Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Enne alustamist8. klass · raskus 3/5

Mõiste

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Valemid ja tingimused

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad raskuskeskmes, mis jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on pikem.

Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte ja on alustega paralleelne. Aluste pikkused on $a,b>0$ ja nende ristkaugus $h>0$:

$$m=\frac{a+b}{2},\qquad S=mh.$$

Kesklõikude põhjendused ning raskuskeskme põhjendus.

Kolmnurga ja trapetsi kesklõik — Joonisel on kolmnurga kesklõik kolmanda külje pool ning trapetsi kesklõik paralleelsete aluste aritmeetiline keskmine.

Näide

Kolmnurga kolmas külg $BC$ on 14 cm. Selle küljega paralleelne kesklõik on

$$MN=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm. Trapetsi kesklõik on

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm}.$$

Võimalikud eksimused

Iga küljega paralleelne lõik ei ole kesklõik: otspunktid peavad olema kahe külje keskpunktid.

Teine viga on liita trapetsi alused, kuid unustada jagamine kahega.

Kolmas viga on kasutada trapetsi haarasid alustena. Alused on paralleelsed küljed.

Seosed

Kesklõik seob paralleelsuse ja sarnasuse. Raskuskese on ühtlase kolmnurkse plaadi tasakaalupunkt.