Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk

Tuum

Täisnurkse kolmnurga kaatetid on $a,b>0$ ja hüpotenuus $c$. Siis $a^2+b^2=c^2$.

Valemid ja tingimused

Paigutame neli võrdset täisnurkset kolmnurka kaatetitega $a,b>0$ küljega $a+b$ ruudu nurkadesse. Keskmise kujundi küljed on hüpotenuusid $c$ ning nurgad $180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ$, sest kolmnurga teravnurkade summa on $90^\circ$.

$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$

Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb

$$a^2+b^2=c^2.$$

Täielik pindalatõestus.

Korrapärase kumera hulknurga pindala on $S=Pr/2$, kus $P$ on ümbermõõt ja $r$ apoteem ehk kaugus keskpunktist küljeni.

Kiirnäide

Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast. Ühe kolmnurga kõrgus on

$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$

Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala

$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$