Paralleelsed sirged ja nurgad
Enne alustamist8. klass · raskus 2/5
Mõiste
Paralleelsed sirged on kaks eri sirget, mis asuvad samal tasandil ega lõiku. Lõikaja lõikab neid kahes eri punktis.
Eeldus: tunned kõrvunurki ja tippnurki ning oskad lühikese põhjenduse sammud kirja panna.
Vastavad nurgad asuvad mõlemas lõikepunktis samas asendis. Siin vaatleme sisemisi põiknurki, mis asuvad kahe sirge vahel ja lõikaja eri pooltel. Samapoolsed sisenurgad asuvad sirgete vahel ja lõikaja samal poolel.
Kui $a\parallel b$, siis:
- vastavad nurgad on võrdsed;
- põiknurgad on võrdsed;
- samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.
Iga nimetatud nurgaseos on ka paralleelsuse tunnus.
Nurgaseoste põhjendus
Kasutame paralleelide aksioomi Eukleidese kuju: kui kahe samapoolse sisenurga summa on väiksem kui $180^\circ$, lõikuvad sirged sellel pool lõikajat.
Paralleelsete sirgete korral ei saa summa olla väiksem kui $180^\circ$. Kui summa oleks suurem, oleks teise poole sisenurkade summa väiksem kui $180^\circ$, sest kõik neli sisenurka annavad kokku $360^\circ$. Ka siis sirged lõikuksid. Järelikult on summa $180^\circ$.
Joonisel on seega $\beta+\gamma=180^\circ$. Kõrvunurgad annavad $\beta+\delta=180^\circ$, mistõttu $\delta=\gamma$. Tippnurkadest $\alpha=\delta$, seega ka $\alpha=\gamma$.
Pöördväite jaoks tõmba läbi teise lõikepunkti esimese sirge paralleel. Selle nurgad rahuldavad äsja põhjendatud seoseid. Fikseeritud alguskiirest antud nurga all valitud pooltasandisse saab samast tipust tõmmata ainult ühe kiire. Seetõttu langeb teine sirge selle paralleeliga kokku.
Kui vajad abi
Märgi kõigepealt võrdsed nurgad sama kaarekesega. Kui otsitav nurk on kõrval, kasuta kõrvunurkade summat $180^\circ$.
Õpetaja lisasoovitused
Ära lase nurganimetustel muutuda päheõpitud pildiks. Pööra joonist ja küsi, millised nurgad asuvad lõikaja ning paralleelsete sirgete suhtes samas rollis.
- Miinimum: õpilane leiab ühe puuduva nurga.
- Tavarada: õpilane nimetab kasutatud nurgaseose.
- Lisaväljakutse: õpilane põhjendab nurgavõrdsuse järgi sirgete paralleelsust.
Näide
Sirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\circ$.
Sellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\circ$. Tema kõrvunurk on
$$180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$
Sama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.
Vastus: vastav nurk on $64^\circ$ ja selle kõrval olev nurk $116^\circ$.
Võimalikud eksimused
Paralleelsete sirgete nurgareeglit saab kasutada alles siis, kui paralleelsus on antud või tõestatud.
Teine viga on nimetada kõik võrdsed nurgad tippnurkadeks. Tippnurgad tekivad ühe lõikepunkti juures; vastavad ja põiknurgad asuvad eri lõikepunktides.
Kui ülesanne nõuab põhjendust, nimeta kasutatud nurgaseos. Õige arvuline vastus ja selle põhjendus on kaks eri asja.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks vastav nurk on $52^\circ$. Kui suur on teine?
- Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks samapoolne sisenurk on $71^\circ$. Leia teine.
- Kas põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed?
Rakendus
- Leia $138^\circ$ nurga kõrval olev kõrvunurk.
- Lõikaja tekitab võrdse paari vastavaid nurki. Mida saab sirgete kohta järeldada?
- Kaks paralleelset sirget lõikuvad lõikajaga. Üks põiknurk on $83^\circ$. Leia temaga paari moodustav põiknurk ja põhjenda.
Mõtlemisülesanne
- Paralleelsete sirgete üks nurk on $x$ ja selle samapoolne sisenurk $3x$. Leia mõlemad.
- Miks ei piisa paralleelsuse tõestamiseks sellest, et sirged joonisel ei paista lõikuvat?
- Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Ühes lõikepunktis on nurk $47^\circ$. Leia teise lõikepunkti nürinurgad ja põhjenda.
Vastused
- $52^\circ$, sest paralleelsete sirgete vastavad nurgad on võrdsed.
- $109^\circ$, sest paralleelsete sirgete samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.
- Jah, põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed.
- $42^\circ$, sest kõrvunurkade summa on $180^\circ$.
- Sirged on paralleelsed vastavate nurkade tunnuse järgi.
- $83^\circ$, sest paralleelseid sirgeid lõikava sirge tekitatud põiknurgad on võrdsed.
- $x+3x=180^\circ$, seega nurgad on $45^\circ$ ja $135^\circ$.
- Sirged võivad lõikuda väljaspool joonise nähtavat osa; vaja on nurgaseost või muud põhjendust.
- Vastav teravnurk on $47^\circ$ ja selle kõrvunurk $180^\circ-47^\circ=133^\circ$. Mõlemad nürinurgad on $133^\circ$, sest need on tippnurgad.
Seosed
Paralleelsete sirgete nurgaseosed annavad kolmnurga kesklõigu, trapetsi ja sarnaste kolmnurkade põhjendustele vajaliku keele.