Tõestus: vastunäide ja põhjendus

Enne alustamist8. klass · raskus 2/5

Mapiku soovitus: jaguvuse põhjendused alates 8. klassist. Ruutvõrrandi lahendivalemi tuletus on eraldi avatav 9. klassi süvendus; induktsiooni sammud leiad tõestusviiside lehelt, 11. klassi lisaväljakutsena.

Vastunäide

Vastunäide on üks lubatud juht, kus üldväide ei kehti.

Kui väide on “kõik täisarvud on naturaalarvud”, siis $-1$ on vastunäide. Ta on täisarv, aga ei ole naturaalarv.

Vastunäide sobib ainult siis, kui see kuulub väites käsitletavasse hulka. Kui väide räägib täisarvudest, peab vastunäide olema täisarv.

Jaguvus: summa ja korrutis pole sama

Väide: kui kahe täisarvu summa jagub kolmega, siis mõlemad arvud jaguvad kolmega.

See on vale: $1+2=3$ jagub kolmega, kuid ei 1 ega 2 jagu kolmega. Mõlemad täidavad eelduse: nad on täisarvud ja nende summa jagub kolmega.

Seevastu kolme järjestikuse täisarvu summa jagub alati kolmega. Kirjutame arvud $n$, $n+1$ ja $n+2$:

$$n+(n+1)+(n+2)$$

$$=3n+3=3(n+1).$$

Kuna $n+1$ on täisarv, on summa kolme kordne. See arvutus hõlmab kõiki järjestikuseid täisarvukolmikuid, mitte ainult näiteks arve 4, 5 ja 6.

Kas summa jagub alati ka kuuega? Ei: $2+3+4=9$ on vastunäide.

Keerulisem näide: jaguvus kuuega

Väide: kolme järjestikuse täisarvu korrutis jagub kuuega.

Vähemalt üks neist on paarisarv, seega jagub korrutis kahega.
Kolmega jagamisel on kolmel järjestikusel arvul jäägid 0, 1 ja 2 mingis järjekorras. Üks neist jagub seega kolmega ja korrutis samuti.
Arvudel 2 ja 3 pole ühist tegurit peale 1. Kui korrutis jagub mõlemaga, jagub see ka $2\cdot3=6$-ga.

Näiteks $4\cdot5\cdot6=120=6\cdot20$. Erinevalt näite kontrollimisest selgitab eelnev põhjendus, miks väide kehtib iga täisarvu $n$ korral korrutisele $n(n+1)(n+2)$.

Ettevaatust: sama järeldus ei sobi suvaliste jagajate jaoks. Arv 12 jagub nii 4 kui ka 6-ga, kuid mitte $4\cdot6=24$-ga, sest 4 ja 6 pole ühistegurita.

Kust tuleb ruutvõrrandi lahendivalem?

Üldvalemi tuletus: 9. klassi süvendus

Lähtume võrrandist $ax^2+bx+c=0$, kus $a$, $b$ ja $c$ on reaalarvud ning $a\ne0$. Kasutame summa ruudu valemit $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$.

1. Korrutame mõlemad pooled arvuga $4a$. See on nullist erinev, nii et lahendid säilivad:

$$4a^2x^2+4abx+4ac=0.$$

2. Lahutame mõlemalt poolt $4ac$ ja liidame $b^2$. Vasak pool muutub ruuduks:

$$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac.$$

$$\underbrace{(2ax+b)^2}_{\text{summa ruut}}=b^2-4ac.$$

Tähistame parema poole $D=b^2-4ac$. See on diskriminant.

3. Leiame ruudu aluse. Kui $D\ge0$, siis

$$2ax+b=\pm\sqrt D.$$

Märk $\pm$ on vajalik: sama ruudu võivad anda nii positiivne kui ka negatiivne arv. Kui $D=0$, langevad need võimalused kokku.

4. Lahutame $b$ ja jagame $2a$-ga:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Kõik sammud on pööratavad ning nulliga ei jagatud. Seega saime kõik reaallahendid: $D>0$ korral kaks, $D=0$ korral ühe. Kui $D<0$, pole reaallahendeid, sest reaalarvu ruut ei saa olla negatiivne.

Kontrollnäide: $2x^2-10x+12=0$. Siin $a=2$, $b=-10$, $c=12$:

$$D=(-10)^2-4\cdot2\cdot12=4.$$

$$x=\frac{10\pm2}{4}.$$

$$x_1=3,\quad x_2=2.$$

Tagasiasendus annab mõlemal juhul nulli: $2\cdot9-30+12=0$ ja $2\cdot4-20+12=0$. Valemi tuletus oli üldine; see näide kontrollib selle kasutamist ühes võrrandis.

Miks joonisest üksi ei piisa?

Joonis aitab näha ideed, kuid joonis võib olla ebatäpne. Kui kaks nurka paistavad võrdsed, ei tähenda see veel, et nad on alati võrdsed.

Heas põhjenduses peab iga samm tuginema ühele neist:

definitsioon;
varem tõestatud omadus;
antud eeldus;
korrektne arvutus või teisendus.

Väike kontrollmuster

Pärast tõestust küsi iga rea kohta:

Kust see väide tuli?
Kas see kehtib kõigil lubatud juhtudel?
Kas ma kasutasin joonist ainult vihjena või ka põhjenduseta eeldusena?