Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Enne alustamist11. klass · raskus 5/5

Mõiste

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,$$

$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \qquad \log_a(x^r)=r\log_a x.$$

Eeldus: oskad vahetada seoseid $a^x=b$ ja $\log_a b=x$ ning kontrollida tingimusi $a>0$, $a\ne1$ ja logaritmi argument $>0$.

Aluse vahetamise valem on

$$\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}.$$

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Eksponentvõrrandis püütakse esmalt saada mõlemale poole sama alus. Kui see ei õnnestu, võetakse mõlemast poolest logaritm. Logaritmvõrrandis kontrollitakse enne teisendamist kõigi argumentide positiivsust.

Eksponent- ja logaritmvõrratuse suund sõltub alusest:

kui $a>1$, on $a^x$ ja $\log_a x$ kasvavad;
kui $0<a<1$, on need kahanevad ning argumentide võrdlemisel pöördub võrratuse märk.

Logaritmvõrrandi kontrollitee — Logaritmvõrrandi lahendamisel märgitakse tingimused, teisendatakse võrrand ning kontrollitakse lahendit algvõrrandis.

Näide

Lahendame

$$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3.$$

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

$$\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=3,$$

seega

$$x^2-1=2^3=8.$$

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Võrratuses

$$\left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^3$$

on alus arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioon on kahanev, seega $x<3$.

Logaritmvõrratus

Lahendame $\log_2(x-1)\le3$. Kõigepealt $x-1>0$, seega $x>1$. Alus 2 on suurem kui 1, mistõttu

$$x-1\le2^3=8.$$

Ühendades tingimused, saame $1<x\le9$.

Võrratuses $\log_{1/2}(x+1)\ge-2$ nõuame $x>-1$. Kahaneva funktsiooni tõttu pöördub märk:

$$x+1\le(1/2)^{-2}=4.$$

Vastus on $-1<x\le3$. Alumine otspunkt ei kuulu lahendisse, sest seal on logaritmi argument null.

Võimalikud eksimused

Logaritm ei jaotu summa üle:

$$\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y.$$

Teine tüüpviga on unustada argumendi tingimus. Algebraline teisendus võib anda kandidaadi, mille korral mõni algne logaritm puudub.

Kolmas tüüpviga on jätta aluse $0<a<1$ korral võrratuse märk pööramata. Enne lahendamist otsusta, kas funktsioon kasvab või kahaneb.

Kontrollsamm

Kirjuta lahenduse algusse tingimused ja lõppu kontroll. Nii ei lähe algebraline kandidaat automaatselt vastuseks.

Harjutused

Lihtne kontroll

Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

Lahenda $2^x>8$.
Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.
Lahenda $\log_3(x-2)<2$ koos määramispiirkonna tingimusega.
Lahenda $\log_{1/2}(x-1)\le1$ ja põhjenda märgi muutumist.

Vastused

$\log_3 45$, sest logaritmide summa ühendab argumendid korrutiseks.
$\log_2 8=3$, sest logaritmide vahe ühendab argumendid jagatiseks.
$\log_2 7=\frac{\log 7}{\log2}\approx2{,}81$.
$t=2$, sest $27=3^3$ ja seega $t+1=3$.
$x=29$; argument $x-4=25$ on positiivne.
Tingimus on $x>2$. Võrrand annab $x(x-2)=8$, kandidaadid 4 ja $-2$; vastus on $x=4$.
$x>3$, sest alus 2 on suurem kui 1 ja funktsioon kasvab.
$x\ge3$, sest funktsioon alusega $\frac13$ on kahanev ning võrratuse suund pöördub.
Tingimus on $x>3$. Võrrand annab $(x-1)(x-3)=8$, seega kandidaadid $x=5$ ja $x=-1$; ainult $x=5$ täidab tingimuse.
$2<x<11$: argument peab olema positiivne ning $x-2<9$.
$x\ge1{,}5$: tingimus on $x>1$ ja kahanev logaritm annab $x-1\ge1/2$.

Seosed

Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.