Trigonomeetria
Enne alustamist9. klass · raskus 4/5
Mõiste
Täisnurkses kolmnurgas seovad siinus, koosinus ja tangens nurka külgedega.
Eeldus: oskad kasutada Pythagorase teoreemi, tunned täisnurkse kolmnurga külgi ja oskad lahendada lihtsat võrret.
Vaatleme nurka $\alpha$. Selle nurga suhtes:
- hüpotenuus on täisnurga vastas olev pikim külg;
- lähiskaatet on nurga $\alpha$ kõrval olev kaatet;
- vastaskaatet on nurga $\alpha$ vastas olev kaatet.
Märgi vaadeldav nurk enne külgede nimetamist.
Joonisel on nurga $\alpha$ vastaskaatet $a$, lähiskaatet $b$ ja hüpotenuus $c$. Vaatleme teravnurka $0^\circ<\alpha<90^\circ$; kõik küljepikkused on positiivsed.
$$\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.$$
Kuna kumbki kaatet on hüpotenuusist lühem, siis $0<\sin\alpha<1$ ja $0<\cos\alpha<1$. Tangens on positiivne, kuid võib olla ka suurem kui 1.
Miks sõltub külgede suhe ainult nurgast?
Kahel täisnurksel kolmnurgal, mille teravnurk $\alpha$ on sama, on kaks võrdset nurka: täisnurk ja $\alpha$. Seetõttu on kolmnurgad sarnased. Kui ühe kolmnurga küljed on $a,b,c$, siis teise omad on $ka,kb,kc$, kus $k>0$.
Suhted ei muutu: $\frac{ka}{kc}=\frac ac$, $\frac{kb}{kc}=\frac bc$ ja $\frac{ka}{kb}=\frac ab$. Seepärast saab neid suhteid kasutada nurga, mitte kolmnurga suuruse kirjeldamiseks.
Sobiva seose valimine
| Tean | Kasutan | Leian |
|---|---|---|
| $\alpha$ ja $c$ | $a=c\sin\alpha$ | vastaskaateti $a$ |
| $\alpha$ ja $c$ | $b=c\cos\alpha$ | lähiskaateti $b$ |
| $\alpha$ ja $b$ | $a=b\tan\alpha$ | vastaskaateti $a$ |
| $\alpha$ ja $a$ | $b=\frac a{\tan\alpha}$ | lähiskaateti $b$ |
| $\alpha$ ja $a$ | $c=\frac a{\sin\alpha}$ | hüpotenuusi $c$ |
| $\alpha$ ja $b$ | $c=\frac b{\cos\alpha}$ | hüpotenuusi $c$ |
| $a$ ja $c$ | $\alpha=\arcsin\frac ac$ | nurga $\alpha$ |
| $b$ ja $c$ | $\alpha=\arccos\frac bc$ | nurga $\alpha$ |
| $a$ ja $b$ | $\alpha=\arctan\frac ab$ | nurga $\alpha$ |
Kui kaks külge on teada ja nurka ei küsita, kasuta Pythagorase teoreemi:
$$a^2+b^2=c^2.$$
Näide
Vastaskaateti leidmine
Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on $c=10$ cm ja $\sin\alpha=\frac35$. Leia vastaskaatet $a$.
$$\frac35=\frac a{10}$$
$$a=10\cdot\frac35=6.$$
Vastaskaatet on $6$ cm.
Hüpotenuusi leidmine
Täisnurkse kolmnurga vastaskaatet on $a=8$ cm ja $\sin\alpha=0,8$. Leia hüpotenuus $c$.
$$0,8=\frac8c$$
$$c=\frac8{0,8}=10.$$
Hüpotenuus on $10$ cm.
Nurga leidmine
Täisnurkse kolmnurga vastaskaatet on $a=6$ cm ja hüpotenuus $c=10$ cm. Leia nurk $\alpha$.
$$\sin\alpha=\frac6{10}=0,6$$
$$\alpha=\arcsin 0,6\approx36,9^\circ.$$
Võimalikud eksimused
Enne valemit otsusta, milline külg on vaadeldava nurga suhtes vastas- ja milline lähiskaatet.
Tangensi asemele ei sobi suhe $a/c$: see on siinus. Tangens võrdleb kahte kaatetit:
$$\tan\alpha=\frac ab.$$
Kalkulaatoris kontrolli, kas kasutad kraade või radiaane. Selles peatükis on nurgad kraadides; radiaanides nurk märgitakse eraldi.
Valemi peast teadmine ei ole viga. Kontrolli siiski, kas valemis kasutatud küljed vastavad valitud nurgale. Kalkulaatori pöördfunktsioon $\arcsin$ leiab nurga; see ei tähenda siinuse pöördarvu $1/\sin\alpha$.
Lähenemise valik
Miinimum: nimetab küljed. Tavarada: valib suhte. Lisaväljakutse: põhjendab lahendust. Vea korral kontrolli nurga vastas- ja lähiskaatetit.
Kui vajad abi
Alusta harjutustest 1 ja 2. Märgi joonisele nurga vastas- ja lähiskaatet ning hüpotenuus. Vajaduse korral korda Pythagorase teoreemi ja võrde lahendamist.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Milline külg on täisnurkses kolmnurgas alati hüpotenuus?
- Kui $\cos\alpha=\frac45$ ja hüpotenuus on $15$, siis kui pikk on lähiskaatet?
Rakendus
- 5-meetrine redel toetub püstisele seinale ja ulatub 4 meetri kõrgusele. Maapind on horisontaalne. Leia redeli nurk maapinnaga.
- Kaldtee tõuseb 1,2 meetrit 6-meetrise horisontaalse vahemaa jooksul. Leia kaldtee kaldenurk.
Mõtlemisülesanne
- Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 9 ja 12. Leia hüpotenuus ja väiksem teravnurk.
- Kahel sarnasel täisnurksel kolmnurgal on $\sin\alpha=\frac12$. Hüpotenuus kasvab 10-lt 20-le. Kuidas muutub vastaskaatet? Põhjenda.
- Täisnurkses kolmnurgas on teada lähiskaatet $b=7$ ja $\tan\alpha=2$. Millise külje saad kohe leida ja kui pikk see on?
Vastused
- Täisnurga vastas olev pikim külg ehk hüpotenuus.
- $12$, sest $\cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}$ ja $\frac45\cdot15=12$.
- $\sin\alpha=\frac45$, seega $\alpha=\arcsin\frac45\approx53{,}1^\circ$.
- $\tan\alpha=\frac{1{,}2}{6}=0{,}2$, seega $\alpha\approx11{,}3^\circ$.
- $c=15$; väiksem nurk on lühema kaateti vastas: $\arcsin\frac9{15}\approx36{,}9^\circ$.
- Vastaskaatet kasvab 5-lt 10-le, sest suhe vastaskaatet/hüpotenuus jääb võrdseks arvuga $\frac12$.
- Vastaskaateti: $a=b\tan\alpha=7\cdot2=14$, sest tangens võrdleb kahte kaatetit.
Enesediagnoos
Kui 1-2 läks valesti, korda külgede nimetusi ja vaata joonist. Kui 3-4 läks valesti, kirjuta enne valemit, mida tead ja mida otsid. Kui 5-7 läks valesti, korda Pythagorase teoreemi ning lihtsa võrde lahendamist.
Seosed
Järgmises peatükis lahendad täisnurkseid kolmnurki, ühendades Pythagorase teoreemi trigonomeetriliste seostega.