Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Naturaalarvud ja tehted Koolimatemaatika tuumikreferents

Naturaalarvud ja tehted

Enne alustamist2. klass · raskus 1/5

Mõiste

Naturaalarvud on loendamise arvud: 1, 2, 3, 4 ja nii edasi. Kui ülesandes on vaja lugeda ka tühja hulka, kasutatakse ka arvu 0. Siis kirjutatakse mõnikord $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$.

Eeldus: oskad arve loendada, võrrelda, kirjutada kümnendsüsteemis ning tunned liitmist ja lahutamist.

Naturaalarvu kirjutises:

$$\text{kordaja}\cdot\text{järguühik}=\text{järkarv}.$$

Arvus $54\ 307$ on tuhandeliste järguühik $1000$, kordaja $4$ ja järkarv $4000$. Järgud rühmitatakse paremalt kolmekaupa arvuklassideks: siin on $54$ tuhandete ja $307$ ühtede klass.

Tehe Märk Küsimus, millele tehe vastab Näide
liitmine $+$ kui palju on kokku? $18+7=25$
lahutamine $-$ kui palju jääb üle või puudu? $25-7=18$
korrutamine $\cdot$ mitu võrdset rühma? $4\cdot6=24$
jagamine $:$ kui palju igasse rühma või mitu rühma? $24:6=4$

Tehete järjekord

Kui avaldises on mitu tehet, tehakse need kindlas järjekorras:

  1. sulud;
  2. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
  3. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Lühidalt:

$$\text{sulud}\rightarrow\text{korrutamine ja jagamine}\rightarrow\text{liitmine ja lahutamine}.$$

Oluline: korrutamine ei ole alati enne jagamist. Need on samal tasemel ja käivad vasakult paremale. Sama kehtib liitmise ja lahutamise kohta.

Näide

Kui klassis on 4 rida ja igas reas 6 tooli, siis toolide arv on

$$4\cdot6=24.$$

Avaldises

$$8+3\cdot5$$

tehakse enne korrutamine:

$$8+3\cdot5=8+15=23.$$

Kui tahame enne liita, tuleb kasutada sulge:

$$(8+3)\cdot5=11\cdot5=55.$$

Avaldises

$$24:3\cdot2$$

on jagamine ja korrutamine samal tasemel, seega liigume vasakult paremale:

$$24:3\cdot2=8\cdot2=16.$$

Tekstülesandes küsi enne arvutamist, mis kordub ja mis lisandub. Näiteks: 4 õpilast ostavad 6-eurose pileti ja klass maksab 3 eurot broneerimistasu. Kogukulu on

$$4\cdot6+3=24+3=27.$$

Kui broneerimistasu oleks iga õpilase kohta, oleks avaldis

$$4\cdot(6+3)=4\cdot9=36.$$

Vastus: 27 eurot või 36 eurot.

Võimalikud eksimused

Tehete järjekord ei ole kõigi tehete puhul vasakult paremale. Näiteks

$$8+3\cdot5\ne(8+3)\cdot5.$$

Sulgude puudumine võib muuta tähendust. Kui öeldakse "liida 8 ja 3 ning korruta tulemus 5-ga", kirjuta

$$(8+3)\cdot5.$$

Kontrollimiseks on mitu lihtsat võtet:

  • tee ligikaudne hinnang, kas vastus on mõistliku suurusega;
  • pane vastus tagasi tekstülesandesse ja loe, kas ühikud sobivad;
  • kontrolli pöördtehtega: kui $37-12=25$, siis $25+12=37$;
  • jaga pikk avaldis vaheastmeteks, et üks arvutusviga ei peituks rea sees.

Näiteks “5 lauda, iga laua juures 4 tooli ja õpetaja tool” mudel on $5\cdot4+1=21$, mitte $5\cdot(4+1)$.

Teine viga on jagamise tähendust mitte kontrollida. $24:6=4$ võib tähendada 24 asja jaotamist 6 rühma vahel või 6-kaupa rühmade arvu leidmist. Vastus on sama, ühik võib erineda.

Harjutused

Tehete järjekorra treener: viis uut avaldist voorus, tasemed kolmest arvust sulgudega avaldisteni.

Lihtne kontroll

  1. Arvuta $7+4\cdot6$.
  2. Arvuta $(7+4)\cdot6$.
  3. Pane sulud nii, et avaldise $12+8:4$ väärtus oleks $5$.
  4. Klassiruumis on 5 lauda ja iga laua juures 4 tooli. Lisaks on õpetaja tool. Mitu tooli on kokku?

Rakendus

  1. Arvuta $36:6\cdot3$.
  2. Arvuta $36:(6\cdot3)$.
  3. Poes ostetakse 3 vihikut hinnaga 2 eurot ja üks pliiats hinnaga 1 euro. Koosta avaldis ja arvuta summa.

Mõtlemisülesanne

  1. Bussis on 4 rida, igas reas 2 istekohta. Kõik istekohad on vabad. Peatuses tuleb bussi 5 reisijat ja igaüks istub ühele kohale. Mitu istekohta jääb vabaks?
  2. Leia viga: õpilane arvutas $20-6+2=20-8=12$.
  3. Koosta lühike tekstülesanne avaldisele $3\cdot(8+2)$.
  4. Kirjuta kaks erinevat olukorda, mida saab arvutada tehtega $24:6$: üks jaotamise, teine "mitu korda mahub" tähenduses.

Vastused

  1. $31$.
  2. $66$.
  3. $(12+8):4=5$.
  4. $5\cdot4+1=21$, sest õpetaja tool lisandub üks kord.
  5. $18$, sest jagamine ja korrutamine käivad vasakult paremale.
  6. $2$, sest sulgudes olev korrutis tehakse enne jagamist.
  7. $3\cdot2+1=7$ eurot; pliiatsi hind lisandub üks kord.
  8. $4\cdot2-5=3$ istekohta jääb vabaks: kaheksast kohast viis on hõivatud.
  9. Liitmine ja lahutamine on samal tasemel ning käivad vasakult paremale: $20-6+2=14+2=16$.
  10. Näiteks: kolmel õpilasel on igaühel 8 vihikut ja 2 töölehte. Kokku on $3\cdot(8+2)=30$ eset.
  11. Näiteks: 24 kommi jaotatakse 6 lapse vahel, iga laps saab 4 kommi. Või: 24 kommi pannakse 6 kaupa kottidesse, vaja on 4 kotti.

Seosed

Naturaalarvud on alus murdudele, negatiivsetele arvudele, protsentidele ja algebralistele avaldistele. Järgmine samm on jaguvus: seal küsime, millal jagamine annab jäägita tulemuse ja kuidas sellest jõuda algarvude ning suurima ühistegurini.