Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Enne alustamist11. klass · raskus 5/5

Mõiste

Tõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.

Ühend $A\cup B$ tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus. Ühisosa $A\cap B$ tähendab, et toimuvad mõlemad.

Sündmused hulgajoonistel

Sündmused A ja B ning tehted nendega — Värvitud piirkond näitab igal joonisel nimetatud sündmust; raam sisaldab kõiki võimalikke tulemusi.

Joonis näitab kuuluvust, mitte tõenäosuse arvväärtust: piirkonna pindala ei pea olema tõenäosusega võrdeline.

Täiendsündmus $\overline A$ tähendab, et $A$ ei toimu; vahe $A\setminus B$, et toimub $A$, aga mitte $B$.

Valemid ja tingimused

$P(\overline A)=1-P(A)$ ning $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$.

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)\quad\text{(sõltumatud sündmused)}.$$

$$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A),$$

kus $P(A)>0$ ning $P(B\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.

Lisajoonised

Tõenäosusmudelist järelduseni — Mudeli eeldused määravad arvutusviisi ning valimi esinduslikkus määrab, kui usaldusväärselt saab tulemust üldkogumile laiendada.

Näide

Ausat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:

$$P(X=3)=\binom53\left(\frac12\right)^3 \left(\frac12\right)^2 =\frac{10}{32} =0{,}3125.$$

Kui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.

Võimalikud eksimused

Sõltumatust ei tohi eeldada ainult mugavuse pärast. Kaartide võtmisel ilma tagasipanekuta muutub teise sündmuse tõenäosus.

Teine tüüpviga on liita sündmuste tõenäosused ühisosa lahutamata. Valem $P(A)+P(B)$ sobib otse ainult välistavate sündmuste korral.

Seosed

Tõenäosusmudel seob kombinatoorika arvutuse andmete tõlgendamisega. Sama mudelikontrolli kasutatakse hiljem finants-, kasvu- ja optimeerimisülesannetes.