Parabooli kuus muutust

Enne alustamist10. klass · raskus 2/5

Kaisa ja õpirobot katsetavad matemaatikatunnis, kuidas üks valem graafikut muudab. Ruutfunktsiooni tunned 9. klassist; nihked ja kuju võrdlemine sobivad 10. klassi süvenduseks.

Kaisa punases pusas ja sinakasroheline õpirobot — Kaisa ja robot uurivad kuuel järgneval joonisel ühe parabooli muutumist.

Ava graafikuvaatleja. Iga pildi all olev link avab seal sama näite. Pidev sinine joon näitab uut graafikut, hall katkendjoon võrdlusgraafikut.

1. Alustame tuttavast

Kaisa: „Kui $x=2$, siis $y=4$. Aga kui $x=-2$?”

Robot: „Ikka $4$. Graafik on sümmeetriline $y$-telje suhtes. Madalaim punkt on $(0;0)$.”

Parabool y võrdub x ruuduga, haripunkt koordinaatide alguspunktis — Graafikul y = x² on näiteks punktid (−2; 4), (0; 0) ja (2; 4).

Katseta algparabooliga.

2. Tõstame üles

Kaisa: „Lisan igale tulemusele ühe: $y=x^2+1$.”

Robot: „Kõik punktid tõusevad ühe ühiku võrra. Näiteks $(2;4)$ asemel on nüüd $(2;5)$. Haripunkt liigub punkti $(0;1)$.”

Algparabool ja ühe ühiku võrra üles nihutatud parabool — Valemi lõpus olev +1 suurendab kõiki y-koordinaate ühe võrra.

Katseta nihkega üles.

3. Liigume paremale

Kaisa: „Kirjutan $y=(x-2)^2+1$. Miinus kaks, aga graafik liigub paremale?”

Robot: „Ruut on kõige väiksem siis, kui sulgudes on null. Nüüd juhtub see kohal $x=2$. Haripunkt on $(2;1)$, kaks ühikut paremal.”

Parabooli haripunkt liigub punktist (0; 1) punkti (2; 1) — Sama y-väärtuse saamiseks peab uus x olema varasemast kahe võrra suurem.

Katseta nihkega paremale.

4. Teeme kitsamaks

Kaisa: „Korrutan ruutliikme kahega: $y=2(x-2)^2+1$.”

Robot: „Haripunkt ei muutu. Kuid kõrgus üle joone $y=1$ kahekordistub: kohal $x=3$ on $y$ nüüd $3$, varem oli $2$. Harud on sümmeetriateljele lähemal, kui võrdled neid samal kõrgusel.”

Teguriga kaks kitsam parabool, haripunkt ikka (2; 1) — Võrdluseks on y = (x − 2)² + 1. Mõlemal graafikul on sama haripunkt.

Katseta kitsama parabooliga.

5. Teeme laiemaks

Kaisa: „Alustan taas valemist $(x-2)^2+1$ ja korrutan ruutliikme poolega.”

Robot: „Siis $y=0{,}5(x-2)^2+1$. Kõrgus üle joone $y=1$ väheneb poole võrra. Kohal $x=4$ saame $y=3$, mitte $5$. Graafik on laiem.”

Teguriga üks kahendik laiem parabool, haripunkt (2; 1) — Uut graafikut võrdleme algse nihutatud parabooliga, mitte eelmise pildi teguriga 2 parabooliga.

Katseta laiema parabooliga.

6. Pöörame harud alla

Kaisa: „Panen ruutliikme ette miinuse: $y=-(x-2)^2+1$.”

Robot: „Võrreldes graafikuga $(x-2)^2+1$ vahetuvad sama kaugel sirgest $y=1$ olevad punktid. See on peegeldus selle sirge suhtes. Haripunkt $(2;1)$ on nüüd kõrgeim punkt.”

Allapoole avanev parabool peegeldusteljega y võrdub üks — Kohal x = 3 annab vana valem y = 2, uus y = 0. Mõlemad punktid on ühe ühiku kaugusel sirgest y = 1.

Katseta allapoole avaneva parabooliga.

Mis on kuuel pildil ühist?

Kuju $y=a(x-h)^2+k$ korral on haripunkt $(h;k)$, kui $a\ne0$. Positiivse $a$ korral avanevad harud üles, negatiivse korral alla. Kui $|a|$ suureneb, muutub parabool kitsamaks; kui $0<|a|<1$, on see laiem kui sama haripunktiga $a=1$ parabool.

Graafikuvaatlejas on sama funktsioon avatud sulgudega kujul $y=ax^2+bx+c$, kus $b=-2ah$ ja $c=ah^2+k$. Näiteks $(x-2)^2+1=x^2-4x+5$. Seetõttu muudab ühe haripunkti lohistamine seal korraga mitut kordajat.

Kui $a=0$, saame $y=k$: horisontaalse sirge, mitte parabooli. Kogu funktsiooni $f(x)$ peegeldamine x-telje suhtes annaks $-f(x)=-(x-2)^2-1$, mille haripunkt oleks $(2;-1)$.

Proovi ise

Leia graafikuvaatlejas $y=x^2+2$ ja jäta see mällu. Muuda ainult vabaliige väärtuseks $-1$. Kui palju ja mis suunas haripunkt liikus?

Kontroll

Haripunkt liikus punktist $(0;2)$ punkti $(0;-1)$, kolm ühikut alla.

Edasi

Tegelaste illustratsioon on loodud OpenAI pildimudeliga. Graafikud on arvutatud valemitest. See on Mapiku oma seletus, mitte viidatud video tõlge või kaadrite koopia.