Trigonomeetrilised põhivõrrandid

Enne alustamist11. klass · raskus 5/5

Mõiste

Trigonomeetrilisel võrrandil on perioodilisuse tõttu enamasti lõpmata palju lahendeid. Kõigepealt leitakse ühikringilt ühe täispöörde lahendid, seejärel lisatakse periood.

Põhikujud:

$$\sin x=m,\qquad \cos x=m,\qquad \tan x=m.$$

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Valemid ja tingimused

$$\sin x=m,\qquad \cos x=m,\qquad \tan x=m.$$

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

$$\sin x=\frac12$$

$$x=\frac\pi6+2k\pi \quad\text{või}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Trigonomeetrilise võrrandi lahendid — Horisontaaljoon lõikab siinusgraafikut ühe perioodi jooksul tavaliselt kahes punktis ning lahendid korduvad perioodi järel.

Näide

Lahendame vahemikus $0\le x<2\pi$:

$$2\sin x-1=0.$$

Esmalt eraldame siinuse:

$$\sin x=\frac12.$$

Ühikringil on siinus $\frac12$ I ja II veerandis. Seega

$$x=\frac\pi6 \quad\text{või}\quad x=\frac{5\pi}{6}.$$

Võimalikud eksimused

Üks kalkulaatori vastus ei ole tavaliselt kõik lahendid. Näiteks $\arcsin\frac12=\frac\pi6$, kuid samas täispöördes sobib ka $\frac{5\pi}{6}$.

Teine tüüpviga on lisada siinusele ja koosinusele periood $\pi$. Nende periood on $2\pi$; ainult tangensi periood on $\pi$.

Seosed

Põhivõrrandid ühendavad ühikringi, graafiku ja algebra. Tuletise peatükis kasutatakse samu perioodilisi funktsioone, kuid küsimus muutub väärtuse leidmiselt muutumiskiiruse leidmiseks.