Kombinatoorika

Tuum

Kombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.

Enne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.

Valemid ja tingimused

Kolm erinevat raamatut A, B ja C saab ritta panna kuuel viisil:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Esimesele kohale on 3 valikut, teisele 2 ja viimasele 1: $3\cdot2\cdot1=6$. See on permutatsioon ehk kõigi esemete järjestus; üldiselt on neid $n!$.

Valides viiest erinevast raamatust kaks ilma kordusteta:

• järjekorraga (variatsioon): esimene raamat 5 viisil, teine 4 viisil, kokku $5\cdot4=20$;
• järjekorrata (kombinatsioon): AB ja BA on sama valik, mistõttu jagame kahega: $20/2=10$.

Üldvalemid valiku jaoks, kus $0\le k\le n$ on täisarvud ja kordusi pole: järjekorraga $\frac{n!}{(n-k)!}$, järjekorrata $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; $0!=1$.

Kiirnäide

Raamatute A, B, C, D ja E kahe kaupa valikud on AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Valem $\binom52=10$ kirjeldab sama loendust.

Kaks täringut: paar või summa?

Eristame esimest ja teist ausat täringut. Tulemus $(1;2)$ erineb tulemusest $(2;1)$: koordinaattasandil oleksid need eri punktid. Paare on $6\cdot6=36$.

Kui järjekord ei loe, ühendame paarid $(1;2)$ ja $(2;1)$ jne. Võrdseid paare $(1;1)$ kuni $(6;6)$ on 6; teisi on $30/2=15$. Kokku 21 paaritüüpi.

Võimalikke summasid on 11, arvud 2 kuni 12. Summa 7 tuleb kuuel viisil, summa 2 ühel viisil.

Sõltumatute ausate täringute 36 järjestatud paari on võrdvõimalikud, kuid 21 paaritüüpi ega 11 summat seda ei ole.