Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Enne alustamist8. klass · raskus 3/5

Mõiste

Sarnased kujundid saadakse üksteisest kõigi pikkuste korrutamisel sama positiivse arvuga ning vajaduse korral nihutamisel, pööramisel või peegeldamisel.

Valemid ja tingimused

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Sarnasustegur esimeselt kolmnurgalt teisele on $k=DE/AB=EF/BC=DF/AC>0$. Kui $k<1$, kujund väheneb; kui $k=1$, on kujundid võrdsed.

Ümbermõõt muutub $k$ ja pindala $k^2$ korda. Põhjendus ja sarnasuse tunnused.

Sarnased kolmnurgad ja kaudne mõõtmine — Püstine latt ja puu seisavad horisontaalsel maal. Paralleelsed päikesekiired ning varjude suhe 8 : 2 annavad kõrguste sama suhte.

Näide

Püstise 1,5 m pikkuse lati vari on 2 m ja püstise puu vari 8 m. Mõõdame samal ajal horisontaalsel maal ning käsitleme päikesekiiri paralleelsetena. Kolmnurgad on sarnased, seega

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Võimalikud eksimused

Võrdes peavad olema vastavad küljed ja suhete suund peab olema sama.

Teine viga on järeldada sarnasust ainult selle põhjal, et kujundid paistavad sama kujuga. Vaja on sarnasuse tunnust.

Kolmas viga on kasutada pindala jaoks tegurit $k$. Pindala muutub teguriga $k^2$.

Seosed

Sarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.