Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk
Enne alustamist9. klass · raskus 4/5
Mõiste
Täisnurkse kolmnurga kaatetid on $a,b>0$ ja hüpotenuus $c$. Siis $a^2+b^2=c^2$.
Valemid ja tingimused
Paigutame neli võrdset täisnurkset kolmnurka kaatetitega $a,b>0$ küljega $a+b$ ruudu nurkadesse. Keskmise kujundi küljed on hüpotenuusid $c$ ning nurgad $180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ$, sest kolmnurga teravnurkade summa on $90^\circ$.
$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$
Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb
$$a^2+b^2=c^2.$$
Korrapärase kumera hulknurga pindala on $S=Pr/2$, kus $P$ on ümbermõõt ja $r$ apoteem ehk kaugus keskpunktist küljeni.
Näide
Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast. Ühe kolmnurga kõrgus on
$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$
Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala
$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$
Võimalikud eksimused
Pindalatõestuses tuleb põhjendada, miks keskmine kujund on ruut. Apoteem lõpeb külje keskpunktis ja on küljega risti; ümberringjoone raadius lõpeb tipus.
Korrapärase kuusnurga keskpunkti ühendamine tippudega annab võrdkülgsed, mitte täisnurksed kolmnurgad. Apoteem poolitab iga sellise kolmnurga kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.
Seosed
Pythagorase teoreemi tõestus ühendab algebra ja pindala. Korrapäraste hulknurkade poolitamisel tekkivad täisnurksed kolmnurgad valmistavad ette siinuse, koosinuse ja tangensi kasutamist.