Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Enne alustamist11. klass · raskus 5/5

Mõiste

Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus

$$\lim_{n\to\infty}a_n=L$$

ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.

Valemid ja tingimused

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

Lõpmatu geomeetrilise rea summa leidub ainult siis, kui $|q|<1$:

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Tingimus $|q|<1$ tähendab, et jada liikmed hääbuvad nulli poole.

Lähenev jada — Jada liikmed võivad kõikuda, kuid nende kaugus piirväärtusest väheneb järjekorranumbri kasvades.

Näide

Leiame jada

$$a_n=\frac{3n+1}{n}$$

piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:

$$a_n=3+\frac1n.$$

Kuna $\frac1n\to0$, siis

$$\lim_{n\to\infty}a_n=3.$$

Hääbuva geomeetrilise jada

$$6+3+1{,}5+\cdots$$

esimene liige on $6$ ja tegur $q=1/2$. Seega

$$S=\frac6{1-1/2}=12.$$

Võimalikud eksimused

Piirväärtus ei ole sama mis viimane liige: lõpmatul jadal viimast liiget ei ole.

Teine tüüpviga on kasutada lõpmatu summa valemit, kui $|q|\ge1$. Siis geomeetrilise jada liikmed ei lähene nullile ja osasummad ei lähene lõplikule arvule.

Seosed

Jada piirväärtus valmistab ette funktsiooni piirväärtuse: mõlemas uuritakse mitte viimast sammu, vaid väärtuse lähenemist kindlale sihile.