Tõestus: tõestusviisid
Enne alustamist8. klass · raskus 3/5
Kuidas valida?
Kõigepealt sõnasta, mida eeldad ja mida tahad tõestada. Sama väidet võib sageli tõestada mitmel viisil.
Mapiku soovitus: otsene tõestus, vastunäide ja kahe suuna eristamine alates 8. klassist. Induktsioon on siin 11. klassi lisaväljakutse, mitte vajalik eelteadmine teiste näidete jaoks.
| Väite kuju | Sobiv võte | Kontrollküsimus |
|---|---|---|
| “Kui ..., siis ...” | otsene tõestus | Kas saan eeldusest järelduseni liikuda? |
| “Kõik ...” ja kahtled | vastunäide väite ümberlükkamiseks | Kas leidub üks lubatud juht, kus väide ei kehti? |
| “... parajasti siis, kui ...” | kaks suunda | Kas olen tõestanud mõlemad suunad? |
| “Kõigi naturaalarvude $n$ korral ...” | induktsioon | Kas on baassamm ja induktsioonisamm? |
| Otse on raske | vastuväiteline tõestus | Kas vastupidine oletus viib vastuoluni? |
Näide: otsene tõestus
Väide: kui täisarv $n$ on paarisarv, siis $n^2$ on paarisarv.
Eeldus: $n$ on paarisarv. Seega $n=2k$, kus $k$ on mingi täisarv. See kirjeldab suvalist paarisarvu, mitte ainult üht näidet.
Arvutus:
$$n^2=(2k)^2=2(2k^2).$$
Järeldus: $2k^2$ on täisarv, nii et $n^2$ on kahe ja täisarvu korrutis. See ongi paarisarvu definitsioon. Näiteks $6^2=36$ sobib väitega, kuid üksinda ei tõesta seda kõigi paarisarvude jaoks.
Näide: vastunäide
Väide: iga algarv on paaritu.
Kontroll: arv 2 on algarv, sest tema positiivsed jagajad on ainult 1 ja 2. Aga 2 on paarisarv. Seega leidub üks algarv, mille puhul väide ei kehti, ja üldväide on ümber lükatud.
Arv 4 ei sobiks vastunäiteks: kuigi ta on paaris, pole ta algarv. Vastunäide peab täitma väite eelduse.
Näide: mõlemad suunad
Väide: täisarv $n$ on paarisarv parajasti siis, kui $n^2$ on paarisarv.
Esimene suund: kui $n$ on paaris, siis $n^2$ on paaris. Selle tõestasime eespool.
Teine suund: eeldame, et $n^2$ on paaris. Kas $n$ võiks olla paaritu? Sel juhul $n=2k+1$ ja
$$n^2=(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1.$$
See oleks paaritu, vastuolus eeldusega, et $n^2$ on paaris. Seega $n$ on paaris. Alles mõlema suuna tõestamine õigustab sõnu „parajasti siis, kui”.
Näide: vastuväiteline tõestus
Väide: suurimat naturaalarvu ei ole.
Oletame vastupidist: leidub suurim naturaalarv $N$. Siis $N+1$ on samuti naturaalarv, aga $N+1>N$. See on vastuolus oletusega, et $N$ on suurim. Järelikult oli oletus vale.
Ka eelmise näite teine suund kasutas vastuolu. Tõestusvõtteid saab omavahel kombineerida.
Näide: induktsioon
Induktsioon sammhaaval: 11. klassi lisaväljakutse
Väide: esimese $n$ positiivse paaritu arvu summa on $n^2$, kui $n\ge1$:
$$1+3+\cdots+(2n-1)=n^2.$$
Näiteks $1+3+5=9=3^2$. See aitab väidet mõista, kuid tõestus peab hõlmama kõiki $n$ väärtusi.
1. Baassamm. Kui $n=1$, on summa $1=1^2$. Väide kehtib.
2. Induktsioonieeldus. Oletame, et väide kehtib mingi suvalise täisarvu $k\ge1$ korral:
$$1+3+\cdots+(2k-1)=k^2.$$
3. Induktsioonisamm. Järgmine paaritu arv on $2(k+1)-1=2k+1$. Lisame selle mõlemale poole:
$$1+3+\cdots+(2k-1)+(2k+1)$$
$$=k^2+2k+1=(k+1)^2.$$
Esimese $k$ liikme summa asendasime $k^2$-ga just induktsioonieelduse põhjal. Nii tõestasime: kui väide kehtib $k$ korral, kehtib see ka $k+1$ korral.
Järeldus. Baassamm annab juhu 1; induktsioonisamm viib sealt juhule 2, siis 3 ja nii edasi. Seetõttu kehtib väide kõigi täisarvude $n\ge1$ korral. Me ei eeldanud kogu väidet ette, vaid tõestasime ülemineku ühest juhust järgmisse.
Proovi ise
Tõesta, et kahe paarisarvu summa on paarisarv. Kas selle tõestab arvutus $4+8=12$?
Kontroll
Kirjuta arvud kujul $2a$ ja $2b$, kus $a$ ja $b$ on täisarvud. Nende summa on $2a+2b=2(a+b)$. Kuna $a+b$ on täisarv, on summa paarisarv. Arvutus $4+8=12$ kontrollib ainult üht juhtu, mitte üldväidet.