Mis on tõestus?

Mõiste

Tõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.

Tõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.

Valemid ja tingimused

• Otsene tõestus alustab eeldusest $P$ ja jõuab järjest põhjendatud sammudega järelduseni $Q$.
• Väite $P\Rightarrow Q$ võib tõestada ka samaväärse suuna $\neg Q\Rightarrow\neg P$ kaudu.
• Vastuväiteline tõestus eeldab tõestatava väite eitust ja jõuab vastuoluni.
• Vastuväide näitab, et üldväide ei saa olla tõene.
• Üksik näide võib väite ümber lükata, kuid ei tõesta väidet kõigi juhtude kohta.

Näide

Väide: kui täisarv $n$ jagub 4-ga, siis $n$ on paarisarv.

Otsene tõestus: kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et

$$n=4k.$$

Aga

$$4k=2(2k).$$

Kuna $2k$ on täisarv, saab $n$ kirjutada kujul $2\cdot\text{täisarv}$. Seega $n$ on paarisarv.

Seosed

See leht valmistab ette loogika, hulkade, geomeetrilise tõestamise, induktsiooni ja algoritmide korrektsuse peatükke. Küsimus ei ole ainult "mis vastus tuli?", vaid "miks see vastus peab alati nii tulema?".