac$ ja reaalarvulised lahendid, kui $D\ge0$, on
$$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.$$
Täielikus ruutvõrrandis on $a,b,c\ne0$. Mittetäielikus ruutvõrrandis on $b=0$, $c=0$ või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:
Jagades kõik liikmed arvuga $a\ne0$, saad taandatud ruutvõrrandi $x^2+px+q=0$, kus $p=b/a$ ja $q=c/a$. Juht $a=1$ on selle kuju erijuht.
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$
Millal jagada, millal tegurdada?
Võrrand $2x^2-10x+12=0$ muutub pärast 2-ga jagamist kujule $x^2-5x+6=0$. Arvude 2 ja 3 summa on 5 ning korrutis 6:
$$(x-2)(x-3)=0,\qquad x=2\text{ või }x=3.$$
Vahel tekitab jagamine hoopis murrud. Võrrandis $2x^2+x-1=0$ on mugavam märgata korrutist $(2x-1)(x+1)=0$: lahendid on $1/2$ ja $-1$. Kui tegurid ei paista välja, kasuta lahendivalemit.
Nullkorrutise reegel kehtib siis, kui teisel poolel on null.
Näide
Ristküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on 48 cm². Olgu laius $x$, siis pikkus on $x+2$.
$$x(x+2)=48,$$
$$x^2+2x-48=0.$$
Tegurdades saame $(x-6)(x+8)=0$. Pikkuse tõttu sobib $x=6$, seega ristküliku mõõtmed on 6 cm ja 8 cm.
Võimalikud eksimused
Tüüpviga on kasutada alati pikka lahendivalemit. Võrrand $3x^2-12x=0$ laheneb kiiremini kujul $3x(x-4)=0$.
Teine tüüpviga on jätta võrrand normaalkujule viimata. Kordajad $a,b,c$ saab õigesti lugeda alles siis, kui ühel poolel on null.
Seosed
Ruutvõrrandi lahendid muutuvad ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Tekstülesandes lisandub alati viimane samm: tõlgenda lahendeid algse olukorra järgi ja jäta sobimatu väärtus kõrvale.