Lineaarvõrrandisüsteemid

Enne alustamist8. klass · raskus 4/5

Mõiste

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Valemid ja tingimused

Asendusvõttes avalda ühest võrrandist näiteks $y$ ja asenda see teise võrrandisse. Liitmisvõttes korruta võrrandeid vajaduse korral nii, et ühe tundmatu kordajad oleksid vastandarvud, ning liida võrrandid. Lahend on arvupaar $(x;y)$, mis peab rahuldama mõlemat võrrandit.

Kahe sirge lõikepunkt on lineaarvõrrandisüsteemi graafiline lahend.

Näide

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafik on sirge; süsteemi lahendile vastab sirgete lõikepunkt.

Süsteemi

$$\begin{cases} y=x+1\\ y=-x+5 \end{cases}$$

saab lahendada mitmel viisil.

Võrdsustamine: $x+1=-x+5$, seega $x=2$ ja $y=3$.

Liitmine: liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled:

$$y+y=(x+1)+(-x+5).$$

$$2y=6,\qquad y=3.$$

Esimesest võrrandist $3=x+1$, seega $x=2$. Teisest $3=-x+5$, samuti $x=2$. Mõlemad võtted annavad lahendi $(2;3)$.

Kui võtet pole ette antud, vali see, millega saad lahendi lihtsamalt. Kui ülesanne nõuab kindlat võtet, kasuta seda. Kontrolli lahendit mõlemas algses võrrandis.

Võimalikud eksimused

Kui sirged on paralleelsed, ei ole süsteemil lahendit. Kui võrrandid kirjeldavad sama sirget, on lahendeid lõpmata palju.

Teine tüüpviga on leida $x$, aga jätta $y$ arvutamata. Süsteemi lahend on arvupaar, mitte üks arv.

Seosed

Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.