Radiaanid ja perioodilisus
Enne alustamist11. klass · raskus 5/5
Mõiste
Radiaan on nurga mõõtühik. Ühe radiaani suurusele kesknurgale vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega. Täispööre on
$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$
Seega
$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$
Ühe radiaani definitsioon on täpne iga raadiusega ringjoonel. Ainult selle kraadiväärtus on siin ümardatud: $1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57,3^\circ$.
Kesknurga $\alpha\ge0$ suurus radiaanides on $\alpha=s/r$, kus $s$ on vastava kaare pikkus ja $r>0$ raadius samas pikkusühikus. Sama kesknurgaga sektorid on sarnased: raadiuse suurendamisel kasvab ka kaare pikkus sama teguriga, nii et suhe ei muutu.
See suhe on ühikuta arv, aga kirjutame juurde rad, et oleks selge, et arv mõõdab nurka.
Suunatud nurga puhul märgitakse lisaks pöörde suund: vastupäeva pööre on positiivne, päripäeva pööre negatiivne.
Eeldus: tunned ühikringi, trigonomeetriliste funktsioonide perioodi ning kraadides mõõdetud nurki.
Kui nurk $\alpha\ge0$ on radiaanides, siis kaare pikkus on
$$s=r\alpha,$$
kus $r$ on raadius ja $\alpha$ nurk radiaanides.
Ühikute teisendamine:
$$\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiaanid},$$
$$\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\text{kraadid}.$$
Teisendustabel
| kraadid | radiaanid |
|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $180^\circ$ | $\pi$ |
| $270^\circ$ | $\frac{3\pi}{2}$ |
| $360^\circ$ | $2\pi$ |
Perioodilisus
Positiivne arv $T$ on funktsiooni periood, kui määramispiirkond säilib nihkel $T$ mõlemas suunas ja $f(x+T)=f(x)$ kõigi lubatud $x$ väärtuste korral. Funktsioonil võib olla mitu perioodi; siin otsime neist vähimat positiivset.
Siinuse ja koosinuse vähim positiivne periood on $2\pi$:
$$\sin(x+2\pi)=\sin x.$$
$$\cos(x+2\pi)=\cos x.$$
See tähendab, et graafik kordub iga täispöörde järel.
Ühikringil jõuad pärast $2\pi$ lisamist samasse punkti tagasi.
Tangensi vähim positiivne periood on $\pi$. Tangens on määratud ainult siis, kui $\cos x\ne0$, s.t $x\ne\frac\pi2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Lubatud väärtuste korral
$$\tan(x+\pi)=\tan x.$$
Põhjus on see, et poole pöörde järel on ühikringi punkt vastaspunktis, kuid suhe $\frac{\sin x}{\cos x}$ jääb samaks:
$$\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}.$$
Miks ei piisa väiksemast nihkest? Siinus saavutab väärtuse 1 ainult nurkadel $\pi/2+2k\pi$, koosinus nurkadel $2k\pi$. Perioodinihe viib maksimumikoha teiseks maksimumikohaks, seega on see $2\pi$ täisarvkordne. Tangensi nullkohad on $k\pi$. Kuna perioodinihe viib nullkoha teiseks nullkohaks, on tangensi periood $\pi$ täisarvkordne. Siin on $k\in\mathbb Z$.
Periood on ka vähima positiivse perioodi iga positiivne täisarvkordne, näiteks siinuse puhul $4\pi$.
Näide
$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$
Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:
$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$
Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:
$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$
Perioodilisuse tõttu
$$\sin\left(x+2\pi\right)=\sin x,$$
näiteks
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$
Vastus: $150^\circ=\frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ ja täispöörde lisamine ei muuda siinuse väärtust.
Võimalikud eksimused
Kui kalkulaator on radiaanides, siis sin(30) ei tähenda $\sin 30^\circ$.
Kraadirežiimis on $\sin30^\circ=0,5$, radiaanirežiimis aga $\sin(30)\approx-0,988$. Vali nurga ühikule vastav kalkulaatorirežiim või teisenda nurk enne arvutamist.
Ära aja segi perioodi ja amplituudi. Periood kirjeldab kordumise sammu $x$-teljel. Siinusgraafiku amplituud on suurim kaugus keskjoonest vertikaalsuunas, näiteks $y=\sin x$ korral 1. Tangensile samasugust amplituudi ei määrata.
Valemisse $s=r\alpha$ ei saa asetada nurga kraadiväärtust: $\alpha$ peab selles valemis olema radiaanides.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Teisenda $180^\circ$ radiaanideks.
- Teisenda $\frac{\pi}{3}$ kraadideks.
- Mis on siinusfunktsiooni vähim positiivne periood?
Rakendus
- Paigal oleva keskpunktiga ratas raadiusega 3 pöördub $120^\circ$. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?
- Ratas pöördub $\frac{5\pi}{6}$ radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?
- Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale $35^\circ$, et tangensi väärtus korduks?
Mõtlemisülesanne
- Miks $\sin(x+4\pi)=\sin x$?
- Kas $60^\circ$ ja $\frac{\pi}{3}$ rad on sama nurga suurus? Võrdle ka nende koosinusi.
- Kahe ratta keskpunktid püsivad paigal. Nende raadiused on 5 ja 10 ning mõlemad pöörduvad nurga $\frac{\pi}{3}$. Võrdle servapunktide läbitud kaari.
Vastused
- $180^\circ=\pi$ rad, sest pool täispööret on $\pi$ radiaani.
- $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$; $\pi$ taandub välja.
- $2\pi$ ehk $360^\circ$; ühikringil tähendab see üht täispööret.
- $120^\circ=\frac{2\pi}{3}$ rad ja $s=r\alpha=3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$ pikkusühikut.
- $150^\circ$ ehk $\frac{150}{360}=\frac5{12}$ täispöördest.
- $\pi$ rad ehk $180^\circ$; tangens kordub poole pöörde järel.
- Sest $4\pi$ on kaks täispööret ja siinus kordub iga $2\pi$ järel.
- Jah, $60^\circ=\frac{\pi}{3}\text{ rad}$. Mõlema koosinus on $\frac12$; koosinus on arv, mitte nurk.
- Kaared on $\frac{5\pi}{3}$ ja $\frac{10\pi}{3}$; kahekordne raadius annab sama nurga korral kahekordse kaare.
Seosed
Radiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid kehtivad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.