Loogika, hulgad ja tõestus

Mõiste

Loogikas kontrollime, kas järeldus tuleb eeldustest päriselt välja. Hulk on objektide kogum. Tõestus näitab, miks väide kehtib kõigil lubatud juhtudel.

Valemid ja tingimused

$$P\Rightarrow Q$$

tähendab: kui eeldus $P$ kehtib, siis järeldus $Q$ peab kehtima.

$$4\mid n\Rightarrow 2\mid n.$$

Vastupidine suund ei pruugi kehtida:

$$2\mid n\not\Rightarrow 4\mid n,$$

sest $6$ jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

$$P\Leftrightarrow Q$$

tähendab, et mõlemad suunad kehtivad: $P\Rightarrow Q$ ja $Q\Rightarrow P$.

Hulkade põhitähised on $x\in A$, $A\subseteq B$, ühend $A\cup B$ ja ühisosa $A\cap B$.

Näide

Kui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga. Vastupidine väide ei kehti: 6 jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

Hulkade näide:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

Kui $x\in\mathbb{N}$, siis kindlasti $x\in\mathbb{Z}$. Vastupidine ei kehti: $-3\in\mathbb{Z}$, aga $-3\notin\mathbb{N}$, kui naturaalarvud algavad 1-st.

Seosed

Loogika on tõestuste, võrratuste, funktsioonide omaduste ja kõrgema matemaatika alus. Järgmine matemaatilise induktsiooni peatükk kasutab loogilist järeldamist lõpmatu hulga väidete tõestamiseks.