Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur

Enne alustamist5. klass · raskus 2/5

Mõiste

Arv $a$ jagub arvuga $b$, kui jagamisel jääki ei teki. Algarv on ühest suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv on ühest suurem naturaalarv, millel on peale 1 ja iseenda veel vähemalt üks positiivne jagaja. Arv 1 ei ole alg- ega kordarv.

Eeldus: oskad naturaalarve korrutada ja jagada ning saad aru, et jagamisel võib tekkida jääk.

Esimesed 100 algarvu

Tabel. Veerud: Koht loendis, Algarvud
Koht loendis	Algarvud
1.–20.	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71
21.–40.	73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173
41.–60.	179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281
61.–80.	283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409
81.–100.	419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541

Pikema loendi leiab Wikipedia lehelt List of prime numbers.

Põhireeglid

2-ga: viimane number on paaris.
3-ga: ristsumma jagub 3-ga.
4-ga: kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga.
5-ga: viimane number on 0 või 5.
6-ga: arv jagub 2-ga ja 3-ga.
9-ga: ristsumma jagub 9-ga.
10-ga: viimane number on 0.

Suurim ühistegur SÜT on suurim arv, millega kõik antud arvud jaguvad. Vähim ühiskordne VÜK on vähim positiivne arv, mis jagub kõigi antud arvudega.

Tabel. Veerud: Küsimus, Kasuta, Mõte
Küsimus	Kasuta	Mõte
Kui suureks võrdseks osaks saab jagada?	`SÜT`	ühine tegur
Millal korduvad sündmused kokku langevad?	`VÜK`	ühine kordne

Näiteks 18 punase ja 30 sinise kommi võimalikult paljudeks ühesugusteks pakkideks jagamisel kasutame SÜT-i. Kahe kella 18- ja 30-minutilise kordumise kokkulangemisel kasutame VÜK-i.

Algteguriteks lahutamine

Algteguriteks lahutamine kirjutab arvu algarvude korrutisena.

$$84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7.$$

Algtegurid aitavad leida nii SÜT-i kui ka VÜK-i:

SÜT: võta ühised algtegurid väiksema astmega;
VÜK: võta kõik algtegurid suurema astmega.

Näide

Arvud 24 ja 36:

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2.$$

Ühised tegurid annavad

$$SÜT(24,36)=2^2\cdot3=12.$$

Vähima ühiskordse jaoks võtame kõik algtegurid suurima astmega:

$$VÜK(24,36)=2^3\cdot3^2=72.$$

Tabel. Veerud: Algarv, Arvus 24, Arvus 36, SÜT jaoks, VÜK jaoks
Algarv	Arvus 24	Arvus 36	`SÜT` jaoks	`VÜK` jaoks
$2$	$2^3$	$2^2$	$2^2$	$2^3$
$3$	$3^1$	$3^2$	$3^1$	$3^2$

Seega võtab SÜT ainult ühise osa:

$$2^2\cdot3=12,$$

aga VÜK võtab kõik vajaliku, et arv jaguks mõlemaga:

$$2^3\cdot3^2=72.$$

Kui 24 ja 36 õuna jagada võimalikult paljudeks ühesugusteks kingikottideks, saab teha 12 kotti. Kui kaks bussi väljuvad iga 24 ja 36 minuti järel, kohtuvad nende väljumised taas iga 72 minuti järel.

Vastus: SÜT=12 ja VÜK=72.

Eukleidese algoritm

Kahe arvu SÜT-i saab leida jääke võttes. See aitab suurte arvudega.

Näiteks leiame SÜT(84,30):

$$84=2\cdot30+24$$

$$30=1\cdot24+6$$

$$24=4\cdot6+0.$$

Viimane nullist erinev jääk on $6$, seega

$$SÜT(84,30)=6.$$

Jaguvuse kontroll: 372 jagub 4-ga ja 6-ga; 729 jagub 9-ga.

Võimalikud eksimused

Arv 1 ei ole algarv, sest algarv peab olema ühest suurem. Esimene algarv on 2.

Teine tüüpviga on ajada segi SÜT ja VÜK. SÜT ei saa olla suurem kui väikseim antud arv. VÜK ei saa olla väiksem kui suurim antud arv.

Kolmas tüüpviga on võtta VÜK-i leidmisel ainult ühised tegurid. Siis ei pruugi saadud arv mõlemaga jaguda.

Neljas tüüpviga on kasutada vale jaguvusreeglit. Ristsumma aitab 3 ja 9 korral, aga ei ütle otse, kas arv jagub 4 või 8-ga.

Harjutused

Jaguvuse treener: vali kõik sobivad jagajad. Tasemed lisavad uusi jaguvustunnuseid.

Tehete järjekorda saad eraldi korrata tehete järjekorra treeneris.

Lihtne kontroll

Leia, kas 372 jagub 3-ga.
Lahuta arv 84 algteguriteks.
Leia SÜT(18, 30).
Leia VÜK(18, 30).

Rakendus

Leia Eukleidese algoritmiga SÜT(105, 45).
Leia SÜT(24, 40) ja selgita, mida see võiks tähendada võrdsete pakkide tegemisel.
Leia VÜK(12, 18) ja selgita, mida see võiks tähendada kahe korduva sündmuse korral.

Mõtlemisülesanne

Lahuta arvud 48 ja 60 algteguriteks ning leia tabeli abil SÜT ja VÜK.
Kas 1 on algarv? Põhjenda.
Leia viga: õpilane ütleb, et SÜT(16,24)=48, sest 48 jagub nii 16 kui 24-ga.
Leia SÜT(42,56) ja kasuta seda murru $\frac{42}{56}$ taandamiseks.

Vastused

Jah, sest $3+7+2=12$ ja $12$ jagub 3-ga.
$84=2^2\cdot3\cdot7$.
$SÜT(18,30)=6$.
$VÜK(18,30)=90$, sest 90 jagub nii 18 kui ka 30-ga.
$105=2\cdot45+15$, $45=3\cdot15+0$, seega $SÜT(105,45)=15$.
$24=2^3\cdot3$, $40=2^3\cdot5$, seega $SÜT(24,40)=8$. Saab teha 8 ühesugust pakki: igas 3 ja 5 eset.
$12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$, seega $VÜK(12,18)=36$. Sündmused langevad uuesti kokku 36 ühiku järel.
$48=2^4\cdot3$, $60=2^2\cdot3\cdot5$, $SÜT=2^2\cdot3=12$, $VÜK=2^4\cdot3\cdot5=240$.
Ei. Algarv peab olema ühest suurem, aga 1 seda ei ole.
48 on ühiskordne, mitte ühistegur. SÜT peab jagama mõlemat arvu ja ei saa olla suurem kui 16. Õige vastus on 8.
SÜT(42,56)=14, seega $\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$.

Seosed

Jaguvus ja SÜT on järgmise murdude peatüki alus: murdu taandades jagame lugeja ja nimetaja nende ühise teguriga.