Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets Koolimatemaatika tuumikreferents

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Enne alustamist8. klass · raskus 3/5

Mõiste

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Eeldus: tunned kujundite osi ja paralleelsete sirgete nurgaseoseid.

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad raskuskeskmes, mis jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on pikem.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte, on alustega paralleelne ja selle pikkus on aluste aritmeetiline keskmine:

$$m=\frac{a+b}{2}.$$

Trapetsi kõrgus $h$ on aluste vaheline ristkaugus. Trapetsi pindala on

$$S=\frac{(a+b)h}{2}=mh.$$

Sama haara lähisnurkade summa on $180^\circ$, sest alused on paralleelsed. Erineva pikkusega aluste ja võrdsete haaradega trapetsil on kummagi aluse lähisnurgad võrdsed: kõrguste tõmbamisel tekivad võrdsed täisnurksed kolmnurgad.

Kolmnurga ja trapetsi kesklõik
Joonisel on kolmnurga kesklõik kolmanda külje pool ning trapetsi kesklõik paralleelsete aluste aritmeetiline keskmine.

Kesklõikude põhjendused

Kolmnurk. Pikenda $MN$ üle $N$ punktini $D$, nii et $ND=MN$. Kolmnurgad $AMN$ ja $CDN$ on võrdsed külg-nurk-külg tunnuse järgi: $AN=NC$, $MN=ND$ ja nurgad $N$ juures on tippnurgad. Seega $CD=AM=MB$ ja $CD\parallel MB$. Nelinurk $MBCD$ on rööpkülik: üks vastaskülgede paar on võrdne ja paralleelne. Seetõttu $MD=BC$ ja $MD\parallel BC$. Kuna $MD=2MN$, saame $MN=BC/2$.

Lähteomadused: kolmnurkade võrdsuse ja rööpküliku tunnused; sarnasust ei eeldata.

Trapets. Olgu alused $AB\parallel CD$ ning $E,F$ haarade $AD,BC$ keskpunktid. Diagonaali $AC$ keskpunkt $K$ annab kolmnurkade kesklõigud $EK=CD/2$ ja $KF=AB/2$. Mõlemad on alustega paralleelsed ja moodustavad koos lõigu $EF$. Järelikult $EF=(AB+CD)/2$.

Sama diagonaal jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks kõrgusega $h$. Nende pindalade summa on $ah/2+bh/2=(a+b)h/2=mh$.

Raskuskeskme põhjendus

See lisapõhjendus kasutab hilisemas peatükis õpitavat kolmnurkade sarnasust.

Olgu $M,N$ vastavalt külgede $AB,AC$ keskpunktid ja $G$ mediaanide $CM,BN$ lõikepunkt. Kesklõik $MN\parallel BC$ ja $MN=BC/2$. Kolmnurgad $GBC$ ja $GNM$ on sarnased vastavate nurkade võrdsuse tõttu. Seega $GB/GN=GC/GM=BC/NM=2$. Kolmas mediaan lõikab sama põhjenduse järgi $CM$ suhtes $2:1$, seega läbib samuti punkti $G$.

Kui vajad abi

Näita lõigu otspunkte: kesklõigul kaks külje keskpunkti, mediaanil tipp ja vastaskülje keskpunkt.

Õpetaja lisasoovitused

Palu eristada mediaani kesklõigust ning näidata trapetsi aluseid ja kõrgust. Lisaväljakutse: põhjendada kesklõigu omadusi võrdsuse tunnusega; sarnasus tuleb hiljem.

Näide

Kui $BC=14$ cm, on kolmnurga kesklõik $MN=14/2=7$ cm.

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm ning kõrgus 5 cm. Leiame kesklõigu ja pindala:

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm},\qquad S=mh=12\cdot5=60\text{ cm}^2.$$

12 cm pikkusel mediaanil on tipupoolne osa $12\cdot2/3=8$ cm ja küljepoolne $12\cdot1/3=4$ cm. Kontroll: $8+4=12$ ja $8:4=2:1$.

Võimalikud eksimused

Kesklõik peab ühendama keskpunkte; mediaan algab tipust. Pelgalt paralleelsusest kesklõigu nimetamiseks ei piisa.

Trapetsi valemis kasuta paralleelseid aluseid, mitte haarasid; aluste summa tuleb jagada kahega. Kõrgus peab olema alustega risti, seega ei asenda seda üldjuhul haara pikkus.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Kolmnurga külg $BC=18$ cm. Leia sellega paralleelne kesklõik.
  2. Trapetsi alused on 6 cm ja 10 cm. Leia kesklõik.
  3. Milliste trapetsi külgedega on kesklõik paralleelne?
  4. Milliseid punkte ühendab kolmnurga mediaan?

Rakendus

  1. Kolmnurga kesklõik on 9 cm. Leia paralleelse kolmanda külje pikkus.
  2. Trapetsi kesklõik on 13 cm ja üks alus 8 cm. Leia teine alus.
  3. Trapetsi alused on 9 cm ja 15 cm ning kõrgus 6 cm. Leia pindala.
  4. Mediaan on 15 cm. Leia raskuskeskme tekitatud kahe osa pikkused.

Mõtlemisülesanne

  1. Trapetsi alused on $x$ cm ja $(x+6)$ cm, kesklõik 12 cm. Leia alused.
  2. Miks on kolmnurga kesklõigu paralleelsus oluline nurgaseoste jaoks?
  3. Trapetsi üks alus suureneb 4 cm ja teine ei muutu. Kui palju muutub kesklõik?
  4. Trapetsi alused on eri pikkusega ja haarad võrdsed. Üks alumine alusnurk on $68^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.

Vastused

  1. 9 cm, sest kesklõik on kolmanda külje pool.
  2. 8 cm, sest $(6+10):2=8$.
  3. Mõlema alusega.
  4. Kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti.
  5. 18 cm, sest kolmas külg on kesklõigust kaks korda pikem.
  6. $26-8=18$ cm, sest aluste summa on $2m=26$ cm.
  7. $S=(9+15)\cdot6:2=72$ cm².
  8. Tipupoolne osa on 10 cm ja küljepoolne osa 5 cm.
  9. $(x+x+6):2=12$, seega $x=9$; alused on 9 cm ja 15 cm.
  10. Paralleelsus tekitab võrdsed vastavad ja põiknurgad, mida saab põhjendustes kasutada.
  11. 2 cm, sest kesklõigus jagatakse aluste summa kahega.
  12. Alumised alusnurgad on mõlemad $68^\circ$ ja ülemised mõlemad $112^\circ$.

Seosed

Kesklõik seob paralleelsuse ja sarnasuse. Raskuskese on ühtlase kolmnurkse plaadi tasakaalupunkt.