Radiaanid ja perioodilisus

Mõiste

Radiaan on nurga mõõtühik. Ühe radiaani suurusele kesknurgale vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega. See on täpne definitsioon, mitte lähend. Täispööre on

$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$

$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$

Nurga $\alpha\ge0$ suurus radiaanides on $\alpha=s/r$, kus $s$ on vastava kaare pikkus ja $r>0$ raadius samas ühikus. Negatiivne nurk tähistab päripäeva pööret.

Valemid ja tingimused

$$\text{radiaanid}=\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \text{kraadid}=\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Põhivastavused on $90^\circ=\pi/2$, $180^\circ=\pi$ ja $360^\circ=2\pi$.

Siinuse ja koosinuse vähim positiivne periood on $2\pi$, tangensil $\pi$. Siin on $x$ radiaanides:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \tan(x+\pi)=\tan x.$$

Tangensi seos kehtib seal, kus $\cos x\ne0$, s.t $x\ne\frac\pi2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Näide

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$

Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:

$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$

Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$

Seosed

Radiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid kehtivad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.