Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused
Enne alustamist11. klass · raskus 5/5
Mõiste
Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,
\qquad
\log_a(x^r)=r\log_a x.$$
Valemid ja tingimused
Eeldame $a>0$, $a\ne1$, $x>0$ ja $y>0$. Aluse vahetamisel ka $b>0$ ning $b\ne1$.
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,
\qquad
\log_a(x^r)=r\log_a x.$$
$$\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}.$$
See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.
Näide
Lahendame
$$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3.$$
Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi
$$\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=3,$$
seega
$$x^2-1=2^3=8.$$
Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.
Võimalikud eksimused
Logaritm ei jaotu summa üle:
$$\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y.$$
Teine tüüpviga on unustada argumendi tingimus. Algebraline teisendus võib anda kandidaadi, mille korral mõni algne logaritm puudub.
Seosed
Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.