Protsendid, suhted ja võrded

Mõiste

Protsent tähendab sajandikku:

$$1\%=\frac{1}{100}=0,01.$$

Tervik on $100\%=1$. Näiteks $40\%=\frac{40}{100}=0,4$. Suhtarvu protsentides väljendamiseks korruta see 100-ga ja lisa protsendimärk: $0,4=40\%$. Vastupidi, protsendiarv 40 jagatud 100-ga annab 0,4.

Promill tähendab tuhandikku:

$$1\text{‰}=\frac{1}{1000}=0,001=0,1\%.$$

Suhe võrdleb kahte suurust. Võrre on kahe suhte võrdsus.

Eeldus: oskad murde ja kümnendmurde teisendada ning saad aru, et protsent, murd ja kümnendmurd võivad kirjeldada sama osa tervikust.

Põhireeglid

Arvu $p\%$ leidmine arvust $A$:

$$\frac{p}{100}\cdot A.$$

Enne arvutamist määra tervik ehk $100\%$.

Kui suurus kasvab $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1+\frac{p}{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1-\frac{p}{100}.$$

Suhteline muutus sõltub algväärtusest. Hinnatõus 80 eurolt 92 eurole on

$$92-80=12$$

ja protsendiline muutus on

$$\frac{12}{80}\cdot100\%=15\%.$$

Protsendipunkt kirjeldab kahe protsendi vahet. Kui intress tõuseb $3\%$ pealt $5\%$ peale, siis muutus on $2$ protsendipunkti. Suhteline kasv on aga

$$\frac{5-3}{3}\cdot100\%\approx66,7\%.$$

Võrret saab lahendada ristkorrutisega:

$$\frac ab=\frac cd \quad \Longleftrightarrow \quad a\cdot d=b\cdot c.$$

Suhet $2:3$ võib lugeda nii: iga 2 osa esimese suuruse kohta on 3 osa teist suurust. Kui joogis on mahla ja vett suhtes $2:3$, siis kokku on 5 osa. Mahla osa kogu joogist on $\frac25=40\%$.

Promilli kasutatakse siis, kui sajandik on kirjeldamiseks liiga suur ühik. Näiteks $4\text{‰}=0,004=0,4\%$.

Näide

Ese maksab 80 eurot ja selle hind tõuseb 15%. Algne hind on tervik ehk 100%. Uus hind on $100\%+15\%=115\%$ algsest hinnast. Kuna $115\%=115/100=1,15$, saame

$$80\cdot1,15=92.$$

Sama saab arvutada kahes sammus: hinnalisa on $80\cdot0,15=12$ eurot ja uus hind $80+12=92$ eurot.

Kui 92-eurose eseme hind langeb 15%, siis uus hind ei ole 80 eurot, vaid

$$92\cdot0,85=78,20.$$

Võrde näide:

$$\frac{x}{12}=\frac{5}{3}.$$

Ristkorrutis annab

$$3x=12\cdot5=60,$$

seega

$$x=20.$$

Suhte näide: kui klassis on poisse ja tüdrukuid suhtes $2:3$ ning õpilasi on kokku 25, siis kokku on 5 võrdset osa. Üks osa on

$$25:5=5.$$

Poisse on $2\cdot5=10$ ja tüdrukuid $3\cdot5=15$.

Promilli näide: $3\text{‰}$ arvust 5000 on

$$5000\cdot\frac3{1000}=15.$$

Vastus: hinnad on 92 eurot ja 78,20 eurot; $x=20$; 10 poissi ja 15 tüdrukut; promilliülesande vastus on 15.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $25\%$ arvust $160$.
2. Hind $120$ eurot kallineb $10\%$. Leia uus hind.
3. Kirjuta $75\%$ hariliku murru ja kümnendmurruna.
4. Kirjuta $6\text{‰}$ kümnendmurru ja protsendina.

Rakendus

5. Hind $120$ eurot odavneb $10\%$. Leia uus hind.
6. Lahenda võrre $\frac{x}{9}=\frac43$.
7. Koolilaadal maksis kohvikus pirukas 1,60 eurot. Päeva lõpus tehti hinnale 25% allahindlust. Mis oli uus hind?
8. Mahl ja vesi on suhtes $2:3$. Kui jooki on kokku 1 liiter, mitu liitrit on mahla?

Mõtlemisülesanne

9. Töötuse määr tõusis $6\%$ pealt $8\%$ peale. Mitme protsendipunkti võrra see tõusis?
10. Klassis on 24 õpilast. Neist 75% sõidab kooli bussi või trammiga. Mitu õpilast see on?
11. Hind tõusis 50 eurolt 60 euroni. Leia protsendiline muutus.
12. Hind 100 eurot langeb 20% ja tõuseb siis uuelt hinnalt 20%. Kas hind on jälle 100 eurot?

Vastused

1. $40$, sest see on veerand arvust 160.
2. $132$ eurot, sest tervik on 120 eurot ja 10% sellest on 12 eurot.
3. $75\%=\frac34=0,75$, see tähendab 75 osa sajast ehk kolm neljandikku tervikust.
4. $6\text{‰}=0,006=0,6\%$; promill on tuhandik ja protsent sajandik.
5. $108$ eurot.
6. $x=12$.
7. $1,60\cdot0,75=1,20$ eurot.
8. Kokku on $2+3=5$ osa; mahla on 2 osa, seega $\frac25$ liitrit ehk 0,4 liitrit.
9. $2$ protsendipunkti, sest $8\%-6\%=2\%$.
10. $24\cdot0,75=18$ õpilast.
11. Muutus on 10 eurot ja $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
12. Ei. Pärast langust on hind 80 eurot ja pärast tõusu $80\cdot1,20=96$ eurot.

Seosed

Protsente kasutatakse statistikas, intressiarvutustes, tõenäosuses ja kasvumudelites.