Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Enne alustamist12. klass · raskus 5/5

Mõiste

Astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilistel funktsioonidel on eri põhituletised. Enne arvutamist tunne ära funktsioonipere; seejärel rakenda vajaduse korral summa-, korrutise-, jagatise- või ahelreeglit.

Põhivalemid on

$$(e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x,\quad x>0.$$

Valemid ja tingimused

$$(e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x,\qquad x>0.$$

$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.$$

Kui funktsiooni sees on avaldis $g(x)$, lisa ahelreegliga sisemise funktsiooni tuletis:

$$(e^{g(x)})'=e^{g(x)}g'(x),$$

$$(\ln g(x))'=\frac{g'(x)}{g(x)},\qquad g(x)>0.$$

Erifunktsioonide tuletiste kaart — Funktsioonipere määrab põhituletise; liitfunktsiooni korral korrutatakse tulemus sisemise funktsiooni tuletisega.

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=e^{2x}+\ln(x+1)-3\cos x$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa ja kasutame kahes esimeses liikmes ahelreeglit:

$$f'(x)=2e^{2x}+\frac1{x+1}+3\sin x.$$

Algse funktsiooni määramispiirkond nõuab $x>-1$; sama piirang jääb ka tuletise kasutamisel oluliseks.

Võimalikud eksimused

Esimene tüüpviga on kirjutada $(a^x)'=xa^{x-1}$. See on astmefunktsiooni reegel, kuid $a^x$ on eksponentfunktsioon. Õige on $(a^x)'=a^x\ln a$.

Teine tüüpviga on kaotada miinus: $(\cos x)'=-\sin x$.

Seosed

Need põhituletised laiendavad varasemaid arvutusreegleid. Järgmistes moodulites kasutatakse neid funktsiooni kasvamise, ekstreemumite, teise tuletise ja graafiku kuju uurimiseks.