Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk
Enne alustamist9. klass · raskus 4/5
Mõiste
Pythagorase teoreem ei ole ainult arvutusreegel. Seda saab tõestada pindalade võrdlemisega.
Eeldus: tunned ruutu ja täisnurkset kolmnurka, kolmnurga pindala ning nurkade summat. Tõestatav seos $a^2+b^2=c^2$ ei ole tõestuse eeldus.
Pythagorase teoreemi pindalatõestus
Olgu täisnurkse kolmnurga kaatetid $a,b>0$, hüpotenuus $c$ ja teravnurgad $\alpha,\beta$. Kolmnurga nurgasummast saame $\alpha+\beta=90^\circ$.
Paigutame neli selle kolmnurga koopiat küljega $a+b$ ruudu nurkadesse nagu joonisel. Need ei kattu. Keskmise nelinurga kõik küljed on hüpotenuusid pikkusega $c$. Iga selle nurk koos kahe kolmnurga teravnurkadega moodustab sirgnurga, seega on keskmine nurk $180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ$. Järelikult on keskmine kujund ruut.
$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$
Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb
$$a^2+b^2=c^2.$$
Korrapärase hulknurga pindala põhjendus
Korrapärane hulknurk on siin kumer ning võrdsete külgede ja nurkadega. Ühenda keskpunkt kõigi tippudega. Tekkinud võrdhaarsete kolmnurkade alused on hulknurga küljed. Nende ühine kõrgus ehk apoteem $r$ ühendab keskpunkti külje keskpunktiga ja on küljega risti.
Iga osakolmnurga pindala on külje pikkus korda $r$ jagatud kahega. Aluste pikkuste summa on ümbermõõt $P$, seega
$S=\frac{Pr}{2}.$
Apoteem on korrapärase hulknurga siseringjoone raadius, mitte ümberringjoone raadius.
Näide
Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast: kesknurk on $360^\circ/6=60^\circ$ ning võrdhaarsete kolmnurkade alusnurgad samuti $60^\circ$. Ühe kolmnurga kõrgus on
$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$
Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala
$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$
Kontroll: sama tulemuse annab $P=24$ ja $r=2\sqrt3$ asetamine valemisse $S=\frac{Pr}{2}$.
Võimalikud eksimused
Pindalatõestuses tuleb põhjendada, miks keskmine kujund on ruut. Apoteem lõpeb külje keskpunktis ja on küljega risti; ümberringjoone raadius lõpeb tipus.
Korrapärase kuusnurga keskpunkti ühendamine tippudega annab võrdkülgsed, mitte täisnurksed kolmnurgad. Apoteem poolitab iga sellise kolmnurga kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Kui palju on nelja kaatetitega $a,b$ kolmnurga pindala kokku?
- Leia ruudu diagonaal, kui külg on 5 cm.
Rakendus
- Leia võrdkülgse kolmnurga kõrgus, kui külg on 6 cm.
- Leia sama kolmnurga pindala.
- Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 5 cm. Leia pindala.
Mõtlemisülesanne
- Selgita pindalade abil, miks tõestusest kaob liige $2ab$.
- Leia korrapärase kuusnurga pindala, kui külg on 2 cm.
- Kas valem $S=\frac{Pr}{2}$ sobib igale hulknurgale? Põhjenda.
Vastused
- $4\cdot\frac{ab}{2}=2ab$.
- $d=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2$ cm.
- $h=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3$ cm.
- $S=\frac{6\cdot3\sqrt3}{2}=9\sqrt3\text{ cm}^2$.
- $S=\frac{40\cdot5}{2}=100\text{ cm}^2$. Sellised mõõtmed on ruudul küljega 10 cm.
- Liige $2ab$ on nelja kolmnurga kogupindala mõlemas sama ruudu pindala kirjelduses ja lahutatakse mõlemalt poolelt.
- Ühe kolmnurga pindala on $\sqrt3$, seega kokku $6\sqrt3\text{ cm}^2$.
- Ei. Kõigil hulknurkadel pole sisepunkti, mis oleks kõigist külgedest sama kaugel. Valem kehtib ka siseringjoonega kumeral hulknurgal, mis ei ole korrapärane; siis on $r$ siseringjoone raadius.
Seosed
Pythagorase teoreemi tõestus ühendab algebra ja pindala. Korrapäraste hulknurkade poolitamisel tekkivad täisnurksed kolmnurgad valmistavad ette siinuse, koosinuse ja tangensi kasutamist.