Murrud ja kümnendmurrud
Enne alustamist5. klass · raskus 2/5
Mõiste
Murd $\frac34$ tähendab kolme neljandikku. Nimetaja 4 näitab, et tervik on jagatud neljaks võrdseks osaks. Lugeja 3 näitab, et võtame kolm sellist osa. Ühe osa suurus on $\frac14$ ja kolme osa suurus $\frac34$.
Osi võib olla ka rohkem kui ühes tervikus: $\frac54$ on viis neljandikku ehk üks tervik ja veel üks neljandik.
Hariliku murru üldkuju on
$$\frac{a}{b},$$
kus $a$ on lugeja ja $b$ nimetaja; mõlemad on täisarvud. Murrujoon tähendab jagamist: $\frac ab=a:b$. Nimetaja ei tohi olla 0, sest nulliga ei saa jagada.
Eeldus: oskad naturaalarve jagada, tunned jaguvust ning tead, et lugejat ja nimetajat võib taandamisel jagada sama ühise teguriga.
Samaväärsed murrud kirjeldavad sama suurust, kuigi nad näevad erinevad välja:
$$\frac12=\frac24=\frac48.$$
Need asuvad arvteljel samas punktis ja kujutavad sama osa tervikust.
Reeglid
Murdu võib laiendada: korruta lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga.
$$\frac12=\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac48.$$
Murdu võib taandada: jaga lugeja ja nimetaja sama ühise teguriga.
$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac23.$$
Positiivse liigmurru teisendamisel segaarvuks jaga lugeja nimetajaga. Jagatis on täisosa ja jääk on murdosa lugeja:
$$\frac ab=q\frac rb,\qquad a=q\cdot b+r,\quad 0\le r<b.$$
Segaarvu teisendamisel liigmurruks korruta täisosa nimetajaga ja liida lugeja:
$$q\frac rb=\frac{q\cdot b+r}{b}.$$
Samanimelisi murde liidetakse lugejate kaudu:
$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.$$
Erinimeliste murdude liitmisel ja lahutamisel vii osad ühisele nimetajale:
$$\frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm bc}{bd},\qquad b,d\ne0.$$
Murdude korrutamisel korrutatakse lugejad ja nimetajad:
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad b,d\ne0.$$
Murruga jagamisel korrutatakse jagaja pöördarvuga:
$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc=\frac{ad}{bc},\qquad b,d,c\ne0.$$
Tingimus $c\ne0$ on vajalik, sest jagaja $\frac cd$ ei tohi olla null. Nullil pöördarvu ei ole.
Murdude võrdlemisel võib murrud viia ühisele nimetajale.
$$\frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46,\qquad \frac12<\frac23.$$
Murru saab kirjutada kümnendmurruna jagades lugeja nimetajaga:
$$\frac14=0{,}25.$$
Mõnikord tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd:
$$\frac13=0{,}333\ldots,\qquad \frac16=0{,}1666\ldots.$$
Kontrolli teisendamisel suurusjärku: kui murd on alla 1, peab ka selle kümnendkuju olema alla 1. Seega ei saa $\frac34$ olla $7{,}5$.
| Harilik murd | Kümnendmurd | Kontrollmõte |
|---|---|---|
| $\frac12$ | $0{,}5$ | pool tervikust |
| $\frac14$ | $0{,}25$ | veerand on pool poolest |
| $\frac34$ | $0{,}75$ | kolm veerandit on alla 1 |
| $\frac15$ | $0{,}2$ | viis viiendikku oleks 1 |
Näide
$$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$
Teisendame liigmurru segaarvuks. Arvu 11 jagamisel arvuga 4 on jagatis 2 ja jääk 3, seega
$$\frac{11}{4}=2\frac34.$$
Tagasiteisendamisel saame
$$2\frac34=\frac{2\cdot4+3}{4}=\frac{11}{4}.$$
Jagame murde:
$$\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78.$$
Kontrolliks korrutame vastuse jagajaga:
$$\frac{15}{8}\cdot\frac25=\frac34.$$
Võrdleme murde $\frac34$ ja $\frac57$. Ühine nimetaja on $28$:
$$\frac34=\frac{21}{28},\qquad \frac57=\frac{20}{28}.$$
Seega
$$\frac34>\frac57.$$
$$\frac34=0{,}75,\qquad \frac57\approx0{,}714.$$
Kümnendkujud kinnitavad võrdlust.
Vastus: summa on $\frac56$, jagatis on $1\frac78$ ja võrdluses on $\frac34>\frac57$.
Võimalikud eksimused
Murde ei liideta nii:
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne\frac{2}{5}.$$
Kõigepealt tuleb leida ühine nimetaja.
Teine tüüpviga on arvata, et lõpmatu kümnendmurd ei saa olla harilik murd. Kui kümnendmurd on perioodiline, siis ta on ratsionaalarv. Näiteks
$$0{,}333\ldots=\frac13.$$
Kolmas tüüpviga on võrrelda kümnendmurde ainult esimese numbri järgi. Arv $0{,}7$ ja arv $0{,}70$ on võrdsed, sest lõppu lisatud null ei muuda väärtust. Aga $0{,}7<0{,}75$, sest seitsme kümnendiku järel on teisel arvul veel viis sajandikku.
Neljas tüüpviga on taandada ainult lugejat või ainult nimetajat. Murru väärtus jääb samaks ainult siis, kui jagad mõlemad sama nullist erineva arvuga.
Viies tüüpviga on teisendada segaarv liigmurruks ainult täisosa ja lugejat liites. Näiteks $2\frac35\ne\frac{2+3}{5}$. Õige lugeja on $2\cdot5+3=13$.
Kuues tüüpviga on pöörata murruga jagamisel esimene murd. Pöördarvuks muudetakse ainult jagaja:
$$\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52.$$
Harjutused
Lihtne kontroll
- Laienda murdu $\frac35$ nimetajani $20$.
- Taanda murd $\frac{18}{24}$.
Rakendus
- Võrdle murde $\frac56$ ja $\frac78$.
- Kirjuta $\frac18$ kümnendmurruna.
Mõtlemisülesanne
- Millise hariliku murruga võrdub $0{,}333\ldots$?
- Kumb on suurem: $\frac34$ või $0{,}7$?
- Kirjuta kolm samaväärset murdu arvule $\frac23$.
- Kirjuta $0{,}125$ hariliku murruna ja taanda.
- Kontrolli kahel viisil, kumb on suurem: $\frac{7}{10}$ või $\frac23$.
- Kirjuta sama arv kolmel kujul: harilik murd, kümnendmurd ja protsent, kui osa on 3 tükki 4 võrdsest tükist.
- Teisenda $3\frac27$ liigmurruks ja $\frac{23}{6}$ segaarvuks.
- Arvuta $\frac56:\frac{10}{9}$ ning kontrolli tulemust korrutamisega.
Vastused
- $\frac35=\frac{12}{20}$.
- $\frac{18}{24}=\frac34$.
- $\frac56=\frac{20}{24}$ ja $\frac78=\frac{21}{24}$, seega $\frac56<\frac78$.
- $\frac18=0{,}125$.
- $0{,}333\ldots=\frac13$.
- $\frac34=0{,}75$, seega $\frac34$ on suurem.
- Näiteks $\frac23=\frac46=\frac69=\frac8{12}$.
- $0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac18$.
- $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$ ja $\frac23=\frac{20}{30}$, seega $\frac{7}{10}$ on suurem. Kümnendkujuga: $0{,}7>0{,}666\ldots$.
- $\frac34=0{,}75=75\%$, sest 3 osa 4 võrdsest osast on kolm neljandikku tervikust.
- $3\frac27=\frac{3\cdot7+2}{7}=\frac{23}{7}$ ja $\frac{23}{6}=3\frac56$.
- $\frac56:\frac{10}{9}=\frac56\cdot\frac9{10}=\frac34$. Kontroll: $\frac34\cdot\frac{10}{9}=\frac56$.
Seosed
Kümnendmurd, protsent ja harilik murd on sama arvu eri kirjutusviisid. Järgmistes arvude peatükkides kasutatakse sama mõtet negatiivsete arvude võrdlemisel ning protsendi-, suhte- ja võrdeülesannetes.