Arvuhulgad ja reaalarvud

Enne alustamist9. klass · raskus 3/5

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm ja sama arv võib kuuluda mitmesse hulka korraga. Põhihulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.$$

Reaalarvude hulka kuuluvad nii ratsionaalarvud kui ka irratsionaalarvud, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Valemid ja tingimused

$\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
$\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
$\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
$\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Arvuhulkade sisaldumine — Arvuhulgad sisalduvad üksteises: naturaalarvud täisarvudes, täisarvud ratsionaalarvudes ja ratsionaalarvud reaalarvudes.

Lisajoonised

Arvtelg arvude järjestamiseks — Arvtelg aitab näha arvude järjestust ja kaugust nullist.

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Võimalikud eksimused

Lõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks $0,333\ldots=\frac13$.

Teine tüüpviga on arvata, et iga ruutjuurega arv on irratsionaalne. Näiteks $\sqrt2$ on irratsionaalarv, aga $\sqrt9=3$ on naturaalarv.

Praktiline kontroll: leia kõige kitsam sobiv hulk, siis lisa kõik sellest suuremad hulgad. Näiteks $-5$ algab täisarvudest, aga kuulub edasi ka ratsionaal- ja reaalarvudesse.

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.