Jada piirväärtus ja lõpmatu summa
Tuum
Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus
$$\lim_{n\to\infty}a_n=L$$
ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.
Valemid ja tingimused
$$\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$
Lõpmatu geomeetrilise rea summa leidub ainult siis, kui $|q|<1$:
$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$
Tingimus $|q|<1$ tähendab, et jada liikmed hääbuvad nulli poole.
Kiirnäide
Leiame jada
$$a_n=\frac{3n+1}{n}$$
piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:
$$a_n=3+\frac1n.$$
Kuna $\frac1n\to0$, siis
$$\lim_{n\to\infty}a_n=3.$$
Hääbuva geomeetrilise jada
$$6+3+1{,}5+\cdots$$
esimene liige on $6$ ja tegur $q=1/2$. Seega
$$S=\frac6{1-1/2}=12.$$
Pane tähele
Piirväärtus ei ole sama mis viimane liige: lõpmatul jadal viimast liiget ei ole.
Teine tüüpviga on kasutada lõpmatu summa valemit, kui $|q|\ge1$. Siis geomeetrilise jada liikmed ei lähene nullile ja osasummad ei lähene lõplikule arvule.