Interaktiivsed harjutused

Enne alustamist

Eesmärk

Interaktiivne harjutus teeb nähtavaks õpilase lahendustee. Vastus ei ole ainult lõpparv: süsteem küsib sisendit, valikut, vaheetappi, ühikut ja kontrolli.

Sisukorra harud

diagnostilised harjutused: leia, milline eeldus või mõiste on puudu;
sammhaaval lahendused: iga samm avab järgmise;
vihjega harjutused: vihje muutub konkreetsemaks, kui õpilane eksib;
enesekontroll: õpilane võrdleb oma lahendust kontrollküsimustega;
õpetaja vaade: milliseid eksimusi klassis kõige rohkem tekib.

Praegune harjutus

Alustame lineaarfunktsiooni kontrollist, sest seal saab eraldi küsida tõusu, algväärtust, sisendit, väljundit ja graafiku tõlgendust.

Seotud põhimaterjal:

Tabel. Veerud: Põhitase, Oskus, Tutvustus, Ava harjutus
Põhitase	Oskus	Tutvustus	Ava harjutus
7.–8. klass	algväärtus, tõus, valem ja kontroll	Lineaarfunktsiooni kontroll	ava sammharjutus

Lineaarfunktsiooni kontroll

Enne alustamist8. klass · raskus 2/5

Kasutuskaart

Põhitase: 7.–8. klass.
Eeldus: õpilane oskab koordinaate lugeda, täisarvudega arvutada ja väärtusi valemisse asendada.
Eesmärk: moodustada sirge valem algväärtuse ja tõusu kaudu ning rakendada seda uue sisendi korral.
Järgmine samm: lineaarfunktsioon.

Harjutuse idee

Õpilane ei sisesta kohe sirge valemit, vaid ehitab selle kolmes sammus.

Antud on punktid (0; -2) ja (4; 6).

Ava töötav sammharjutus siin: Lineaarfunktsiooni kontroll.

Sammud

Mis on algväärtus?
Mis on tõus?
Kirjuta valem kujul $y=kx+b$.
Rakenda valemit uue sisendi korral.

Õige lahendustee

Algväärtus on -2, sest punkt (0;-2) on $y$-telje lõikepunkt.

Tõus on

$$k=\frac{6-(-2)}{4-0}=2.$$

Seega valem on

$$y=2x-2.$$

Kui $x=5$, siis

$$y=2\cdot5-2=8.$$

Tagasiside loogika

Kui õpilane paneb $b=6$, tuletab harjutus meelde: $b$ on väärtus siis, kui $x=0$.
Kui tõusu nimetaja ja lugeja lähevad vahetusse, küsib harjutus: "Kui $x$ muutub 4 võrra, kui palju muutub $y$?"
Kui valem on õige, palub harjutus rakendada seda uue sisendi $x=5$ korral.

Interaktiivne vorm

Harjutus avab järgmise välja alles siis, kui eelmine mõiste on paigas. Nii ei saa õpilane valemit juhuslikult pakkuda enne, kui algväärtus ja tõus on eraldi kontrollitud.

Seotud põhimaterjal

Mida testida

Kas sammhaaval kontroll vähendab juhuslikku valemi pakkumist ja sunnib õpilast graafiku tähendust sõnastama?

Graafikuvaatleja

Enne alustamist9. klass · raskus 2/5

Ava graafikuvaatleja.

Muuda valemi kordajaid ja võrdle graafikuid. See on vaba katsetamise tööriist, mitte ajavõtuga ega punktidega mäng. Punktide koordinaate saab uurida juba 6. klassis, sirge valemit veel õppimata. Lineaarfunktsioon sobib alates 7. klassist, ruutfunktsioon 9. klassist; tegurdatud kuju seostub ka tegurdamisega. Kuupfunktsioon on gümnaasiumi lisaväljakutse.

Viis valemikuju

$y=ax+b$: $a$ on sirge tõus, $b$ algordinaat. Teistes materjalides võib tõusu tähis olla $k$.
$y=ax^2+bx+c$: ruutfunktsioon, kui $a\ne0$. Eripunktide vaates muudab haripunkti lohistamine $b$ ja $c$ väärtusi, jättes $a$ samaks.
$y=a(x-x_1)(x-x_2)$: nullkohtade kuju. Kui $a\ne0$, on $x_1$ ja $x_2$ funktsiooni nullkohad; need võivad kattuda. Eripunktide vaates liiguvad nullkohad x-teljel, muutmata $a$ väärtust. Kui $a=0$, on kõik funktsiooni väärtused nullid: graafik on x-telg, mitte parabool.
$y=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)$: ruutfunktsioon ainult siis, kui $a_1a_2\ne0$. Sel juhul on nullkohad $-b_1/a_1$ ja $-b_2/a_2$; need võivad kattuda. Eripunktide vaates muudab nullkoha lohistamine vastava teguri vabaliiget.
$y=ax^3+bx^2+cx+d$: kuupfunktsioon, kui $a\ne0$. Kui $a=0$, võib alles jääda ruut-, lineaar- või konstantne funktsioon.

Kõiki ruutfunktsioone ei saa reaalarvuliste lineaartegurite korrutisena esitada. Näiteks $y=x^2+1$ jaoks kasuta üldkuju, mitte tegurdatud kuju.

Näiteks $y=2(x+1)(x-3)$ korral on $a=2$, $x_1=-1$ ja $x_2=3$. Mõlema nullkoha asendamisel valemisse saad $y=0$. Avatud sulgudega on sama valem $y=2x^2-4x-6$. Muutes ainult $a$ väärtust, jäävad need nullkohad paigale; $a$ märgi muutmine peegeldab graafikut x-telje suhtes.

Graafiku iseloomulikud punktid

Rakenduse menüü Eripunktid koondab graafiku kirjeldamiseks kasulikke punkte. See on vaate lühinimi, mitte kõigi nende punktide ühtne matemaatiline definitsioon.

Lõikepunkt y-teljega on $(0;f(0))$.
Funktsiooni nullkoht on arv $x_0$, mille korral $f(x_0)=0$. Graafiku vastav lõikepunkt x-teljega on $(x_0;0)$: arv ja punkt ei ole sama mõiste.
Parabooli haripunkt ehk tipp on $H=(h;f(h))$, kus $h=-b/(2a)$ ja $a\ne0$. Kui $a>0$, on haripunkt parabooli madalaim punkt; kui $a<0$, kõrgeim.

Näiteks funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad on $1$ ja $3$. Graafiku lõikepunktid x-teljega on $(1;0)$ ja $(3;0)$ ning y-teljega $(0;3)$. Haripunkt on $(2;-1)$. Sümmeetriatelg $x=2$ on sirge, mitte punkt.

Lineaarfunktsiooni graafik on sirge ja ruutfunktsiooni graafik parabool. Funktsioon ning selle graafik ei ole sünonüümid.

Punktidega muutmine

Sirgel on kaks juhtpunkti A ja B, ruutfunktsioonil kolm ning kuupfunktsioonil neli. Punktid määravad funktsiooni, mille aste võib olla ka valitud kujust madalam. Näiteks kolm ühel sirgel asuvat punkti annavad lineaarfunktsiooni.

Üks punkt: liigub ainult lohistatav punkt, ülejäänud jäävad paigale.
Valitud punktid: märgi tabelis liigutatavad punktid ja lohista neist üht. Valitud punktid liiguvad sama nihke võrra; ülejäänud jäävad paigale.
Kogu graafik: kõik punktid liiguvad koos, graafiku kuju säilib.

Suund XY lubab vabalt liikuda; X muudab ainult x-koordinaati ning Y ainult y-koordinaati. Vaikimisi on liikumissamm 0,1, mille võib välja lülitada. Rühma puhul ümardatakse nihe, mitte iga punkti koordinaadid eraldi: punktide omavaheline asend peab säilima.

Lukk fikseerib punkti mõlemad koordinaadid. Lukustatud punkt on graafikul kandiline ja märgisega „lukus”. Seda ei saa rühmaga nihutada. Kuni mõni punkt on lukus, pole saadaval kogu graafiku nihutamine, kordajate muutmine, eripunktide vaade ega algväärtuste taastamine. Need toimingud võiksid muidu lukustatud punkti paigast viia. Võta lukk maha, kui soovid neid kasutada.

Tabelis saab iga vaba punkti x- või y-koordinaadi ka arvuna sisestada. See muudab ainult nimetatud punkti ja koordinaati, mitte tervet valitud rühma. Kümnendmurru võib sisestada koma või punktiga. Tagasivõtmise ja uuesti tegemise nooled säilitavad kuni 50 graafikumuudatust, sealhulgas lukustamised; üks lohistamine on üks muudatus.

Juhtpunktide x-koordinaadid peavad erinema vähemalt 0,01 võrra ning koordinaadid jääma vahemikku −1000 kuni 1000. Liiga lähestikku olevad x-id võivad anda arvutamiseks ebatäpse graafiku; sobimatu asend lükatakse selgitusega tagasi. Kordajate lubatud vahemik on −1 000 000 kuni 1 000 000, liugurid alustavad vahemikust −10 kuni 10. Arvutatud kordajaid ei ümardata liikumissammuni.

Mõlema tegurdatud kuju juhtpunkte muutes arvutatakse tegurid uuesti; sama ruutfunktsiooni saab tegurdada mitmel viisil. Kui paraboolil puuduvad reaalsed nullkohad, lülitub rakendus selge teatega üldkujule. Nullkohtade kujust minnakse üldkujule ka siis, kui juhtpunktid annavad sirge või konstantse funktsiooni. Tagasivõtmine taastab eelmise kuju.

Eripunktid on eraldi vaade: sirge ja kuupfunktsiooni y-telje lõikepunkt liigub ainult üles-alla; parabooli haripunkt liigub vabalt ja säilitab kuju; tegurdatud ruutfunktsiooni lõikepunktid x-teljega liiguvad ainult sellel teljel, muutes nullkohti. Need pole samad A–D juhtpunktid.

Võrdle korraga üht muutust

Vali lineaarfunktsioon $y=x+1$ ja jäta see mällu.
Muuda $a=2$, aga jäta $b=1$. Milline punkt jäi paigale?
Taasta mälust esimene graafik. Muuda nüüd ainult $b$ väärtust. Mis jäi samaks?

Esimeses võrdluses jääb paigale $(0;1)$. Teises jääb samaks tõus; sirged on paralleelsed.

Mällu mahub kuni kaheksa graafikut. Need on katkendliku, tuhmima joonega. Silmaikoon peidab või näitab graafikut; taastamisnool avab salvestatud valemi uute vabade juhtpunktidega; rist eemaldab ühe võrdluse. Mälu säilib sama brauseri samal veebiaadressil ka lehe sulgemise järel, kui brauser lubab kohalikku salvestust. Punktide asendid, lukud ja tagasivõtmiste ajalugu eraldi ei salvestu. Mälu ei sünkrooni eri seadmete vahel. Prügikast eemaldab kogu mälu pärast kinnitust.

Graafiku parempoolne püstliugur ja suurendusnupud muudavad mõlema telje skaalat võrdselt, mitte valemit. Liugurit üles liigutades suureneb vaade, alla liigutades väheneb. Arvutis nihutab Shift-klahviga lohistamine koordinaattasandit; puuteekraanil saab selleks kasutada kaht sõrme. Algse vaate nupp toob tagasi koordinaatide alguspunkti ja 100% suurenduse. Allalaadimisnupp salvestab nähtavad graafikud SVG-pildina.

Seotud selgitused

Rakendus töötab allalaaditud failidest ka internetita. Salvestatud valemeid ei saadeta serverisse. Tööriist ei tekita mänguskoore ega lõpetatud voorude statistikat; avaliku lehe kasutust kajastab tavaline lehevaatamiste analüüs.