Piirväärtus, tuletis ja integraal

Mõiste

Piirväärtus kirjeldab, millele avaldis või funktsioon läheneb. Tuletis kirjeldab muutumiskiirust. Integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku ja telje vahel.

Analüüsi põhiküsimus on: mis juhtub siis, kui vaatame muutumist väga väikeste sammudega või kogume väga paljud väikesed osad kokku?

Valemid ja tingimused

Tuletis punktis $x_0$ on vahe jagatise piirväärtus:

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$

Kui $F'(x)=f(x)$, siis määratud integraali arvutab Newtoni-Leibnizi valem:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Tuletis on lokaalne muutumiskiirus; määratud integraal liidab muutuse kogu vahemikus.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$f'(x)=2x.$$

Punktis $x=3$ on muutumiskiirus 6.

See tähendab, et graafiku $y=x^2$ puutuja tõus punktis $x=3$ on 6.

Seosed

Analüüs ühendab funktsioonid, füüsika, optimeerimise, pindalad ja pidevad protsessid. Järgmine moodul keskendub tuletise arvutusreeglitele: kuidas muutumiskiirust valemitest kiiresti leida.