Kombinatoorika

Mõiste

Kombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.

Enne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.

Valemid ja tingimused

Kolm erinevat raamatut A, B ja C saab ritta panna kuuel viisil:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Esimesele kohale on 3 valikut, teisele 2 ja viimasele 1: $3\cdot2\cdot1=6$. See on permutatsioon ehk kõigi esemete järjestus; üldiselt on neid $n!$.

Valides viiest erinevast raamatust kaks ilma kordusteta:

• järjekorraga (variatsioon): esimene raamat 5 viisil, teine 4 viisil, kokku $5\cdot4=20$;
• järjekorrata (kombinatsioon): AB ja BA on sama valik, mistõttu jagame kahega: $20/2=10$.

Üldvalemid valiku jaoks, kus $0\le k\le n$ on täisarvud ja kordusi pole: järjekorraga $\frac{n!}{(n-k)!}$, järjekorrata $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; $0!=1$.

Näide

Raamatute A, B, C, D ja E kahe kaupa valikud on AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Valem $\binom52=10$ kirjeldab sama loendust.

Kaks täringut: paar või summa?

Eristame esimest ja teist ausat täringut. Tulemus $(1;2)$ erineb tulemusest $(2;1)$: koordinaattasandil oleksid need eri punktid. Paare on $6\cdot6=36$.

Kui järjekord ei loe, ühendame paarid $(1;2)$ ja $(2;1)$ jne. Võrdseid paare $(1;1)$ kuni $(6;6)$ on 6; teisi on $30/2=15$. Kokku 21 paaritüüpi.

Võimalikke summasid on 11, arvud 2 kuni 12. Summa 7 tuleb kuuel viisil, summa 2 ühel viisil.

Sõltumatute ausate täringute 36 järjestatud paari on võrdvõimalikud, kuid 21 paaritüüpi ega 11 summat seda ei ole.

Seosed

Kombinatoorika aitab tõenäosuses nimetajat ja lugejat leida. Järgmistes andmete peatükkides nihkub rõhk loendamiselt hajuvusele, jaotustele ning Bernoulli mudelile.