Kolmnurgad ja nelinurgad
Enne alustamist7. klass · raskus 2/5
Mõiste
Kolmnurgal on 3 külge ja 3 nurka; nelinurgal 4 külge ja 4 nurka.
Eeldus: tunned nurkade liike, oskad leida ümbermõõtu ja eristad pindala pikkusest.
Külgede järgi:
| Liik | Tunnus |
|---|---|
| võrdkülgne kolmnurk | kõik küljed on võrdsed |
| võrdhaarne kolmnurk | kaks külge on võrdsed |
| erikülgne kolmnurk | kõik küljed on erinevad |
Nurkade järgi:
| Liik | Tunnus |
|---|---|
| teravnurkne kolmnurk | kõik nurgad on väiksemad kui $90^\circ$ |
| täisnurkne kolmnurk | üks nurk on $90^\circ$ |
| nürinurkne kolmnurk | üks nurk on suurem kui $90^\circ$ |
Kolm pikkust moodustavad kolmnurga ainult siis, kui kaks lühemat külge kokku on pikemad kui pikim külg. Näiteks 2 cm, 3 cm ja 6 cm ei sobi, sest $2+3<6$.
Nelinurkade erijuhud:
| Nelinurk | Tunnus |
|---|---|
| rööpkülik | mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed |
| ristkülik | kõik nurgad on täisnurgad |
| ruut | kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad |
| romb | kõik küljed on võrdsed |
Rööpküliku vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed ning diagonaalid poolitavad teineteist. Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed; rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja rombi nurki.
Valemid
Kolmnurga nurkade summa:
$$180^\circ.$$
Nelinurga nurkade summa:
$$360^\circ.$$
Kumera $n$-nurga sisenurkade summa:
$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$
Kolmnurga pindala:
$$S=\frac{ah}{2}.$$
Kõrgus peab olema valitud alusega risti.
Rööpküliku ja rombi pindala aluse ning kõrguse abil on $S=ah$.
Ristküliku pindala:
$$S=ab.$$
Ruudu pindala:
$$S=a^2.$$
Rombi pindala diagonaalide $d_1$ ja $d_2$ abil:
$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$
Pindalad joonistega
Ümbermõõt liidab küljed. Pindala mõõdab kaetud pinda.
Näide
Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:
$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$
Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on
$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$
Kui nelinurga kolm nurka on $90^\circ$, $110^\circ$ ja $80^\circ$, siis neljas nurk on
$$360^\circ-90^\circ-110^\circ-80^\circ=80^\circ.$$
Kuusnurga sisenurkade summa on
$$S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ.$$
Võimalikud eksimused
Kõrgus peab olema risti alusega. Külgjoon ei ole alati kõrgus.
Teine tüüpviga on arvata, et iga nelinurk, millel on üks paar paralleelseid külgi, on rööpkülik. Rööpkülikul peavad mõlemad vastaskülgede paarid olema paralleelsed.
Kolmas tüüpviga on ajada ümbermõõt ja pindala segi. Aia pikkus on ümbermõõt; aia sisse jääva maa suurus on pindala.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Kolmnurga kaks nurka on $35^\circ$ ja $65^\circ$. Leia kolmas nurk.
- Kas kolmnurk nurkadega $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$ on täisnurkne?
- Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.
Rakendus
- Nelinurga kolm nurka on $100^\circ$, $80^\circ$ ja $90^\circ$. Leia neljas.
- Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?
- Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.
Mõtlemisülesanne
- Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.
- Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.
- Kolmnurga nurgad on $x$, $2x$ ja $3x$. Leia nurgad.
- Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?
- Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.
- Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.
Vastused
- $80^\circ$, sest kolmnurga nurgad annavad kokku $180^\circ$.
- Jah, sest üks nurk on $90^\circ$.
- Ümbermõõt on $4+5+6=15\text{ cm}$.
- $90^\circ$, sest nelinurga nurgad annavad kokku $360^\circ$.
- Ruut, sest ruudul on võrdsed küljed ja täisnurgad.
- Ümbermõõt $2(8+3)=22\text{ cm}$, pindala $8\cdot3=24\text{ cm}^2$; üks mõõdab äärt, teine pinda.
- $S=12\cdot5=60\text{ cm}^2$.
- Teine külg on $35:7=5\text{ cm}$, sest ristkülikul $S=ab$.
- $x+2x+3x=180^\circ$, seega $x=30^\circ$; nurgad on $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.
- Ei, sest $4+5=9<10$; kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg.
- Sisenurkade summa on $(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$. Kõik kuus nurka on võrdsed, seega üks nurk on $720^\circ:6=120^\circ$.
- $S=\frac{6\cdot10}{2}=30\text{ cm}^2$.
Seosed
Seostub Pythagorase teoreemi, sarnasuse, trigonomeetria, ringi, sümmeetria ja teisendustega.