Tõestamine ja ringjoone teoreemid

Enne alustamist8. klass · raskus 4/5

Mõiste

Kesk- ja piirdenurga seosest järelduvad piirdenurkade võrdsus ning Thalese teoreem. Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Valemid ja tingimused

Samale kaarele toetuv kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem: $\theta=2\alpha$.
Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Kui $AB$ on diameeter, peab ringjoonel asuv tipp $C$ erinema punktidest $A$ ja $B$.
Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Teoreem kesk- ja piirdenurgast — Samale kaarele AB toetuvad kesknurk 2α ja piirdenurk α.

Lisajoonised

Thalese teoreem — AB on diameeter. Täisnurk punktis C ei nõua, et kolmnurk ABC oleks võrdhaarne.

Teoreem puutujast ja raadiusest — OT on raadius ja t puutuja. Täisnurga märgis jääb raadiuse pikendusel ringist väljapoole.

Näide

Poolringile vastav kesknurk on $180^\circ$. Sellele toetuv piirdenurk on $180^\circ:2=90^\circ$.

Võimalikud eksimused

Vali kaar, millel piirdenurga tipp ei asu. See võib olla ka suurem kaar; vastav kesknurk võib siis olla üle $180^\circ$. Jooniselt mõõtmine ei asenda tõestust.

Seosed

Tõestuste alus: Eukleidese „Elemendid”, III.20 ja III.21. Puutuja põhjendus kasutab telgsümmeetria kauguste säilimist; klassikaline tõestus on III.18.