Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Siinusteoreem ja koosinusteoreem Koolimatemaatika tuumikreferents

Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Enne alustamist11. klass · raskus 5/5

Mõiste

Siinus- ja koosinusteoreem kehtivad igas kolmnurgas. Küljed $a,b,c>0$ on vastavalt nurkade $A,B,C$ vastas; $0^\circ<A,B,C<180^\circ$ ja $A+B+C=180^\circ$. Tipp ja selle juures olev nurk kasutavad siin sama tähte.

Eeldus: tunned täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat ja kolmnurga nurgasummat. Tõestustes kasutame ka ühikringi seoseid.

Kolmnurk külgede ja vastasnurkade tähistega
Külg a on nurga A vastas, b nurga B vastas ja c nurga C vastas. Kaared märgivad kolmnurga sisenurki.

Siinusteoreem

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

Siinusteoreemi tõestus

Kolmnurga pindala $S$ on alus korda kõrgus jagatud kahega. Aluse $c$ kõrgus on $b\sin A$: nürinurga korral kasutame selle kõrvunurka ja seost $\sin(180^\circ-A)=\sin A$. Täisnurga korral on kõrgus $b$. Valides kordamööda kõik kolm alust, saame

$$2S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C.$$

Jagame positiivse korrutisega $abc$:

$$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$$

Positiivsete suhete pöördväärtused annavad siinusteoreemi.

Koosinusteoreem

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Nurk $C$ jääb külgede $a$ ja $b$ vahele.

Koosinusteoreemi tõestus

Valime koordinaadid $C=(0;0)$, $B=(a;0)$ ja $A=(b\cos C;b\sin C)$. Kahe punkti kauguse valem annab küljele $AB=c$:

$$c^2=(b\cos C-a)^2+(b\sin C)^2.$$

Avame ruudud ja kasutame $\sin^2 C+\cos^2 C=1$:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Nürinurga korral on $\cos C<0$, kuid sama arvutus kehtib. Täisnurga korral on $\cos C=0$ ja tulemuseks on Pythagorase teoreem.

Millal kumba kasutada?

Teada on Tavaliselt kasuta Miks
kaks külge ja nende vaheline nurk koosinusteoreem saad kolmanda külje
kolm külge koosinusteoreem saad nurga
külg ja kaks nurka siinusteoreem kolmanda nurga saad nurgasummast
kaks külge ja ühe külje vastasnurk siinusteoreem kontrolli kõiki võimalikke kolmnurki
täisnurkne kolmnurk Pythagoras või $\sin,\cos,\tan$ lihtsam erijuht

Näide

Külg koosinusteoreemiga

Kui $a=7$, $b=9$ ja $C=60^\circ$, siis $\cos60^\circ=1/2$. Koosinusteoreemist

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\frac12=67.$$

Külje pikkus on positiivne: $c=\sqrt{67}\approx8{,}2$.

Külg siinusteoreemiga

Olgu $A=40^\circ$, $B=70^\circ$ ja $a=6$. Otsime vastaskülge $b$ ning kasutame võrdust $a/\sin A=b/\sin B$:

$$b=\frac{6\sin70^\circ}{\sin40^\circ}\approx8{,}8.$$

Kaks võimalikku kolmnurka

Olgu $A=30^\circ$, $a=7$ ja $b=10$. Siis $\sin B=b\sin A/a=5/7$.

Saame $B_1\approx45{,}6^\circ$ või $B_2\approx134{,}4^\circ$. Mõlemal juhul on $A+B<180^\circ$. Kolmas nurk on vastavalt $C_1\approx104{,}4^\circ$ või $C_2\approx15{,}6^\circ$: antud tingimustele vastab kaks kolmnurka.

Võimalikud eksimused

Ära vaheta külje vastasnurka selle lähisnurgaga. Koosinusteoreemi nurk peab jääma valemi kahe korrutatava külje vahele.

Kahe külje ja ühe külje vastasnurga korral võib olla 0, 1 või 2 kolmnurka. Kui $s=b\sin A/a>1$, lahend puudub. Muidu kontrolli $B=\arcsin s$ ning $180^\circ-B$: sobib ainult $A+B<180^\circ$. Kui $B=90^\circ$, loe see üks kord.

Üldise teoreemi kasutamine täisnurkses kolmnurgas ei ole viga; Pythagorase teoreem võib anda lühema lahenduse.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Millal piisab Pythagorase teoreemist?
  2. Kirjuta koosinusteoreem külje $a$ jaoks.
  3. Mis andmeid on vaja siinusteoreemi kasutamiseks?

Rakendus

  1. Maamõõtja saab kolmnurkse ala külgedeks $a=4$ m ja $b=6$ m ning nendevaheliseks nurgaks $C=60^\circ$. Leia kolmas piir $c$.
  2. Leia külg $b$, kui $A=30^\circ$, $B=80^\circ$ ja $a=5$.

Mõtlemisülesanne

  1. Kolmnurga küljed on 3, 4 ja 5. Kas pikima külje vastasnurk on täisnurk? Põhjenda.
  2. Külgede 5, 7 ja 8 vastas on nurgad $A,B,C$. Leia suurim nurk.
  3. Teada on $a=10$, $b=12$ ja nende vaheline nurk $C=40^\circ$. Millist teoreemi kasutad esimesena ja miks?
  4. Teada on külg $a$, nurk $A$ ja nurk $B$. Millist teoreemi kasutad külje $b$ leidmiseks?
  5. Olgu $A=30^\circ$ ja $b=10$. Mitu kolmnurka on võimalik, kui a) $a=4$, b) $a=5$, c) $a=7$?

Vastused

  1. Kui kolmnurk on täisnurkne ja otsitakse külgede seost; siis on Pythagoras lihtsam erijuht.
  2. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, kus nurk $A$ on külje $a$ vastas.
  3. Vähemalt ühte külje ja vastasnurga paari ning veel üht seotud suurust, näiteks $a,A,B$.
  4. Koosinusteoreem, sest teada on $a=4$, $b=6$ ja nende vaheline nurk $C=60^\circ$: $c^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cos60^\circ=28$, seega $c=2\sqrt7\approx5{,}3$ m.
  5. Siinusteoreem, sest teada on vastaspaar $a=5$, $A=30^\circ$ ja nurk $B=80^\circ$: $\frac{b}{\sin80^\circ}=\frac{5}{\sin30^\circ}$, seega $b=\frac{5\sin80^\circ}{\sin30^\circ}\approx9{,}8$.
  6. Jah, sest $5^2=3^2+4^2$; Pythagorase teoreemi pöördväite järgi on vastasnurk $90^\circ$.
  7. Suurim on $C$, sest see on külje 8 vastas. Koosinusteoreemist $\cos C=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac17$, seega $C\approx81{,}8^\circ$.
  8. Koosinusteoreemi, sest teada on kaks külge $a,b$ ja nende vaheline nurk $C$.
  9. Siinusteoreemi, sest teada on vastav külje ja vastasnurga paar $a,A$ ning otsitakse paarilist $b,B$.
  10. a) 0: $\sin B=5/4>1$. b) 1: $B=90^\circ$ ja $C=60^\circ$. c) 2: näites leitud $45{,}6^\circ$ ning $134{,}4^\circ$ annavad mõlemad positiivse kolmanda nurga.

Seosed

Teoreemid ühendavad trigonomeetria, pindala ja koordinaatgeomeetria.