Funktsioonide teisendused

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Valemid ja tingimused

Nihkereeglites eeldame, et $c>0$. Kui $c=0$, nihet ei ole; negatiivse $c$ korral on suund vastupidine.

$f(x)+c$; nihe üles $c$ ühikut.

$f(x)-c$; nihe alla $c$ ühikut.

$f(x-c)$; nihe paremale $c$ ühikut.

$f(x+c)$; nihe vasakule $c$ ühikut.

$af(x)=a\cdot f(x)$, kus $a$ on nullist erinev arv: kõik $y$-koordinaadid korrutatakse arvuga $a$. Kui $|a|>1$, venib graafik püstsuunas; kui $0<|a|<1$, surutakse see püstsuunas kokku. Negatiivne $a$ peegeldab graafiku lisaks $x$-telje suhtes.

$f(ax)=f(a\cdot x)$, kus $a$ on nullist erinev arv: funktsiooni sisend korrutatakse arvuga $a$, mistõttu jagatakse kõik $x$-koordinaadid arvuga $a$. Kui $|a|>1$, surutakse graafik rõhtsuunas kokku; kui $0<|a|<1$, venib see rõhtsuunas. Negatiivne $a$ peegeldab graafiku lisaks $y$-telje suhtes.

$-f(x)$; peegeldus $x$-telje suhtes.

$f(-x)$; peegeldus $y$-telje suhtes.

Näide

Kui punkt (2;3) on graafikul $y=f(x)$, siis punkt (2;6) on graafikul $y=2f(x)$, aga punkt (1;3) on graafikul $y=f(2x)$. Väljas olev kordaja muudab kõrgust; funktsiooni sees olev kordaja muudab rõhtsuunalist asukohta vastupidise teguriga.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühiku alla nihutatud parabool, mille haripunkt on (-4;-1).

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.