Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised
Tuum
Astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilistel funktsioonidel on eri põhituletised. Enne arvutamist tunne ära funktsioonipere; seejärel rakenda vajaduse korral summa-, korrutise-, jagatise- või ahelreeglit.
Põhivalemid on
$$(e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x,\quad x>0.$$
Valemid ja tingimused
$$(e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x,\qquad x>0.$$
$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.$$
Kui funktsiooni sees on avaldis $g(x)$, lisa ahelreegliga sisemise funktsiooni tuletis:
$$(e^{g(x)})'=e^{g(x)}g'(x),$$
$$(\ln g(x))'=\frac{g'(x)}{g(x)},\qquad g(x)>0.$$
Kiirnäide
Leia funktsiooni
$$f(x)=e^{2x}+\ln(x+1)-3\cos x$$
tuletis.
Tuletame liikmete kaupa ja kasutame kahes esimeses liikmes ahelreeglit:
$$f'(x)=2e^{2x}+\frac1{x+1}+3\sin x.$$
Algse funktsiooni määramispiirkond nõuab $x>-1$; sama piirang jääb ka tuletise kasutamisel oluliseks.
Pane tähele
Esimene tüüpviga on kirjutada $(a^x)'=xa^{x-1}$. See on astmefunktsiooni reegel, kuid $a^x$ on eksponentfunktsioon. Õige on $(a^x)'=a^x\ln a$.
Teine tüüpviga on kaotada miinus: $(\cos x)'=-\sin x$.