Kümnendsüsteem ja ümardamine

Mõiste

Kümnendsüsteemis sõltub numbri väärtus tema järgust ehk kohast. Arvus $583\ 407$ annab tuhandeliste järgu number $3$ järkarvu $3\cdot1000=3000$:

$$\text{kordaja}\cdot\text{järguühik}=\text{järkarv}.$$

$$583\ 407=500\ 000+80\ 000+3000+400+7.$$

Valemid ja tingimused

Olgu $d$ ümardamiskohale järgnev number. Kui $0\le d\le4$, jääb ümardamiskoha number samaks. Kui $5\le d\le9$, suureneb see ühe võrra. Arvuta esmalt täpse väärtusega ja ümarda alles lõpus.

Näide

Arv 38,746 ümardatuna sajandikeni on 38,75, sest kolmas kümnendkoht on 6.

Arv 5827 ümardatuna kümnelisteni on 5830, sest üheliste number on 7.

Raha puhul on sajandikud sendid. Kui ostukorvi hind on $12,476$ eurot, siis sentideni ümardatult on hind $12,48$ eurot, sest kolmas kümnendkoht on 6.

Seosed

Kohaväärtuse mõistmine on järgmise peatüki alus: naturaalarvude liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja jagamisel peab iga number jääma õigesse järku.

Naturaalarvud ja tehted

Mõiste

Naturaalarvud on loendamise arvud: 1, 2, 3, 4 ja nii edasi. Kui ülesandes on vaja lugeda ka tühja hulka, kasutatakse ka arvu 0. Siis kirjutatakse mõnikord $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$.

Valemid ja tingimused

Kui avaldises on mitu tehet, tehakse need kindlas järjekorras:

1. sulud;
2. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
3. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Lühidalt:

$$\text{sulud}\rightarrow\text{korrutamine ja jagamine}\rightarrow\text{liitmine ja lahutamine}.$$

Võid mõelda nii:

1. Kas avaldises on sulud? Kui jah, arvuta kõigepealt sulgudes olev osa.
2. Kas alles on korrutamist või jagamist? Arvuta need vasakult paremale.
3. Kas alles on liitmist või lahutamist? Arvuta need vasakult paremale.

Näide

Kui klassis on 4 rida ja igas reas 6 tooli, siis toolide arv on

$$4\cdot6=24.$$

Avaldises

$$8+3\cdot5$$

tehakse enne korrutamine:

$$8+3\cdot5=8+15=23.$$

Kui tahame enne liita, tuleb kasutada sulge:

$$(8+3)\cdot5=11\cdot5=55.$$

Seosed

Naturaalarvud on alus murdudele, negatiivsetele arvudele, protsentidele ja algebralistele avaldistele. Järgmine samm on jaguvus: seal küsime, millal jagamine annab jäägita tulemuse ja kuidas sellest jõuda algarvude ning suurima ühistegurini.

Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur

Mõiste

Arv $a$ jagub arvuga $b$, kui jagamisel jääki ei teki. Algarv on ühest suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga.

Valemid ja tingimused

• 2-ga: viimane number on paaris.
• 3-ga: ristsumma jagub 3-ga.
• 4-ga: kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga.
• 5-ga: viimane number on 0 või 5.
• 6-ga: arv jagub 2-ga ja 3-ga.
• 9-ga: ristsumma jagub 9-ga.
• 10-ga: viimane number on 0.

$$84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7.$$

Näide

Arvud 24 ja 36:

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2.$$

Ühised tegurid annavad

$$SÜT(24,36)=2^2\cdot3=12.$$

Vähima ühiskordse jaoks võtame kõik algtegurid suurima astmega:

$$VÜK(24,36)=2^3\cdot3^2=72.$$

Seosed

Jaguvus ja SÜT on järgmise murdude peatüki alus: murdu taandades jagame lugeja ja nimetaja nende ühise teguriga.

Murrud ja kümnendmurrud

Mõiste

Murd $\frac ab$ tähendab jagatist $a:b$: $a$ on lugeja ja $b$ nimetaja. Nimetaja $b\ne0$, sest nulliga ei saa jagada. Samaväärsed murrud tähistavad sama arvu, näiteks $\frac12=\frac24=0{,}5$.

Valemid ja tingimused

$$\frac ab=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\qquad k\ne0$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\qquad b,d\ne0$$

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},\qquad b,d\ne0$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc},\qquad b,d,c\ne0$$

Kümnendkuju saamiseks jaga lugeja nimetajaga. Erinimelised murrud vii liitmiseks, lahutamiseks või mugavaks võrdlemiseks ühisele nimetajale. Jagamisel peab jagaja olema nullist erinev.

Näide

$$\frac23+\frac16=\frac46+\frac16=\frac56.$$

Seosed

Kümnendmurd, protsent ja harilik murd on sama arvu eri kirjutusviisid. Järgmistes arvude peatükkides kasutatakse sama mõtet negatiivsete arvude võrdlemisel ning protsendi-, suhte- ja võrdeülesannetes.

Negatiivsed arvud

Mõiste

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad arvud. Arvteljel asuvad nad nullist vasakul.

Enne märgireegli kasutamist ütle, mida miinus selles olukorras tähendab: võlga, langust, vastassuunda või nullist väiksemat arvu.

Vastandarvud asuvad nullist sama kaugel, aga eri pooltel. Näiteks $5$ ja $-5$ on vastandarvud.

Valemid ja tingimused

Korrutamisel ja jagamisel annavad samad märgid positiivse ning erinevad märgid negatiivse vastuse:

$$ (+)\cdot(+)=+,\quad (-)\cdot(-)=+,\quad (+)\cdot(-)=-. $$

Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist:

$$a-b=a+(-b).$$

Sulgude avamisel:

$$+(a-b)=a-b$$

$$-(a-b)=-a+b.$$

Näide

$$-4+9=5.$$

Arvteljel tähendab see: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu paremale. Jõuad arvuni $5$.

$$-4-9=-13.$$

See tähendab: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu vasakule. Jõuad arvuni $-13$.

$$(-4)\cdot(-9)=36.$$

Seosed

Negatiivseid arve on vaja võrrandites, koordinaatteljestikus, funktsioonides ja muutuse kirjeldamisel. Järgmises protsentide ja suhete peatükis kasutatakse sama mõtet muutuse arvutamisel: enne protsenti tuleb aru saada, kas suurus kasvas või vähenes.

Tehted ratsionaalarvudega

Mõiste

Ratsionaalarv on arv, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena

$$\frac ab,\qquad b\ne0.$$

Ratsionaalarv võib olla positiivne, negatiivne või null. Näiteks $-\frac34$, $1,2$ ja $-5$ on ratsionaalarvud, sest

$$1,2=\frac65,\qquad -5=\frac{-5}{1}.$$

Valemid ja tingimused

Tehete järjekord on:

1. sulud;
2. astendamine;
3. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
4. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Murdude liitmine ja jagamine:

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,\qquad c\ne0.$$

Näide

Arvutame eri nimetajatega negatiivsete murdude summa:

$$-\frac34+\frac56=-\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac1{12}.$$

Jagame kümnendmurde:

$$-1,2:0,3=-4.$$

Segaarvuga avaldises teisendame kõigepealt segaarvu liigmurruks:

$$1\frac12-\frac23=\frac32-\frac23=\frac56.$$

Seosed

Ratsionaalarvudega tehted on astendamise, protsentarvutuse, avaldiste, võrrandite ja funktsiooniväärtuste arvutamise alus. Järgmises arvuhulkade peatükis saab nähtavaks, kuhu ratsionaalarvud teiste arvude seas kuuluvad.

Protsendid, suhted ja võrded

Mõiste

Protsent on sajandik: $1\%=0,01=\frac1{100}$. Protsendiülesandes määra alati esmalt tervik ehk $100\%$. Suhe võrdleb suurusi ja võrre ütleb, et kaks suhet on võrdsed.

$100\%=1$ ja $40\%=\frac{40}{100}=0,4$.

Valemid ja tingimused

$p\%$ arvust $A$:

$$A\cdot\frac p{100}.$$

Kasv $p\%$: $A\left(1+\frac p{100}\right)$. Langus $p\%$: $A\left(1-\frac p{100}\right)$.

Muutus algväärtuse $A$ suhtes:

$$\frac{\text{uus}-A}{A}\cdot100\%,\qquad A\ne0.$$

Võrdes $\frac ab=\frac cd$ kehtib $ad=bc$, kui $b,d\ne0$.

Näide

80-eurose eseme hind tõuseb 15%. Uus hind on $100\%+15\%=115\%$ senisest hinnast, seega on korrutustegur $1,15$:

$$80\cdot1,15=92\text{ eurot}.$$

Seosed

Protsente kasutatakse statistikas, intressiarvutustes, tõenäosuses ja kasvumudelites.

Astmed, juured ja standardkuju

Mõiste

Astendamine lühendab võrdsete tegurite korrutist: $3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$. Positiivne täisarvuline astendaja näitab tegurite arvu: astmes $a^n$ on $n$ tegurit $a$. Astendajaga 1 on $a^1=a$; nulli ja negatiivse astendaja jaoks on eraldi reeglid.

Ruutjuurimine küsib: milline null või positiivne arv annab iseendaga korrutades juurealuse arvu? $\sqrt9=3$, sest $3\cdot3=9$. Ka $\sqrt0=0$. Reaalarvude hulgas saab ruutjuurt leida ainult siis, kui juurealune arv on vähemalt null.

Valemid ja tingimused

Sama alusega astmete korrutamisel astendajad liidetakse: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, näiteks $2^3\cdot2^4=2^7$.

Sama alusega astmete jagamisel astendajad lahutatakse: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, kui $a\ne0$; näiteks $\frac{5^6}{5^2}=5^4$.

Astme astendamisel astendajad korrutatakse: $(a^m)^n=a^{mn}$, näiteks $(3^2)^4=3^8$.

Korrutise astendamisel astendatakse mõlemad tegurid: $(ab)^n=a^n b^n$, näiteks $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3$.

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.

Arvuhulgad ja reaalarvud

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm ja sama arv võib kuuluda mitmesse hulka korraga. Põhihulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.$$

Reaalarvude hulka kuuluvad nii ratsionaalarvud kui ka irratsionaalarvud, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Valemid ja tingimused

• $\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
• $\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Lisajoonised

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.

Ruutjuur ja juuravaldised

Mõiste

Ruutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral. $\sqrt9=3$, sest $3\cdot3=9$; samuti $\sqrt0=0$. Ruutjuure märk annab ühe nulli või positiivse arvu, mitte kahte vastust. Reaalarvude hulgas on $\sqrt a$ määratud siis, kui $a\ge0$.

Valemid ja tingimused

Kui $a,b\ge0$, siis $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$. Jagatise puhul peab lisaks olema $b>0$:

$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

Iga reaalarvu $x$ korral kehtib $\sqrt{x^2}=|x|$.

Näide

Lihtsustame ja hindame avaldist $\sqrt{72}$.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$$

Sajandikeni ümardamiseks säilitame vahearvutuses rohkem kümnendkohti:

$$6\sqrt2=8,485281\ldots\approx8,49.$$

Seosed

Juuravaldised valmistavad ette ruutvõrrandi lahendivalemit, Pythagorase teoreemi ja täpsete pikkuste esitamist. Järgmises algebraplokis otsustad lisaks, millal ruutjuure võtmisel tuleb arvestada kahe märgiga.

n-es juur ja ratsionaalarvuline aste

Mõiste

Arvu $a$ n-es juur on arv, mille $n$-s aste on $a$. Seda märgitakse $\sqrt[n]{a}$.

• Kui $n$ on paarisarv, peab reaalarvulise juure korral olema $a\ge 0$ ning $\sqrt[n]{a}$ tähistab mittenegatiivset peajuurt.
• Kui $n$ on paaritu, võib $a$ olla ka negatiivne: $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Valemid ja tingimused

Kui avaldised on reaalarvude hulgas määratud, siis

$$a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m,\qquad a^{-r}=\frac1{a^r}\quad(a\ne0).$$

Paarisarvulise juure korral peab juuritav olema mittenegatiivne. Paaritu juur võib olla ka negatiivsest arvust.

Näide

Arvutame

$$32^{\frac35}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8.$$

Negatiivne astendaja annab pöördarvu:

Lihtsustame avaldise:

$$\sqrt[4]{81x^4}=\sqrt[4]{3^4x^4}=3|x|.$$

Seosed

Ratsionaalarvuline aste on vajalik juuravaldiste, juurvõrrandite, eksponentfunktsiooni ja logaritmi õppimisel. Järgmine algebra peatükk kasutab samu määramispiiranguid võrrandite lahendamisel.

Ühikud ja mõõtmine

Mõiste

Mõõtmine tähendab võrdlemist kindla ühikuga. Kui laud on 2 meetrit pikk, mahub meetripikkune lõik laua pikkusesse kaks korda.

Valemid ja tingimused

$1\text{ km}=1000\text{ m}$, $1\text{ m}=100\text{ cm}$, $1\text{ cm}=10\text{ mm}$.

$1\text{ kg}=1000\text{ g}$, $1\text{ t}=1000\text{ kg}$.

$1\text{ h}=60\text{ min}$, $1\text{ min}=60\text{ s}$.

$1\text{ l}=1000\text{ ml}$, $1\text{ dm}^3=1\text{ l}$.

Näide

3,4 km meetrites:

$$3,4\cdot1000=3400\text{ m}.$$

0,75 kg grammides:

$$0,75\cdot1000=750\text{ g}.$$

2,5 m² ruutsentimeetrites:

$$2,5\text{ m}^2=2,5\cdot10\,000=25\,000\text{ cm}^2.$$

Seosed

Mõõtmine on vajalik geomeetrias, füüsikas, protsentülesannetes ja mudelites. Järgmine samm on pindala ja ruumala: seal ei piisa enam ühiku teisendamisest, vaid tuleb valida ka kujundile või kehale sobiv valem.

Pindala ja ruumala

Mõiste

Pindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.

Valemid ja tingimused

Ristkülikul $S=ab$, kolmnurgal $S=\frac{ah}{2}$ ja ringil $S=\pi r^2$. Prisma ruumala on $V=S_ph$; risttahukal seega $V=abc$. Pindala kasutab ruutühikut ja ruumala kuupühikut.

Risttahuka täispindala on $S=2(ab+ac+bc)$: igat tahupaari on kaks.

Lisajoonised

Näide

Ristküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on

$$S=4\cdot7=28\text{ cm}^2.$$

Kui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis

$$V=2\cdot3\cdot5=30\text{ cm}^3.$$

Sama risttahuka täispindala on

$$S=2(2\cdot3+2\cdot5+3\cdot5)=2(6+10+15)=62\text{ cm}^2.$$

Seosed

Pindala ja ruumala seovad arvutamise geomeetria, mõõtkava ja päriseluliste mõõtmistega. Järgmises mõõtkava peatükis kasutatakse sama mõtet: pikkuste mõõtkava ei teisendu pindala mõõtkavaks sama kordajaga.

Püstprisma

Mõiste

Prismal on kaks võrdset ja paralleelset põhitahku. Püstprisma külgservad on põhitahkudega risti ning külgtahud on ristkülikud.

Prisma nimi tuleb põhja kujust:

• kolmnurkse püstprisma põhitahud on kolmnurgad;
• nelinurkse püstprisma põhitahud on nelinurgad.

Prisma tähtsad osad on põhitahud, külgtahud, põhiservad, külgservad, tipud ja kõrgus. Püstprisma kõrgus on kahe põhitahu vaheline kaugus ning võrdub külgserva pikkusega.

Joonisel ühendavad kaks võrdset kolmnurkset põhitahku kolm ristkülikukujulist külgtahku.

Valemid ja tingimused

Kui põhja pindala on $S_p$, põhja ümbermõõt $P_p$ ja prisma kõrgus $h$, siis

$$V=S_ph,$$

$$S_{\text{külg}}=P_ph,$$

$$S_{\text{täis}}=2S_p+P_ph.$$

Näide

Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 12 cm², põhja ümbermõõt 16 cm ja prisma kõrgus 10 cm.

Ruumala on

$$V=12\cdot10=120\text{ cm}^3.$$

Külgpindala on

$$S_{\text{külg}}=16\cdot10=160\text{ cm}^2.$$

Täispindala on

$$S_{\text{täis}}=2\cdot12+160=184\text{ cm}^2.$$

Seosed

Püstprisma ühendab tasandiliste kujundite pindala ruumala ja pinnalaotusega. Hiljem laieneb sama põhja pindala korda kõrguse mõte silindrile ning teiste ruumiliste kehade võrdlemisele.

Mõõtkava ja proportsioon

Mõiste

Mõõtkava näitab, mitu korda on joonis tegelikkusest väiksem või suurem. 1 : 50 000 tähendab, et 1 cm kaardil vastab 50 000 cm tegelikkuses.

Mõõtkava on suhe:

$$\frac{\text{joonisel}}{\text{tegelikkuses}}=\frac1{50\,000}.$$

Valemid ja tingimused

Mõõtkavas $1:n$ kehtib

$$\frac{\text{joonise pikkus}}{\text{tegelik pikkus}}=\frac1n.$$

Enne suhte moodustamist teisenda pikkused samasse ühikusse. Pikkused muutuvad teguriga $n$, pindalad teguriga $n^2$ ja ruumalad teguriga $n^3$, sest ruumala sõltub kolmest mõõtmest.

Näide

Kui kaardil on vahemaa 4 cm ja mõõtkava on 1 : 25 000, siis tegelik vahemaa on

$$4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}=1\text{ km}.$$

Proportsioonina:

$$\frac{1}{25\,000}=\frac{4}{x}.$$

Ristkorrutis annab

$$x=4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}.$$

Seosed

Mõõtkava kasutab sama suhte mõtet, mida hiljem läheb vaja sarnaste kolmnurkade, trigonomeetria ja mudelite juures.

Punkt, sirge ja nurk

Mõiste

Punkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.

Nurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.

Enne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.

Valemid ja tingimused

Täisnurk on $90^\circ$, sirgnurk $180^\circ$ ja täispööre $360^\circ$. Kõrvunurkade summa on $180^\circ$; tippnurgad on võrdsed. Teravnurk on väiksem kui $90^\circ$, nürinurk aga suurem kui $90^\circ$ ja väiksem kui $180^\circ$.

Lisajoonised

Näide

Kui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\circ$, siis teine on

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ.$$

Kui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on $42^\circ$, siis tema tippnurk on samuti $42^\circ$.

Seosed

Sirged ja nurgad on kolmnurkade, hulknurkade, trigonomeetria ja tõestuste alus. Järgmises peatükis kasutatakse neid kolmnurga nurkade summa, hulknurkade, ümbermõõdu ja pindala leidmisel.

Kolmnurgad ja nelinurgad

Mõiste

Kolmnurgal on kolm külge ja kolm nurka, nelinurgal neli külge ja neli nurka. Kolm pikkust moodustavad kolmnurga ainult siis, kui kahe lühema külje summa on pikemast küljest suurem.

Joonistel on kõrvuti kujundite põhitunnused, mille järgi neid liigitada.

Valemid ja tingimused

Kolmnurga nurkade summa on $180^\circ$, nelinurga nurkade summa $360^\circ$ ning kumera $n$-nurga sisenurkade summa

$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Kolmnurga pindala on $S=\frac{ah}{2}$; kõrgus $h$ peab olema alusega $a$ risti.

Rööpkülikul ja rombil on $S=ah$. Rombil kehtib ka $S=\frac{d_1d_2}{2}$.

Pindalad joonistega

Joonised selgitavad pindalavalemeid; kujundite liigitus on eraldi ülal.

Näide

Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:

$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$

Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on

$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$

Seosed

Seostub Pythagorase teoreemi, sarnasuse, trigonomeetria, ringi, sümmeetria ja teisendustega.

Ring ja sümmeetria

Mõiste

Ringjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.

Ring sisaldab ka sisemust. Joonisel on ringi sisemus värvitud, ringjoon on selle piir.

Valemid ja tingimused

Ringjoone pikkus:

$$C=2\pi r=\pi d.$$

Ringi pindala:

$$S=\pi r^2.$$

Ringjoone pikkus mõõdab piirjoont, pindala kogu ringi pinda.

Kui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit $C=\pi d$.

Lisajoonised

Näide

Kui $r=5$, siis

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78,5.$$

Ringjoone pikkus sama raadiusega on

$$C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31,4.$$

Kui diameeter on $12$, siis raadius on

$$r=\frac{12}{2}=6.$$

Seosed

Ring on oluline geomeetrias, trigonomeetrias, radiaanides ja ringliikumise mudelites. Järgmises peatükis kasutatakse sümmeetriat koos peegelduse, lükke ja pööramisega.

Teisendused ja sümmeetria

Mõiste

Geomeetriline teisendus viib kujundi punktid uutesse asukohtadesse. Olulised teisendused on lüke, peegeldus, pööre ja homoteetsus.

Mapiku soovitus: 8. klass. Lihtsaid sümmeetriaid korratakse varasemast. Homoteetsus on siin sarnasuse lisateema: kindla keskpunkti suhtes suurendamine või vähendamine positiivse teguriga.

Teisendused joonistel

Lükke puhul liigub iga punkt sama palju ja samas suunas.

Valemid ja tingimused

Peegeldus $x$-telje suhtes: $(x;y)\mapsto(x;-y)$.

Peegeldus $y$-telje suhtes: $(x;y)\mapsto(-x;y)$.

Lüke vektoriga (4;1): $(x;y)\mapsto(x+4;y+1)$.

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti: $(x;y)\mapsto(-y;x)$.

Homoteetsus teguriga $2$ alguspunkti suhtes: $(x;y)\mapsto(2x;2y)$.

Näide

Punkt (3; -2) peegeldub $x$-telje suhtes punktiks (3; 2).

Lüke vektoriga (-3;4):

$$(2;5)\mapsto(2-3;5+4)=(-1;9).$$

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:

$$(3;2)\mapsto(-2;3).$$

Homoteetsus teguriga $2$ alguspunkti suhtes:

$$(3;2)\mapsto(6;4).$$

Seosed

Teisendused seovad geomeetria koordinaatidega: sama reeglit saab rakendada punktidele, kujunditele ja hiljem vektoritele. See valmistab ette koordinaatteljestiku, vektorite ja funktsioonide graafikute teisendused.

Tabelid, diagrammid ja keskmised

Mõiste

Statistika korrastab ja võtab kokku andmeid. Sagedus näitab esinemiskordade arvu, aritmeetiline keskmine tasakaalupunkti, mediaan järjestatud andmete keskkohta ning mood kõige sagedasemat väärtust.

Üks pakk kaalub 1 kg ja teine 2 kg. Kokku on 3 kg ning pakke on kaks: keskmine mass on $(1+2)/2=1,5$ kg.

Valemid ja tingimused

$$\text{aritmeetiline keskmine}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},\qquad n>0.$$

Mediaani leidmiseks järjesta andmed. Paaritu arvu väärtuste korral võta keskmine väärtus; paarisarvu korral kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine.

Suhteline sagedus:

$$\frac{\text{sagedus}}{\text{kõigi vaatluste arv}}.$$

Näide

Andmed $2, 4, 4, 5, 10$ annavad keskmise $5$, mediaani $4$ ja moodi $4$.

Sama andmestik tabelis ja diagrammil

Tabel. Veerud: Väärtus, 2, 4, 5, 10

Väärtus	2	4	5	10
Sagedus	1	2	1	1

Tulpdiagramm võrdleb sagedusi. Joondiagramm sobib muutuseks ajas, sektordiagramm terviku osadeks.

Sageduste summa on viis ehk vaatluste arv.

Seosed

Statistika toetab tõenäosust, uurimistöid, mudelite hindamist ja andmepõhist otsustamist. Järgmises peatükis muutub suhteline sagedus sillaks tõenäosuse mõisteni.

Tõenäosuse alused

Mõiste

Tõenäosus näitab sündmuse toimumise võimalust. See on arv vahemikus 0 kuni 1.

„Soodne tulemus” tähendab tulemust, mille korral uuritav sündmus toimub, mitte tingimata head tulemust. Ka kaotuse tõenäosust arvutades loendame kaotusele vastavaid tulemusi.

Valemid ja tingimused

Kui katsel on lõplik arv võrdvõimalikke tulemusi, siis

$$P(A)=\frac{\text{soodsate tulemuste arv}}{\text{kõikide tulemuste arv}}.$$

Kindel sündmus on tõenäosusega $1$. Võimatu sündmus on tõenäosusega $0$.

$$0\le P(A)\le1.$$

Tõenäosus on mudeli järgi oodatav osa. Suhteline sagedus on päris katse tulemus: kui sündmus toimus 30 katsest 12 korda, siis suhteline sagedus on $\frac{12}{30}=0,4$. Paljude katsete korral võib see anda hinnangu tõenäosusele, kuid väheste katsete puhul võib juhus palju kõikuda.

Näide

Aus münt annab kulli või kirja, kumbki tõenäosusega $\frac12$. Ausa kuue küljega täringu kõik tulemused 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 on võrdvõimalikud.

Iga kord jagame sündmusele vastavate tulemuste arvu kõigi kuue tulemuse arvuga.

Seosed

Tõenäosus seostub statistika, kombinatoorika, juhuslike protsesside ja riskide hindamisega. Järgmises kombinatoorika peatükis õpid loendama kõiki võimalusi siis, kui ükshaaval üleskirjutamine muutub liiga aeglaseks või veaohtlikuks.

Kombinatoorika

Mõiste

Kombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.

Enne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.

Valemid ja tingimused

Kolm erinevat raamatut A, B ja C saab ritta panna kuuel viisil:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Esimesele kohale on 3 valikut, teisele 2 ja viimasele 1: $3\cdot2\cdot1=6$. See on permutatsioon ehk kõigi esemete järjestus; üldiselt on neid $n!$.

Valides viiest erinevast raamatust kaks ilma kordusteta:

• järjekorraga (variatsioon): esimene raamat 5 viisil, teine 4 viisil, kokku $5\cdot4=20$;
• järjekorrata (kombinatsioon): AB ja BA on sama valik, mistõttu jagame kahega: $20/2=10$.

Üldvalemid valiku jaoks, kus $0\le k\le n$ on täisarvud ja kordusi pole: järjekorraga $\frac{n!}{(n-k)!}$, järjekorrata $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; $0!=1$.

Näide

Raamatute A, B, C, D ja E kahe kaupa valikud on AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Valem $\binom52=10$ kirjeldab sama loendust.

Kaks täringut: paar või summa?

Eristame esimest ja teist ausat täringut. Tulemus $(1;2)$ erineb tulemusest $(2;1)$: koordinaattasandil oleksid need eri punktid. Paare on $6\cdot6=36$.

Kui järjekord ei loe, ühendame paarid $(1;2)$ ja $(2;1)$ jne. Võrdseid paare $(1;1)$ kuni $(6;6)$ on 6; teisi on $30/2=15$. Kokku 21 paaritüüpi.

Võimalikke summasid on 11, arvud 2 kuni 12. Summa 7 tuleb kuuel viisil, summa 2 ühel viisil.

Sõltumatute ausate täringute 36 järjestatud paari on võrdvõimalikud, kuid 21 paaritüüpi ega 11 summat seda ei ole.

Seosed

Kombinatoorika aitab tõenäosuses nimetajat ja lugejat leida. Järgmistes andmete peatükkides nihkub rõhk loendamiselt hajuvusele, jaotustele ning Bernoulli mudelile.

Hajuvus ja jaotused

Mõiste

Hajuvus kirjeldab väärtuste laialiolekut: hinded 4; 4; 5 on koos, aga 1; 4; 5 hajusamad.

Keskmine näitab tüüpilist taset, hajuvus väärtuste kõikumist selle ümber.

Valemid ja tingimused

Ulatus on suurima ja vähima väärtuse vahe:

$$R=x_{\max}-x_{\min}.$$

Kvartiilid $Q_1$, $Q_2$ (mediaan) ja $Q_3$ märgivad järjestatud andmete neljaks osaks jaotamise piire; kvartiilhaare on $Q_3-Q_1$. Standardhälve mõõdab väärtuste tüüpilist kaugust keskmisest.

Mediaan on paaritu arvu vaatluste korral keskmine väärtus, paarisarvu korral kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine.

Kvartiilide kokkulepe siin: leia alumise ja ülemise poole mediaan. Paaritu arvu vaatluste korral jäta kogu andmestiku mediaan pooltest välja. Tarkvara võib kasutada teistsugust kokkulepet.

Näide

Andmete 3, 4, 8, 10 ulatus on

$$10-3=7.$$

Andmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Mediaan on $7$. Alumine pool on 2, 3, 5, seega

$$Q_1=3.$$

Ülemine pool on 11, 13, 17, seega

$$Q_3=13.$$

Andmetel 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 on mediaan $(4+5)/2=4,5$, $Q_1=2,5$ ja $Q_3=6,5$. Mediaan ei pea andmetes esinema.

Kui lisada 9, on mediaan 5. Poolte 1; 2; 3; 4 ja 6; 7; 8; 9 mediaanid annavad $Q_1=2,5$ ja $Q_3=7,5$.

Seosed

Hajuvus aitab hinnata, kas üks arv, näiteks keskmine, kirjeldab andmeid piisavalt hästi. Järgmises andmete peatükis kasutatakse sama mõtet valimi, usaldusvahemiku ja statistilise järelduse hindamisel.

Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Mõiste

Tõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.

Ühend $A\cup B$ tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus. Ühisosa $A\cap B$ tähendab, et toimuvad mõlemad.

Sündmused hulgajoonistel

Joonis näitab kuuluvust, mitte tõenäosuse arvväärtust: piirkonna pindala ei pea olema tõenäosusega võrdeline.

Täiendsündmus $\overline A$ tähendab, et $A$ ei toimu; vahe $A\setminus B$, et toimub $A$, aga mitte $B$.

Valemid ja tingimused

$P(\overline A)=1-P(A)$ ning $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$.

kus $P(A)>0$ ning $P(B\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.

Lisajoonised

Näide

Ausat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:

Kui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.

Seosed

Tõenäosusmudel seob kombinatoorika arvutuse andmete tõlgendamisega. Sama mudelikontrolli kasutatakse hiljem finants-, kasvu- ja optimeerimisülesannetes.

Muutuja ja avaldis

Mõiste

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Valemid ja tingimused

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Näide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Kui $x=-2$ ja $y=5$, siis

$$3x^2-2y+4=3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=6.$$

Seosed

Avaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.

Võrrandid ja võrratused

Mõiste

Võrrandi lahend teeb võrduse tõeseks. Võrratuse lahend on tavaliselt arvude piirkond. Võrrandi või võrratuse mõlemal poolel võib teha sama lubatud tehte.

Valemid ja tingimused

Lineaarvõrrand:

$$ax+b=c,\qquad a\ne0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{c-b}{a}.$$

Võrratuse liitmisel või lahutamisel märk ei muutu. Negatiivse arvuga korrutamisel või jagamisel pöördub võrratuse märk:

$$-2x<6 \quad\Longrightarrow\quad x>-3.$$

Kontrolli võrrandi lahendit algsesse võrrandisse asendades.

Näide

$$3x-5=10 \qquad |+5$$

$$3x-5+5=10+5$$

$$3x=15 \qquad |:3$$

$$\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}$$

$$x=5.$$

Seosed

Võrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite põhivahend. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.

Hulkliikmed ja tegurdamine

Mõiste

Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises

$$3x^2-5x+7$$

on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.

Valemid ja tingimused

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Ühise teguri sulgude ette toomine:

$$8x^2+12x=4x(2x+3).$$

Kas alati saab tegurdada? Lihtne tegurdamisvõte ei pruugi kohe näha olla. Näiteks $x^2-1=(x-1)(x+1)$, aga $x^2+1$ ei saa kirjutada kahe reaalarvuliste kordajatega lineaarteguri korrutisena.

Summa kuju aitab liikmeid liita ja koondada; korrutiskuju aitab leida nullkohti või taandada murdavaldisi, säilitades algsed tingimused. Üks kuju ei ole alati teisest parem.

Näide

Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:

$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$

Algne avaldis annab $x=2$ korral $24$, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.

Seosed

Hulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.

Ruutvõrrand

Mõiste

Ruutvõrrandi üldkuju on

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Kui mõni liige puudub, on selle kordaja 0. Näiteks võrrandis $2x^2-8=0$ on $a=2$, $b=0$, $c=-8$.

Valemid ja tingimused

$D>0$; parabool lõikab $x$-telge kahes punktis.

$D=0$; parabool puutub $x$-telge.

$D<0$; parabool ei lõika $x$-telge.

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Diskriminant:

$$D=b^2-4ac.$$

Lahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on teisendada võrrandit nii, et lõpuks jääks vasakule poole ainult $x=...$.

Näide

$$x^2-5x+6=0$$

Tegurdame:

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Lahendid on $x=2$ ja $x=3$.

Lahendivalemiga:

$$2x^2+3x-2=0.$$

Siin $a=2$, $b=3$, $c=-2$.

$$D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25.$$

Seega

$$x=\frac{-3\pm5}{4},$$

ning lahendid on $x_1=\frac12$ ja $x_2=-2$.

Seosed

Järgmine peatükk võrdleb täielikke ja mittetäielikke ruutvõrrandeid, kasutab Viète'i seost ning koostab ruutvõrrandi tekstülesandest. Seejärel muutuvad võrrandi lahendid ruutfunktsiooni nullkohtadeks.

Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused

Mõiste

Ruutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Valemid ja tingimused

Üldjuhul $D=b^2-4ac$ ja reaalarvulised lahendid, kui $D\ge0$, on

$$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.$$

Täielikus ruutvõrrandis on $a,b,c\ne0$. Mittetäielikus ruutvõrrandis on $b=0$, $c=0$ või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:

Jagades kõik liikmed arvuga $a\ne0$, saad taandatud ruutvõrrandi $x^2+px+q=0$, kus $p=b/a$ ja $q=c/a$. Juht $a=1$ on selle kuju erijuht.

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Nullkorrutise reegel kehtib siis, kui teisel poolel on null.

Näide

Ristküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on 48 cm². Olgu laius $x$, siis pikkus on $x+2$.

$$x(x+2)=48,$$

$$x^2+2x-48=0.$$

Tegurdades saame $(x-6)(x+8)=0$. Pikkuse tõttu sobib $x=6$, seega ristküliku mõõtmed on 6 cm ja 8 cm.

Seosed

Ruutvõrrandi lahendid muutuvad ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Tekstülesandes lisandub alati viimane samm: tõlgenda lahendeid algse olukorra järgi ja jäta sobimatu väärtus kõrvale.

Murdavaldised

Mõiste

Murdavaldis on avaldis, mille nimetajas on muutuja, näiteks

$$\frac{x+1}{x-3}.$$

Avaldist saab lihtsustada või selle väärtust arvutada. See ei ole veel võrrand, millest otsida $x$-i.

Kahes tiimis oli kummaski $x$ inimest. Esimesse lisandub üks, teisest lahkub kolm. Esimese tiimi suuruse suhe teise tiimi suurusse on $\frac{x+1}{x-3}$.

Suhe 5 tähendab, et esimeses tiimis on viis korda nii palju inimesi kui teises. Selles olukorras peab $x$ olema täisarv vähemalt 4, et teine tiim ei jääks tühjaks.

Valemid ja tingimused

Nimetaja ei tohi olla null. Avaldise $\frac{x+1}{x-3}$ määramispiirkonnast jääb välja $x=3$.

Taandamisel jagame lugeja ja nimetaja sama nullist erineva teguriga:

$$\frac{6x}{9x}=\frac{2\cdot3\cdot x}{3\cdot3\cdot x}=\frac23,\qquad x\ne0.$$

Keelatud väärtused leia alati algsest, veel taandamata nimetajast.

Näide

Avaldis

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

lihtsustub tegurdamise abil:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,$$

aga ainult tingimusel $x\ne3$.

Seosed

Murdavaldised kasutavad samu ideid nagu arvumurrud, kuid lisavad määramispiirkonna. Järgmine peatükk rakendab neid tingimusi korrutamisel, jagamisel, astendamisel ning mitme tehtega ratsionaalavaldistes.

Kui kirjutame $\frac{x+1}{x-3}=2$, saame murdvõrrandi: nüüd otsime sobivat $x$-i. Murdavaldiste teisendamine kuulub Mapikus 9. klassi; murdvõrrandite lahendamine on 10. klassi teema.

Ratsionaalavaldiste tehted

Mõiste

Algebraliste murdude tehted kasutavad samu põhimõtteid nagu arvumurrud. Enne arvutamist leia muutujate keelatud väärtused ning tegurda lugejad ja nimetajad, kui see võimaldab ühiseid tegureid taandada.

Valemid ja tingimused

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Näide

Lihtsustame

$$\frac{x^2-9}{x^2-x-6}:\frac{x+3}{x-3}.$$

Algavaldise tingimused: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0$, seega $x\ne3,-2$. Jagaja $\frac{x+3}{x-3}$ ei tohi olla null, mistõttu ka $x\ne-3$.

Tegurdades, pöörates jagaja ja taandades saame

$$\frac{x-3}{x+2},\qquad x\ne-3,-2,3.$$

Seosed

Ratsionaalavaldiste lihtsustamine ühendab murdude reeglid, tegurdamise ja määramispiirkonna. Sama oskus tuleb tagasi valemite teisendamisel ning ratsionaalvõrrandites.

Murd- ja juurvõrrandid

Mõiste

Murdvõrrandis esineb tundmatu nimetajas. Juurvõrrandis esineb tundmatu juure all. Mõlemas tuleb enne teisendamist kirja panna, millised väärtused on lubatud.

Murdvõrrandi tööjärjekord:

1. kirjuta nimetajate nullkohad keelatud väärtustena;
2. korruta võrrand nimetajate vähima ühiskordsega;
3. lahenda saadud võrrand;
4. kontrolli, et lahend ei oleks keelatud.

Valemid ja tingimused

Murdvõrrandis $\frac{P(x)}{Q(x)}=R(x)$ välista enne nimetajate eemaldamist kõik väärtused, mille korral $Q(x)=0$. Juurvõrrandis peab paarisarvulise juure alune olema mittenegatiivne. Ruutu tõstmine võib anda võõrlahendi, mistõttu kontrolli iga kandidaati algses võrrandis.

Näide

Võrrandis $\frac{x+1}{x-2}=2$ on $x\ne2$. Nimetaja eemaldamine annab $x+1=2x-4$, seega $x=5$.

Võrrandis $\sqrt{x+1}=x-1$ peab $x\ge1$. Ruutu tõstes saame $x(x-3)=0$; tingimuse ja algvõrrandi täidab ainult $x=3$.

Seosed

Murd- ja juurvõrrandid ühendavad määramispiirkonna, avaldiste teisendamise ja ruutvõrrandi. Järgmistes võrratustes tuleb lisaks jälgida avaldise märki tervetel vahemikel.

Lineaarvõrrandisüsteemid

Mõiste

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Valemid ja tingimused

Asendusvõttes avalda ühest võrrandist näiteks $y$ ja asenda see teise võrrandisse. Liitmisvõttes korruta võrrandeid vajaduse korral nii, et ühe tundmatu kordajad oleksid vastandarvud, ning liida võrrandid. Lahend on arvupaar $(x;y)$, mis peab rahuldama mõlemat võrrandit.

Näide

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafik on sirge; süsteemi lahendile vastab sirgete lõikepunkt.

Süsteemi

saab lahendada mitmel viisil.

Võrdsustamine: $x+1=-x+5$, seega $x=2$ ja $y=3$.

Liitmine: liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled:

$$y+y=(x+1)+(-x+5).$$

$$2y=6,\qquad y=3.$$

Esimesest võrrandist $3=x+1$, seega $x=2$. Teisest $3=-x+5$, samuti $x=2$. Mõlemad võtted annavad lahendi $(2;3)$.

Kui võtet pole ette antud, vali see, millega saad lahendi lihtsamalt. Kui ülesanne nõuab kindlat võtet, kasuta seda. Kontrolli lahendit mõlemas algses võrrandis.

Seosed

Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.

Võrrandisüsteemide tekstülesanded

Mõiste

Tekstülesandes ei ole süsteem ette antud: see tuleb olukorrast ise koostada. Kahe tundmatu kasutamine sobib siis, kui otsitakse kaht seotud suurust ja tekst annab nende kohta kaks sõltumatut seost.

Valemid ja tingimused

Arvu $x$ tähendus ja ühik tulevad tekstist. Piletite puhul annab esimese seose koguarv, teise kogutulu: ühe liigi tulu on $\text{piletihind}\cdot\text{piletite arv}$. Piletite arv peab olema mittenegatiivne täisarv.

Näide

Koolietendusele müüdi 34 piletit. Täiskasvanu pilet maksis 8 eurot ja õpilase pilet 5 eurot. Pileteid müüdi kokku 218 euro eest. Mitu kummagi hinnaga piletit müüdi?

Olgu $x$ täiskasvanupiletite ja $y$ õpilaspiletite arv. Koguarv ja kogutulu annavad

Esimesest võrrandist $y=34-x$. Asendame teise:

$$8x+5(34-x)=218.$$

$$3x=48,\qquad x=16.$$

Siis $y=34-16=18$. Kontroll: $16+18=34$ piletit ja $8\cdot16+5\cdot18=218$ eurot.

Vastus: müüdi 16 täiskasvanupiletit ja 18 õpilaspiletit.

Seosed

Tekstülesanne on matemaatiline mudel: sõnadest saavad muutujad ja võrrandid, kuid lõpus tuleb tulemus alati algsesse olukorda tagasi tõlgendada.

Võrratused ja vahemikud

Mõiste

Võrratus kirjeldab väärtuste hulka, mitte ainult ühte arvu. Lahendit esitatakse sageli arvteljel või vahemikuna.

Valemid ja tingimused

Negatiivse arvuga korrutades või jagades pöördub võrratuse märk:

Näiteks $-2x<6$. Jagame mõlemad pooled arvuga −2 ja pöörame märgi:

$$\frac{-2x}{-2}>\frac6{-2},\qquad x>-3.$$

Teine võimalus: korrutame mõlemad pooled arvuga −1, saades $2x>-6$. Seejärel jagame positiivse arvuga 2; märk enam ei pöördu ja saame samuti $x>-3$.

Näide

$$3x+1\le10$$

$$3x\le9$$

$$x\le3.$$

Vahemikuna:

$$(-\infty;3].$$

Ühisosa:

$$[1;6]\cap[4;9]=[4;6].$$

Ühend:

$$[1;6]\cup[4;9]=[1;9].$$

Kui vahemikud ei puutu kokku, jääb ühend kaheks osaks:

$$[1;3]\cup[5;7].$$

Seosed

Võrratused ja vahemikud on vajalikud funktsioonide määramispiirkonna, graafikute piirkondade ja analüüsi piirangute kirjeldamisel. Järgmised õpiteekonna moodulid kasutavad neid oskusi teemasid kokku sidudes.

Ruut- ja ratsionaalvõrratused

Mõiste

Ruut- või ratsionaalvõrratus küsib, millistes arvtelje osades on avaldis positiivne, negatiivne või null. Üksiku lahendi asemel saadakse tavaliselt vahemik või vahemike ühend.

Valemid ja tingimused

Ruutvõrratust saab tõlgendada ka parabooli kaudu: $f(x)\le0$ küsib, kus graafik asub $x$-teljel või sellest allpool.

Näide

Lahendame

$$x^2-x-6\le0.$$

Tegurdamiseks otsime kahte arvu, mille korrutis on −6 ja summa −1. Sobivad −3 ja 2, sest $(-3)\cdot2=-6$ ning $-3+2=-1$. Kontrolliks avame sulud:

$$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6.$$

See on $x^2-x-6$, seega võrratus on

$$(x-3)(x+2)\le0.$$

Nullkohad on $-2$ ja $3$. Ülespoole avanev parabool on nullkohtade vahel mittepositiivne, seega

$$x\in[-2;3].$$

Kui tegurid kohe silma ei hakka, leia kõigepealt ruutvõrrandi $x^2-x-6=0$ lahendid üldvalemiga.

Seosed

Märgiskeem seob algebra funktsiooni graafikuga. Funktsioonide teisenduste peatükis saab sama küsimust vaadelda kui graafiku asukohta telje või teise graafiku suhtes.

Koordinaatteljestik

Mõiste

Punkti asukohta tasandil kirjeldab paar (x; y). Esimene arv näitab liikumist horisontaalselt, teine vertikaalselt.

Selles materjalis eraldab koordinaate semikoolon, sest koma kasutatakse kümnendkohana.

Horisontaalne telg on $x$-telg. Vertikaalne telg on $y$-telg. Telgede lõikepunkt on alguspunkt (0;0).

Valemid ja tingimused

Punkti $(x;y)$ märkimisel liigu esmalt $x$ järgi paremale või vasakule ja seejärel $y$ järgi üles või alla. Veerandites on koordinaatide märgid

Teljel oleva punkti üks koordinaat on 0.

Näide

Punkt (3; -2) asub 3 ühikut paremal ja 2 ühikut allpool alguspunkti.

Punkt (-4; 2) asub 4 ühikut vasakul ja 2 ühikut üleval. See on II veerandis.

Punkt (0; -5) ei ole üheski veerandis, sest ta asub $y$-teljel.

Seosed

Koordinaatteljestik on funktsioonide, vektorite, analüütilise geomeetria ja andmegraafikute alus. Järgmine funktsiooni mõiste peatükk kasutab punkte sisendi ja väljundi seose näitamiseks.

Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos

Mõiste

Funktsioon on reegel, mis annab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja funktsiooni nimi $f$, kirjutame väljundi kujul

$$y=f(x).$$

Sama funktsiooni saab esitada neljal viisil:

• sõnadega: mida sisendiga tehakse;
• tabelina: valitud sisendite ja väljundite paarid;
• valemina: näiteks $f(x)=2x+1$;
• graafikuna: punktid $(x;f(x))$ koordinaattasandil.

Valemid ja tingimused

Tähed on nimed. Kirjutised $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ võivad tähistada eri funktsioone. Ka sisendi nimi võib muutuda: valemis $h(t)=2t+3$ on funktsiooni nimi $h$ ja sisend $t$. Funktsiooni mõte jääb samaks.

Näide

Jalgratta laenutus maksab 3 eurot alustuseks ja 2 eurot iga täistunni eest. Olgu $t$ tundide arv ja $h(t)$ hind eurodes. Siis

$$h(t)=2t+3.$$

Siin $t=0$ tähendab laenutuse algust: 3 eurot tuleb tasuda ka enne esimese tunni möödumist.

Kui $t=4$, siis

$$h(4)=2\cdot4+3=11.$$

Tabeli paar $(4;11)$ tähendab, et nelja tunni hind on 11 eurot. Graafikul tähistab seda sama punkt $(4;11)$.

Seosed

Järgmine peatükk uurib võrdelist seost, kus väljundi ja sisendi suhe on püsiv ning graafik läbib alguspunkti.

Võrdeline seos

Mõiste

Kaks suurust on võrdelises seoses, kui ühe suuruse mingi arv kordi muutumisel muutub teine sama arv kordi. Võrdelise seose valem on

$$y=kx,$$

kus $k$ on võrdetegur.

Valemid ja tingimused

$$y=kx,$$

kus $k$ on võrdetegur.

Kui $x\ne0$, saab võrdeteguri leida suhtest

$$k=\frac{y}{x}.$$

Võrdetegur näitab, kui palju väljundit vastab ühele sisendi ühikule. Näiteks hind 2 eurot kilogrammi kohta tähendab $k=2\ \text{€/kg}$.

• suhe $\frac yx$ on kõigis tabeli ridades sama;
• kui $x=0$, siis $y=0$;
• graafik on alguspunkti läbiv sirge.

Näide

Õunte hind on 2 eurot kilogrammi kohta. Kui $x$ on õunte mass kilogrammides ja $y$ hind eurodes, siis

$$y=2x.$$

Kolme kilogrammi hind on

$$y=2\cdot3=6\text{ eurot}.$$

Suhe $y:x$ on alati 2. Kui õunu ei osteta, on nii mass kui hind null; seetõttu läbib graafik alguspunkti.

Seosed

Lineaarfunktsioon $y=kx+b$ laiendab võrdelist seost: kui $b=0$, on seos võrdeline; kui $b\ne0$, lisandub püsiv algväärtus.

Lineaarfunktsioon

Mõiste

Lineaarfunktsiooni graafik on sirge. Kujul $y=kx+b$ on $k$ sirge tõus ja $b$ algordinaat; graafiku lõikepunkt $y$-teljega on $(0;b)$.

Valemid ja tingimused

$$y=kx+b.$$

Kahe eri $x$-koordinaadiga punkti järgi:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Siin $(x_1;y_1)$ ja $(x_2;y_2)$ on kaks punkti. Alaindeksid 1 ja 2 tähistavad punktide numbreid. Valem eeldab, et $x_1\ne x_2$, sest nulliga jagada ei saa.

Kui $k>0$, sirge tõuseb; kui $k<0$, langeb; kui $k=0$, on $y=b$ konstantne. Leia $b$, asendades ühe teadaoleva punkti valemisse.

Näide

Leia sirge valem punktide $(1;1)$ ja $(2;3)$ järgi.

1. Tõus. $x$ kasvab $2-1=1$ ja $y$ kasvab $3-1=2$ võrra. Seega

$$k=\frac{3-1}{2-1}=2.$$

2. Algordinaat. Asendame punkti $(1;1)$ valemisse $y=2x+b$:

$$1=2\cdot1+b,\qquad b=-1.$$

3. Valem ja kontroll. Saime $y=2x-1$. Teine punkt sobib, sest $3=2\cdot2-1$.

Seosed

Lineaarfunktsioon on mudel püsiva muutumiskiirusega olukordadele: hind, teepikkus, palk, temperatuurimuutus. Järgmine pöördvõrdeline seos näitab teistsugust sõltuvust, kus korrutis püsib, aga muutumiskiirus ei ole püsiv.

Pöördvõrdeline seos

Mõiste

Pöördvõrdeline seos on kujul

$$y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0.$$

Siin $k\ne0$ ning korrutis $xy=k$ jääb samaks. Kui $k>0$, kahaneb funktsioon kummalgi harul eraldi; kui $k<0$, kasvab ta kummalgi harul.

Graafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus $x=0$.

Valemid ja tingimused

Pöördvõrdelise seose samaväärsed kujud on

$$y=\frac{k}{x},\qquad xy=k.$$

Siin $x\ne0$ ja $k\ne0$.

Tegur $k$ on kõigi vastavate $x$- ja $y$-väärtuste korrutis. Graafik on hüperbool ning koordinaatteljed on selle asümptoodid.

Näide

Vaja on värvida 12 meetrit tara. Iga inimene värvib tunnis ühe meetri. Eeldame, et kõik töötavad sama kiiresti, saavad korraga eri lõike värvida ega sega üksteist. Tööaeg tundides on siis

$$y=\frac{12}{x},$$

kus $x$ on inimeste arv.

Kui töötegijaid on 3, siis

$$y=\frac{12}{3}=4.$$

Sama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja $x\cdot y=12$.

Kui kasutada saab ainult üht pintslit ja korraga töötab üks inimene, ei lühenda inimeste lisamine aega. Valem ei sobi igale tööle.

Seosed

Pöördvõrdeline seos näitab, et mitte iga vähenemine ei ole lineaarne. Järgmine ruutfunktsiooni peatükk lisab veel ühe graafiku kuju: parabooli, kus muutumise kiirus ise muutub.

Ruutfunktsioon

Mõiste

Ruutfunktsiooni üldkuju on

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.$$

Selle graafik on parabool.

Graafikult loetud tähtis punkt peab asendamisel andma sama $y$-koordinaadi.

Valemid ja tingimused

Nullkohad leitakse võrrandist $ax^2+bx+c=0$. Sümmeetriatelg ja haripunkt on

$$x=x_h=-\frac{b}{2a},\qquad H=(x_h;f(x_h)).$$

Kui $a>0$, avaneb parabool üles; kui $a<0$, alla. Lõikepunkt $y$-teljega on (0;c).

Näide

Funktsiooni $y=x^2-4$ nullkohad:

$$x^2-4=0$$

$$x=\pm2.$$

Haripunkt on punktis (0;-4), sest parabool on sümmeetriline $y$-telje suhtes ja kõige madalam punkt on seal.

Näide üldkujus:

$$y=2x^2-8x+3.$$

Sümmeetriatelg on $x_h=\frac{8}{4}=2$ ja $y_h=f(2)=-5$, seega haripunkt on (2;-5).

Seosed

Vaata parabooli kuue muutuse pildilugu või katseta kordajatega graafikuvaatlejas.

Ruutfunktsioon on seotud pindalade, viskeliikumise, optimeerimise ja paraboolidega. Järgmine peatükk kasutab nullkohti, haripunkti ja sümmeetriat parabooli käsitsi joonestamiseks ning ruutmudeli tõlgendamiseks.

Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Mõiste

Ruutfunktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafiku skitseerimiseks leia avanemissuund, sümmeetriatelg, haripunkt, nullkohad ja lõikepunkt $y$-teljega. Mudelis kasuta ainult seda graafiku osa, millel on olukorras tähendus.

Valemid ja tingimused

Parabooli sümmeetriatelg ja haripunkt on

$$x=x_h=-\frac{b}{2a},\qquad H=(x_h;f(x_h)).$$

Nullkohad lahendavad võrrandi $f(x)=0$ ning lõikepunkt $y$-teljega on $(0;c)$. Kordaja $a$ märk määrab avanemissuuna.

Näide

Joonestame funktsiooni $y=-x^2+2x+3$.

Parabool avaneb alla, sest $a=-1$. Nullkohad:

$$-x^2+2x+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0,$$

seega $x=-1$ ja $x=3$. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel $x=1$. Haripunkti väärtus on $f(1)=4$, seega haripunkt on (1;4). $y$-telje lõikepunkt on (0;3); selle sümmeetriline paariline on (2;3).

Seosed

Graafik seob ruutvõrrandi lahendid, funktsiooni väärtused ja olukorra tõlgenduse. Järgmises ratsionaalavaldiste plokis liigub tähelepanu graafikult avaldise lubatud väärtustele ja teisendustele.

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Mõiste

Eksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

Logaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Valemid ja tingimused

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Funktsioonid $y=a^x$ ja $y=\log_a x$ on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.

Näide

$$\log_2 8=3,$$

sest

$$2^3=8.$$

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on $1,05$. Kolme aasta pärast on summa

$$1000\cdot1,05^3\approx1157,63\text{ eurot}.$$

Seosed

Eksponentfunktsioon kirjeldab kasvu ja kahanemist: intress, populatsioon, radioaktiivne lagunemine, skaala ja helitugevus. Järgmine trigonomeetriliste funktsioonide peatükk käsitleb teist olulist funktsioonipere: perioodilisi seoseid.

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Mõiste

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

Valemid ja tingimused

Eeldame $a>0$, $a\ne1$, $x>0$ ja $y>0$. Aluse vahetamisel ka $b>0$ ning $b\ne1$.

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Näide

Lahendame

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

seega

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Seosed

Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Mõiste

Funktsioonid $\sin x$, $\cos x$ ja $\tan x$ kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.

Täisnurkses kolmnurgas oli

$$\sin\alpha=\frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}.$$

Valemid ja tingimused

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Tangens:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\ne0.$$

Sama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:

$$\sin(x+360^\circ)=\sin x,\qquad \cos(x+360^\circ)=\cos x.$$

Näide

Kui $\alpha=30^\circ$, siis

$$\sin30^\circ=\frac12.$$

Ühikringil tähendab see, et vastava punkti $y$-koordinaat on $\frac12$.

Kui $\alpha=150^\circ$, siis nurk on II veerandis. Seal on siinus positiivne ja koosinus negatiivne:

$$\sin150^\circ=\frac12,$$

$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Seosed

Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad perioodilist muutumist. Edasi seotakse nende graafikud radiaanmõõduga ning ühikringi seostest tuletatakse trigonomeetrilised valemid ja põhivõrrandid.

Funktsioonide teisendused

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Valemid ja tingimused

Nihkereeglites eeldame, et $c>0$. Kui $c=0$, nihet ei ole; negatiivse $c$ korral on suund vastupidine.

$f(x)+c$; nihe üles $c$ ühikut.

$f(x)-c$; nihe alla $c$ ühikut.

$f(x-c)$; nihe paremale $c$ ühikut.

$f(x+c)$; nihe vasakule $c$ ühikut.

$af(x)=a\cdot f(x)$, kus $a$ on nullist erinev arv: kõik $y$-koordinaadid korrutatakse arvuga $a$. Kui $|a|>1$, venib graafik püstsuunas; kui $0<|a|<1$, surutakse see püstsuunas kokku. Negatiivne $a$ peegeldab graafiku lisaks $x$-telje suhtes.

$f(ax)=f(a\cdot x)$, kus $a$ on nullist erinev arv: funktsiooni sisend korrutatakse arvuga $a$, mistõttu jagatakse kõik $x$-koordinaadid arvuga $a$. Kui $|a|>1$, surutakse graafik rõhtsuunas kokku; kui $0<|a|<1$, venib see rõhtsuunas. Negatiivne $a$ peegeldab graafiku lisaks $y$-telje suhtes.

$-f(x)$; peegeldus $x$-telje suhtes.

$f(-x)$; peegeldus $y$-telje suhtes.

Näide

Kui punkt (2;3) on graafikul $y=f(x)$, siis punkt (2;6) on graafikul $y=2f(x)$, aga punkt (1;3) on graafikul $y=f(2x)$. Väljas olev kordaja muudab kõrgust; funktsiooni sees olev kordaja muudab rõhtsuunalist asukohta vastupidise teguriga.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühiku alla nihutatud parabool, mille haripunkt on (-4;-1).

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.

Geomeetriline definitsioon ja tõestus

Mõiste

Definitsioon ütleb täpselt, mida mõiste tähendab. Teoreem on matemaatiline väide, mille tõesus tuleb tõestada. Tõestus seob antud tingimused põhjendatud sammude kaudu järeldusega.

Näiteks rööpküliku definitsioon on: rööpkülik on nelinurk, mille mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed. Väide „rööpküliku vastasküljed on võrdsed” on omadus, mitte definitsioon; see tuleb põhjendada.

Valemid ja tingimused

Tõestus algab antud tingimustest, kasutab definitsioone või varem tõestatud teoreeme ja lõpeb nõutud järeldusega. Näiteks tippnurkade korral

$$\alpha+\beta=180^\circ,\qquad \beta+\gamma=180^\circ,$$

millest sama arvu $\beta$ lahutamisel järeldub $\alpha=\gamma$.

Näide

Tõestame, et kahe lõikuva sirge tippnurgad on võrdsed.

Antud: sirged lõikuvad ning tekivad nurgad $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$, kus $\alpha$ ja $\gamma$ on tippnurgad.

Kõrvunurkade summa on $180^\circ$, seega

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

ja

$$\beta+\gamma=180^\circ.$$

Järelikult $\alpha+\beta=\beta+\gamma$. Lahutades mõlemalt poolelt $\beta$, saame $\alpha=\gamma$.

Seosed

Järgmistes peatükkides kasutatakse seda tõestuse vormi paralleelsete sirgete, kolmnurga, ringjoone ja sarnasuse omaduste põhjendamiseks.

Paralleelsed sirged ja nurgad

Mõiste

Paralleelsed sirged on kaks eri sirget, mis asuvad samal tasandil ega lõiku. Lõikaja lõikab neid kahes eri punktis.

Valemid ja tingimused

Kui $a\parallel b$ ja lõikaja lõikab mõlemat sirget, siis:

• vastavad nurgad on võrdsed;
• põiknurgad on võrdsed;
• samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.

Iga nimetatud nurgaseos on ka paralleelsuse tunnus. Pelgalt kahe võrdse nurga leidmisest ei piisa: kontrolli nende asendit.

Nurgaseoste põhjendus.

Näide

Sirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\circ$.

Sellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\circ$. Tema kõrvunurk on

$$180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$

Sama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.

Seosed

Paralleelsete sirgete nurgaseosed annavad kolmnurga kesklõigu, trapetsi ja sarnaste kolmnurkade põhjendustele vajaliku keele.

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Mõiste

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Valemid ja tingimused

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad raskuskeskmes, mis jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on pikem.

Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte ja on alustega paralleelne. Aluste pikkused on $a,b>0$ ja nende ristkaugus $h>0$:

$$m=\frac{a+b}{2},\qquad S=mh.$$

Kesklõikude põhjendused ning raskuskeskme põhjendus.

Näide

Kolmnurga kolmas külg $BC$ on 14 cm. Selle küljega paralleelne kesklõik on

$$MN=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm. Trapetsi kesklõik on

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm}.$$

Seosed

Kesklõik seob paralleelsuse ja sarnasuse. Raskuskese on ühtlase kolmnurkse plaadi tasakaalupunkt.

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Kesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Valemid ja tingimused

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Korrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Korrapärase $n$-nurga ühe sisenurga suurus on

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Lisajoonised

Näide

Piirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\circ$. Piirdenurk on

$$124^\circ:2=62^\circ.$$

Korrapärase kuusnurga kesknurk on

$$360^\circ:6=60^\circ,$$

ja üks sisenurk

$$\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Ringjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\circ$.

Seosed

Ringjoone nurgad, puutuja ning sise- ja ümberringjoon valmistavad ette Thalese teoreemi põhjalikku tõestust. Apoteem seob korrapärase hulknurga ringjoone, kolmnurkade ja pindalaga.

Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Mõiste

Sarnased kujundid saadakse üksteisest kõigi pikkuste korrutamisel sama positiivse arvuga ning vajaduse korral nihutamisel, pööramisel või peegeldamisel.

Valemid ja tingimused

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Sarnasustegur esimeselt kolmnurgalt teisele on $k=DE/AB=EF/BC=DF/AC>0$. Kui $k<1$, kujund väheneb; kui $k=1$, on kujundid võrdsed.

Ümbermõõt muutub $k$ ja pindala $k^2$ korda. Põhjendus ja sarnasuse tunnused.

Näide

Püstise 1,5 m pikkuse lati vari on 2 m ja püstise puu vari 8 m. Mõõdame samal ajal horisontaalsel maal ning käsitleme päikesekiiri paralleelsetena. Kolmnurgad on sarnased, seega

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Seosed

Sarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.

Pythagoras ja sarnasus

Mõiste

Pythagorase teoreem seob täisnurkse kolmnurga külgi. Sarnastel kujunditel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad pikkused samas suhtes.

Valemid ja tingimused

Täisnurkses kolmnurgas:

$$a^2+b^2=c^2,$$

kus $c$ on täisnurga vastaskülg ehk hüpotenuus.

Sarnasustegur:

$$k=\frac{\text{uue kujundi pikkus}}{\text{algse kujundi vastav pikkus}}.$$

Pikkused ja ümbermõõdud muutuvad $k$ korda, pindalad $k^2$ korda ning ruumalad $k^3$ korda.

Näide

Kaatetite 6 ja 8 korral $c=\sqrt{6^2+8^2}=10$.

Seosed

Pythagoras ja sarnasus on trigonomeetria, mõõtkava ning analüütilise geomeetria alus. Järgmine peatükk põhjendab Pythagorase teoreemi pindalade abil ja rakendab seda korrapäraste hulknurkade joonelementide leidmisel.

Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Täisnurkse kolmnurga kaatetid on $a,b>0$ ja hüpotenuus $c$. Siis $a^2+b^2=c^2$.

Valemid ja tingimused

Paigutame neli võrdset täisnurkset kolmnurka kaatetitega $a,b>0$ küljega $a+b$ ruudu nurkadesse. Keskmise kujundi küljed on hüpotenuusid $c$ ning nurgad $180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ$, sest kolmnurga teravnurkade summa on $90^\circ$.

$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$

Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb

$$a^2+b^2=c^2.$$

Täielik pindalatõestus.

Korrapärase kumera hulknurga pindala on $S=Pr/2$, kus $P$ on ümbermõõt ja $r$ apoteem ehk kaugus keskpunktist küljeni.

Näide

Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast. Ühe kolmnurga kõrgus on

$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$

Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala

$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$

Seosed

Pythagorase teoreemi tõestus ühendab algebra ja pindala. Korrapäraste hulknurkade poolitamisel tekkivad täisnurksed kolmnurgad valmistavad ette siinuse, koosinuse ja tangensi kasutamist.

Tõestamine ja ringjoone teoreemid

Mõiste

Kesk- ja piirdenurga seosest järelduvad piirdenurkade võrdsus ning Thalese teoreem. Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Valemid ja tingimused

• Samale kaarele toetuv kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem: $\theta=2\alpha$.
• Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
• Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Kui $AB$ on diameeter, peab ringjoonel asuv tipp $C$ erinema punktidest $A$ ja $B$.
• Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Lisajoonised

Näide

Poolringile vastav kesknurk on $180^\circ$. Sellele toetuv piirdenurk on $180^\circ:2=90^\circ$.

Seosed

Tõestuste alus: Eukleidese „Elemendid”, III.20 ja III.21. Puutuja põhjendus kasutab telgsümmeetria kauguste säilimist; klassikaline tõestus on III.18.

Vektorid

Mõiste

Vektor kirjeldab nihet. Vektoril on pikkus ja suund, aga tal ei ole kindlat asukohta: sama vektorit võib joonisel nihkena ümber paigutada, kui pikkus ja suund jäävad samaks.

Koordinaatteljestikus kirjeldavad vektori komponendid nihet telgede suunas: $\vec a=(3;2)$ tähendab 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Valemid ja tingimused

Kui $\vec a=(a_1;a_2)$ ja $\vec b=(b_1;b_2)$, siis

$$\vec a+\vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2),\qquad k\vec a=(ka_1;ka_2).$$

Vektori pikkus on $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ ning punktist $A$ punkti $B$ suunatud vektor on $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

Lisajoonised

Näide

Kui $\vec a=(2;1)$ ja $\vec b=(3;-2)$, siis

$$\vec a+\vec b=(2+3;\ 1+(-2))=(5;-1).$$

Kui punktid on $A(1;2)$ ja $B(4;6)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;4).$$

Seosed

Vektorid seovad koordinaate, suunda ja pikkust. Järgmine koordinaatgeomeetria peatükk kasutab samu ideid sirgete, kauguste ja keskpunktide leidmisel.

Skalaarkorrutis ja vektorite nurk

Mõiste

Kahe vektori skalaarkorrutis on arv, mis seob nende pikkused ja vahelise nurga. Tasandil

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$

Geomeetriliselt

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha,$$

kus $\alpha$ on mittenullvektorite vaheline nurk. Skalaarkorrutise tulemus on arv, mitte vektor.

Valemid ja tingimused

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha,$$

kus $\alpha$ on vektorite vaheline nurk vahemikus $0^\circ$ kuni $180^\circ$.

$$\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}.$$

Näide

Olgu

$$\vec a=(3;4),\qquad \vec b=(-4;3).$$

Siis

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot(-4)+4\cdot3=0.$$

Mõlemad vektorid on mittenullvektorid, seega on nad risti.

Seosed

Skalaarkorrutis annab koordinaatgeomeetriale ristseisu ja nurga kontrolli. Järgmistes peatükkides kasutatakse seda sirgete asendi ning geomeetriliste mudelite kirjeldamisel.

Koordinaatgeomeetria

Mõiste

Koordinaatgeomeetria kasutab geomeetriliste objektide kirjeldamiseks arve ja võrrandeid.

Punkti asukohta kirjeldavad koordinaadid, lõigu pikkust saab arvutada Pythagorase teoreemi abil ning sirget saab kirjeldada võrrandiga.

Samad arvud võivad olla eri rollis: punkt (3;2) ütleb asukoha, vektor (3;2) või nihe (3;2) ütleb, kui palju liikuda $x$- ja $y$-suunas.

Valemid ja tingimused

Kahe punkti $A(x_1;y_1)$ ja $B(x_2;y_2)$ vaheline kaugus:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Lõigu keskpunkt:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

Näide

Punktide (1; 2) ja (4; 6) kaugus:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Nende keskpunkt on

$$M\left(\frac{1+4}{2};\frac{2+6}{2}\right)=(2{,}5;4).$$

Punkte (1;3) ja (3;7) läbiva sirge tõus on $k=\frac{7-3}{3-1}=2$; asendus annab $b=1$ ja sirge võrrandi $y=2x+1$.

Seosed

Koordinaatgeomeetria ühendab vektorid, lineaarfunktsiooni ja Pythagorase teoreemi. Järgmine ruumigeomeetria peatükk laiendab sama koordinaatide ja pikkuste mõtte kolmemõõtmeliseks.

Joone ja ringjoone võrrandid

Mõiste

Joone võrrand on tingimus, mida täidavad täpselt selle joone punktide koordinaadid. Sirget saab kirjeldada mitmel samaväärsel kujul.

Sirge levinud kujud:

$$y=kx+b,$$

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

$$Ax+By+C=0,\qquad A^2+B^2>0.$$

Valemid ja tingimused

$$y=kx+b,$$

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

$$Ax+By+C=0,\qquad A^2+B^2>0.$$

Kui sirge läbib punkti $P(x_0;y_0)$ ja tema sihivektor on $(p;q)$, siis sobib võrrand

$$q(x-x_0)-p(y-y_0)=0.$$

Paralleelsetel mittevertikaalsetel sirgetel on sama tõus. Ristuvate sirgete korral on $k_1k_2=-1$, kui mõlemad tõusud on olemas.

Keskpunkti $K(a;b)$ ja raadiusega $r$ ringjoone võrrand on

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$

Näide

Sirge läbib punkte $A(1;2)$ ja $B(3;6)$. Tõus on

$$k=\frac{6-2}{3-1}=2.$$

Punkti-tõusu kuju annab

$$y-2=2(x-1),$$

seega $y=2x$ ehk üldkujul $2x-y=0$.

Seosed

Joonevõrrandid ühendavad vektorid, funktsioonid ja võrrandisüsteemid. X klassi lõpus saab sama joonist kirjeldada koordinaatide, vektori, sirge võrrandi ja trigonomeetria kaudu.

Ruumigeomeetria

Mõiste

Ruumigeomeetrias töötame kolmemõõtmeliste kehadega: prismad, püramiidid, silindrid, koonused ja kerad. Neid saab käes hoida, ehitada või joonisel kujutada.

Kolmemõõtmelise keha puhul küsitakse sageli kahte asja:

• pindala: kui suur on keha välispind;
• ruumala: kui palju ruumi keha hõivab või mahutab.

Joonised aitavad enne valemi valimist eristada keha põhja, kõrgust ja külgpinda.

Valemid ja tingimused

Prisma ruumala:

$$V=S_p h,$$

kus $S_p$ on põhja pindala ja $h$ on kõrgus.

Püramiidi ruumala:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kuubi erijuht, kui serv on $a$:

$$V=a^3,\qquad S=6a^2.$$

Silindri ruumala on $V=\pi r^2h$, koonuse ruumala $V=\frac13\pi r^2h$ ja kera ruumala $V=\frac43\pi r^3$.

Näide

Silindri raadius on 3 cm ja kõrgus 5 cm:

$$V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi.$$

Kui kuubi serv on 4 cm, siis

$$V=4^3=64\text{ cm}^3,$$

ja pindala on

$$S=6\cdot4^2=96\text{ cm}^2.$$

Seosed

Ruumigeomeetria kasutab pindala, ruumala, Pythagorase teoreemi ja lõikejooniseid. Järgmine ruumigeomeetria peatükk eristab kõrgust, apoteemi ja moodustajat ning ühendab need püramiidi ja pöördkehade arvutustes.

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Mõiste

Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.

Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus, mitte keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.

Joonisel tuleb kõrgus ja kaldpikkus enne arvutamist selgelt lahus hoida.

Valemid ja tingimused

Püramiidil $V=\frac13S_ph$ ja $S=S_p+S_k$. Pöördkehadel:

$$V_{\text{silinder}}=\pi r^2h,$$

$$V_{\text{koonus}}=\frac13\pi r^2h,$$

$$V_{\text{kera}}=\frac43\pi r^3.$$

Koonuse täispindala on $S=\pi r^2+\pi rs$; moodustaja $s$ ei ole ruumala valemis kasutatav kõrgus $h$.

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:

$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$

Põhja pindala on 36 cm² ja külgpindala 60 cm². Seega täispindala on 96 cm² ning ruumala $V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3$.

Seosed

Ruumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.

Trigonomeetria

Mõiste

Täisnurkses kolmnurgas seovad siinus, koosinus ja tangens nurka külgedega.

Vaatleme nurka $\alpha$. Selle nurga suhtes:

• hüpotenuus on täisnurga vastas olev pikim külg;
• lähiskaatet on nurga $\alpha$ kõrval olev kaatet;
• vastaskaatet on nurga $\alpha$ vastas olev kaatet.

Valemid ja tingimused

Kui vastaskaatet on $a$, lähiskaatet $b$ ja hüpotenuus $c$, siis

$$\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.$$

Need küljesuhted kehtivad täisnurkse kolmnurga teravnurga kohta: $0^\circ<\alpha<90^\circ$ ja $a,b,c>0$. Siinus ja koosinus on sel juhul suuremad kui 0 ja väiksemad kui 1. Nurga leidmisel kasutatakse pöördfunktsioone, näiteks $\alpha=\arcsin(a/c)$; kraadides vastuse saamiseks vali kalkulaatoris kraadirežiim.

Näide

Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on $c=10$ cm ja $\sin\alpha=\frac35$. Leia vastaskaatet $a$.

$$\frac35=\frac a{10}$$

$$a=10\cdot\frac35=6.$$

Vastaskaatet on $6$ cm.

Seosed

Järgmises peatükis lahendad täisnurkseid kolmnurki, ühendades Pythagorase teoreemi trigonomeetriliste seostega.

Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Mõiste

Kolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Täisnurkse kolmnurga määravad kaks kaatetit, hüpotenuus koos sellest lühema kaatetiga või üks külg koos ühe teravnurgaga.

Valemid ja tingimused

Kui $a$ on nurga $\alpha$ vastaskaatet, $b$ lähiskaatet ja $c$ hüpotenuus, siis

$$\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.$$

Kui $\beta$ on teine teravnurk, siis lisaks kehtivad

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \alpha+\beta=90^\circ.$$

Vali seos, milles esinevad otsitav suurus ja teadaolevad suurused.

Küljepikkused peavad olema positiivsed ning $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Ühe külje ja nurga puhul peab olema teada nende vastastikune asend. Hüpotenuus peab olema pikem kui kumbki kaatet. Ainult nurkade põhjal küljepikkusi leida ei saa.

Näide

Täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga $\alpha=38^\circ$ suhtes on 5 cm. Leiame ülejäänud suurused.

$$a=5\tan38^\circ\approx3,91\text{ cm},$$

$$c=\frac5{\cos38^\circ}\approx6,35\text{ cm}.$$

Teine teravnurk on $52^\circ$.

Seosed

Täisnurkse kolmnurga terviklahendust saab kasutada paljudes tasandi- ja ruumiülesannetes. Gümnaasiumis laiendavad siinus- ja koosinusteoreem sama mõtet kolmnurkadele, milles täisnurka ei ole.

Trigonomeetrilised valemid

Mõiste

Trigonomeetrilised valemid võimaldavad nurki teisendada ja avaldisi lihtsustada. Nende alus on ühikring ning seos

Negatiivse nurga valemid on

Valemid ja tingimused

Näide

Leiame $\sin75^\circ$:

Seosed

Valemid võimaldavad trigonomeetrilisi põhivõrrandeid teisendada ning aitavad üldise kolmnurga ja perioodiliste mudelite seoseid põhjendada.

Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Mõiste

Need teoreemid aitavad lahendada ka mittetäisnurkseid kolmnurki.

Kolmnurga küljed $a,b,c$ on vastavalt nurkade $A,B,C$ vastas.

Valemid ja tingimused

Tingimused: $a,b,c>0$, $0^\circ<A,B,C<180^\circ$ ja $A+B+C=180^\circ$.

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Kui $C=90^\circ$, siis $\cos C=0$ ja saame Pythagorase teoreemi.

Põhjendused: siinusteoreemi tõestus ja koosinusteoreemi tõestus.

Näide

Kui $a=7$, $b=9$ ja nurk nende vahel on $60^\circ$, siis

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\cos60^\circ.$$

Kuna $\cos60^\circ=\frac12$, siis

$$c^2=49+81-126\cdot\frac12=67,$$

seega

$$c=\sqrt{67}\approx8{,}2.$$

Seosed

Teoreemid ühendavad trigonomeetria, pindala ja koordinaatgeomeetria.

Radiaanid ja perioodilisus

Mõiste

Radiaan on nurga mõõtühik. Ühe radiaani suurusele kesknurgale vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega. See on täpne definitsioon, mitte lähend. Täispööre on

$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$

$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$

Nurga $\alpha\ge0$ suurus radiaanides on $\alpha=s/r$, kus $s$ on vastava kaare pikkus ja $r>0$ raadius samas ühikus. Negatiivne nurk tähistab päripäeva pööret.

Valemid ja tingimused

$$\text{radiaanid}=\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \text{kraadid}=\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Põhivastavused on $90^\circ=\pi/2$, $180^\circ=\pi$ ja $360^\circ=2\pi$.

Siinuse ja koosinuse vähim positiivne periood on $2\pi$, tangensil $\pi$. Siin on $x$ radiaanides:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \tan(x+\pi)=\tan x.$$

Tangensi seos kehtib seal, kus $\cos x\ne0$, s.t $x\ne\frac\pi2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Näide

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$

Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:

$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$

Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$

Seosed

Radiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid kehtivad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.

Trigonomeetrilised põhivõrrandid

Mõiste

Trigonomeetrilisel võrrandil on perioodilisuse tõttu enamasti lõpmata palju lahendeid. Kõigepealt leitakse ühikringilt ühe täispöörde lahendid, seejärel lisatakse periood.

Põhikujud:

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Valemid ja tingimused

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Näide

Lahendame vahemikus $0\le x<2\pi$:

Esmalt eraldame siinuse:

Ühikringil on siinus $\frac12$ I ja II veerandis. Seega

Seosed

Põhivõrrandid ühendavad ühikringi, graafiku ja algebra. Tuletise peatükis kasutatakse samu perioodilisi funktsioone, kuid küsimus muutub väärtuse leidmiselt muutumiskiiruse leidmiseks.

Jadad

Mõiste

Jada on järjestatud arvude loend. Selles peatükis märgime jada liikme sümboliga $a_n$.

Tähistus: $n$ on liikme järjekorranumber, $a_n$ on selle koha väärtus.

Näiteks jadas

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$$

on esimene liige $a_1=3$, teine liige $a_2=7$ ja neljas liige $a_4=15$.

Valemid ja tingimused

Aritmeetilises jadas liidetakse iga kord sama vahe $d$:

$$a_n=a_1+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2.$$

Geomeetrilises jadas korrutatakse iga kord sama teguriga $q$:

$$a_n=a_1q^{n-1},\qquad S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1.$$

Näide

Jadas 3, 7, 11, 15 on vahe $d=4$, seega

$$a_n=3+(n-1)\cdot4.$$

Kümnes liige on

$$a_{10}=3+9\cdot4=39.$$

Esimese kümne liikme summa on

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=210.$$

Seosed

Jadad viivad piirväärtuse, intressiarvutuse, rekursiooni ja matemaatilise induktsioonini. Järgmine peatükk eristab jada liikmete piirväärtust ja osasummade piirväärtusena tekkivat lõpmatut summat.

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Mõiste

Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus

ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.

Valemid ja tingimused

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

Lõpmatu geomeetrilise rea summa leidub ainult siis, kui $|q|<1$:

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Tingimus $|q|<1$ tähendab, et jada liikmed hääbuvad nulli poole.

Näide

Leiame jada

piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:

Kuna $\frac1n\to0$, siis

Hääbuva geomeetrilise jada

esimene liige on $6$ ja tegur $q=1/2$. Seega

$$S=\frac6{1-1/2}=12.$$

Seosed

Jada piirväärtus valmistab ette funktsiooni piirväärtuse: mõlemas uuritakse mitte viimast sammu, vaid väärtuse lähenemist kindlale sihile.

Piirväärtus, tuletis ja integraal

Mõiste

Piirväärtus kirjeldab, millele avaldis või funktsioon läheneb. Tuletis kirjeldab muutumiskiirust. Integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku ja telje vahel.

Analüüsi põhiküsimus on: mis juhtub siis, kui vaatame muutumist väga väikeste sammudega või kogume väga paljud väikesed osad kokku?

Valemid ja tingimused

Tuletis punktis $x_0$ on vahe jagatise piirväärtus:

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$

Kui $F'(x)=f(x)$, siis määratud integraali arvutab Newtoni-Leibnizi valem:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Tuletis on lokaalne muutumiskiirus; määratud integraal liidab muutuse kogu vahemikus.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$f'(x)=2x.$$

Punktis $x=3$ on muutumiskiirus 6.

See tähendab, et graafiku $y=x^2$ puutuja tõus punktis $x=3$ on 6.

Seosed

Analüüs ühendab funktsioonid, füüsika, optimeerimise, pindalad ja pidevad protsessid. Järgmine moodul keskendub tuletise arvutusreeglitele: kuidas muutumiskiirust valemitest kiiresti leida.

Tuletise arvutusreeglid

Mõiste

Tuletis $f'(x)$ kirjeldab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust ja graafiku puutuja tõusu. Enne tuletamist tunne ära avaldise väline tehe: summa, korrutis, jagatis või funktsioon funktsiooni sees.

Valemid ja tingimused

$$c'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1}.$$

$$(f+g)'=f'+g',\qquad (fg)'=f'g+fg'.$$

$$\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0.$$

$$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\,g'(x).$$

Näide

$$\bigl(3x^2-5x+7\bigr)'=6x-5.$$

Ahelreegliga $((2x+1)^3)'=6(2x+1)^2$.

Seosed

Tuletise arvutusreeglid annavad vajalikud arvutusvõtted, aga rakendustes tuleb tuletist tõlgendada. Järgmine moodul kasutab tuletist kasvamise, kahanemise, ekstreemumite ja puutuja leidmiseks.

Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Mõiste

Astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilistel funktsioonidel on eri põhituletised. Enne arvutamist tunne ära funktsioonipere; seejärel rakenda vajaduse korral summa-, korrutise-, jagatise- või ahelreeglit.

Põhivalemid on

Valemid ja tingimused

Kui funktsiooni sees on avaldis $g(x)$, lisa ahelreegliga sisemise funktsiooni tuletis:

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=e^{2x}+\ln(x+1)-3\cos x$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa ja kasutame kahes esimeses liikmes ahelreeglit:

Algse funktsiooni määramispiirkond nõuab $x>-1$; sama piirang jääb ka tuletise kasutamisel oluliseks.

Seosed

Need põhituletised laiendavad varasemaid arvutusreegleid. Järgmistes moodulites kasutatakse neid funktsiooni kasvamise, ekstreemumite, teise tuletise ja graafiku kuju uurimiseks.

Tuletise rakendused

Mõiste

Tuletis kirjeldab muutumiskiirust ja graafiku puutuja tõusu.

Valemid ja tingimused

• Kui $f'(x)>0$, siis funktsioon kasvab.
• Kui $f'(x)<0$, siis funktsioon kahaneb.
• Võrrand $f'(x)=0$ annab ekstreemumi kandidaate. Kontrolli ka määramispiirkonda kuuluvaid kohti, kus tuletist ei ole, näiteks $|x|$ miinimumi kohal $x=0$. Kinnise lõigu suurima ja vähima väärtuse leidmisel arvesta ka otspunkte.

Puutuja võrrand kohal $x_0$ on

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

Näide

Uuri funktsiooni $f(x)=x^2-4x+1$.

$$f'(x)=2x-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.$$

Tuletis on enne $2$ negatiivne ja pärast $2$ positiivne, seega on kohal $x=2$ miinimum. Selle väärtus on $f(2)=-3$.

Erista: $f(x_0)$ on funktsiooni väärtus punktis, $f'(x_0)$ on puutuja tõus ja muutumiskiirus seal.

Seosed

Tuletise rakendused näitavad, kuidas muutumiskiiruse abil teha otsuseid. Järgmine moodul pöörab küsimuse ümber: algfunktsioon ja integraal kirjeldavad kogunenud suurust.

Teine tuletis, kõverus ja käänupunkt

Mõiste

Teine tuletis on tuletise tuletis:

$$f''(x)=(f'(x))'.$$

Esimene tuletis kirjeldab funktsiooni tõusu. Teine tuletis kirjeldab, kuidas see tõus muutub.

• Kui $f''(x)>0$, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
• Kui $f''(x)<0$, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.

Valemid ja tingimused

$$f''(x)=(f'(x))'.$$

• Kui $f''(x)>0$, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
• Kui $f''(x)<0$, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.

Õpikutes nimetatakse neid vastavalt nõgusus- ja kumerusvahemikeks. Kindla järelduse alus on siiski $f''$ märk ja graafiku kuju.

Käänupunkt on graafiku punkt, kus kõveruse suund muutub. Võrrand $f''(x)=0$ annab ainult kandidaadi; käänupunkti kinnitab $f''$ märgi muutus.

Näide

Uuri funktsiooni $f(x)=x^3-3x$ ekstreemumeid ja käänupunkti.

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Kriitilised punktid on $x=-1$ ja $x=1$. Tuletise märk näitab maksimumi punktis $(-1;2)$ ja miinimumi punktis $(1;-2)$.

$$f''(x)=6x.$$

Teine tuletis vahetab kohal $x=0$ märki, seega on käänupunkt $(0;0)$.

Seosed

Teine tuletis lõpetab funktsiooni uurimise põhitee: arvutusest saad graafiku kuju ja mudeli muutumise selgituse. Järgmine osa pöörab tähelepanu kogunenud suurusele ning algfunktsioonile.

Algfunktsioon ja määramata integraal

Mõiste

Algfunktsioon on tuletise tagasikäik. Kui

$$F'(x)=f(x),$$

siis $F(x)$ on funktsiooni $f(x)$ algfunktsioon.

Määramata integraal tähendab kõigi algfunktsioonide hulka:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$

Kirjutis $dx$ näitab, et algfunktsiooni otsitakse muutuja $x$ järgi.

Valemid ja tingimused

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne-1.$$

$$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C,\qquad x\ne0.$$

Integraal on lineaarne:

$$\int(af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx.$$

Näide

Leia

$$\int (3x^2-4x+5)\,dx.$$

Integreerime liikmete kaupa:

$$\int 3x^2\,dx=x^3,$$

$$\int -4x\,dx=-2x^2,$$

$$\int 5\,dx=5x.$$

$$\int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C.$$

Seosed

Algfunktsioon valmistab ette määratud integraali. Järgmises peatükis kasutatakse algfunktsiooni väärtuste vahet, et leida arvuline pindala või kogunenud suurus.

Määratud integraal ja pindala

Mõiste

Määratud integraal

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

kirjeldab kogunenud muutust vahemikus $[a;b]$. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Kui graafik on teljest ülalpool, on panus positiivne. Kui graafik on teljest allpool, on panus negatiivne.

Valemid ja tingimused

Kui $F'(x)=f(x)$, siis

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

See on arv. Määratud integraali vastusesse ei lisata +C, sest rajad $a$ ja $b$ fikseerivad tulemuse.

Sama valemit kirjutatakse lühendina nii:

$$\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b.$$

Näide

Leia pindala graafiku $y=2x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [0;3].

Kuna vahemikus [0;3] on $2x\ge0$, on integraal sama mis pindala:

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=3^2-0^2=9.$$

Seosed

Määratud integraal seob algfunktsiooni arvulise tulemuse ja graafilise pindala. Järgmine moodul laiendab sama mõtte kahe graafiku vahelisele pindalale ja pöördkeha ruumalale.

Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala

Mõiste

Kahe graafiku vahelise pindala leidmiseks lahuta ülemise funktsiooni väärtusest alumise funktsiooni väärtus. Rajad leitakse lõikepunktidest või antakse ülesandes.

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

Valemid ja tingimused

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

$$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$

Funktsiooni $f(x)\ge0$ graafiku pööramisel ümber $x$-telje saadud keha ruumala on

$$V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx.$$

Kui ristlõikes on välimine raadius $R(x)$ ja sisemine raadius $r(x)$, siis

$$V=\pi\int_a^b\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx.$$

Näide

Leia graafikute $y=2x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.

Lõikepunktid saad võrrandist $2x=x^2$, seega $x=0$ ja $x=2$. Vahemikus [0;2] on $2x\ge x^2$.

Seosed

See moodul ühendab integraali tasandigeomeetria ja ruumalaga. Järgmine moodul kasutab sama kogunemise mõtet liikumise, tootmise, voolu ja töö mudelites.

Integraali rakendused

Mõiste

Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Rakenduse tähenduse otsustavad küsimus ja ühikud: integraal võib anda nihke, teepikkuse, koguse või pindala.

Valemid ja tingimused

Kui $F'(x)=f(x)$, siis määratud integraal on arv:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Kui kiirus võib olla negatiivne, tuleb eristada:

$$\text{nihe}=\int_a^b v(t)\,dt,$$

$$\text{teepikkus}=\int_a^b |v(t)|\,dt.$$

Näide

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=9.$$

Näiteks kui keha kiirus on

$$v(t)=2t$$

meetrit sekundis ja aeg $t$ on sekundites, siis vahemikus [0;3] läbitud teepikkus on

$$\int_0^3 2t\,dt=9\text{ m}.$$

Seosed

Integraali rakendustes muutub määratud integraal mudeli vastuseks. See peatükk kasutab eelneva määratud integraali peatüki arvutusvõtteid ning viib edasi modelleerimise juurde: mida funktsioon mõõdab, mis on rajad ja millises ühikus vastus tuleb.

Mis on tõestus?

Mõiste

Tõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.

Tõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.

Valemid ja tingimused

• Otsene tõestus alustab eeldusest $P$ ja jõuab järjest põhjendatud sammudega järelduseni $Q$.
• Väite $P\Rightarrow Q$ võib tõestada ka samaväärse suuna $\neg Q\Rightarrow\neg P$ kaudu.
• Vastuväiteline tõestus eeldab tõestatava väite eitust ja jõuab vastuoluni.
• Vastuväide näitab, et üldväide ei saa olla tõene.
• Üksik näide võib väite ümber lükata, kuid ei tõesta väidet kõigi juhtude kohta.

Näide

Väide: kui täisarv $n$ jagub 4-ga, siis $n$ on paarisarv.

Otsene tõestus: kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et

$$n=4k.$$

Aga

$$4k=2(2k).$$

Kuna $2k$ on täisarv, saab $n$ kirjutada kujul $2\cdot\text{täisarv}$. Seega $n$ on paarisarv.

Seosed

See leht valmistab ette loogika, hulkade, geomeetrilise tõestamise, induktsiooni ja algoritmide korrektsuse peatükke. Küsimus ei ole ainult "mis vastus tuli?", vaid "miks see vastus peab alati nii tulema?".

Loogika, hulgad ja tõestus

Mõiste

Loogikas kontrollime, kas järeldus tuleb eeldustest päriselt välja. Hulk on objektide kogum. Tõestus näitab, miks väide kehtib kõigil lubatud juhtudel.

Valemid ja tingimused

$$P\Rightarrow Q$$

tähendab: kui eeldus $P$ kehtib, siis järeldus $Q$ peab kehtima.

$$4\mid n\Rightarrow 2\mid n.$$

Vastupidine suund ei pruugi kehtida:

$$2\mid n\not\Rightarrow 4\mid n,$$

sest $6$ jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

$$P\Leftrightarrow Q$$

tähendab, et mõlemad suunad kehtivad: $P\Rightarrow Q$ ja $Q\Rightarrow P$.

Hulkade põhitähised on $x\in A$, $A\subseteq B$, ühend $A\cup B$ ja ühisosa $A\cap B$.

Näide

Kui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga. Vastupidine väide ei kehti: 6 jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

Hulkade näide:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

Kui $x\in\mathbb{N}$, siis kindlasti $x\in\mathbb{Z}$. Vastupidine ei kehti: $-3\in\mathbb{Z}$, aga $-3\notin\mathbb{N}$, kui naturaalarvud algavad 1-st.

Seosed

Loogika on tõestuste, võrratuste, funktsioonide omaduste ja kõrgema matemaatika alus. Järgmine matemaatilise induktsiooni peatükk kasutab loogilist järeldamist lõpmatu hulga väidete tõestamiseks.

Matemaatiline induktsioon

Mõiste

Matemaatiline induktsioon on tõestusviis väidetele, mis sõltuvad naturaalarvust $n$.

Intuitsioon on nagu doominorida:

• esimene doomino kukub;
• iga doomino lükkab järgmise ümber.

Kui mõlemad tingimused kehtivad, kukuvad kõik doominod. Induktsioonis tähendab see:

• väide kehtib esimese $n$ väärtuse jaoks;
• kui väide kehtib mingi $n$ jaoks, siis kehtib see ka $n+1$ jaoks.

Valemid ja tingimused

1. Baassamm: tõesta väide esimese väärtuse jaoks.
2. Induktsioonisamm: eelda, et väide kehtib $n$ korral, ja tõesta, et siis kehtib see $n+1$ korral.

Kui väidet tähistada $P(n)$, siis tõestuse kuju on:

$$P(1)\quad\text{ja}\quad P(n)\Rightarrow P(n+1).$$

Näide

Väide:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Baassamm $n=1$:

$$1=\frac{1\cdot2}{2}.$$

Baassamm kehtib.

Induktsioonieeldus: oletame, et mingi naturaalarvu $n$ korral kehtib

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Siis

$$S_{n+1}=1+2+\cdots+n+(n+1).$$

Induktsioonieelduse abil:

$$\begin{aligned} S_{n+1} &=\frac{n(n+1)}2+(n+1)\\ &=\frac{(n+1)(n+2)}2. \end{aligned}$$

See on sama valem $n+1$ korral, seega väide kehtib kõigi $n\in\mathbb N$ jaoks.

Seosed

Induktsioon toetub loogilisele järeldusele ja on lähedane rekursioonile: rekursioon arvutab järgmise väärtuse varasemate põhjal, induktsioon tõestab järgmise juhu varasema põhjal. Järgmine peatükk kasutab sama mõtet algoritmide ja rekursiivsete kirjelduste juures.

Algoritmid ja rekursioon

Mõiste

Algoritm on täpne sammude jada probleemi lahendamiseks. Rekursioon tähendab, et objekt või arvutus määratletakse eelmiste väärtuste kaudu.

Hea algoritm kirjeldab:

• sisendit: millised andmed antakse;
• samme: mida nendega tehakse;
• väljundit: mis tulemus saadakse;
• lõpetamistingimust: millal töö lõpeb.

Valemid ja tingimused

Fibonacci jada:

$$F_1=1,\qquad F_2=1,$$

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.$$

Siin on peatustingimused $F_1=1$ ja $F_2=1$. Ilma nendeta ei teaks, kust arvutamist alustada.

Rekursioonis peab iga samm liikuma lihtsama juhu poole: $F_6$ vajab $F_5$ ja $F_4$, need vajavad veel varasemaid liikmeid, kuni jõutakse väärtusteni $F_1$ ja $F_2$.

Näide

Leia $F_6$.

Alustame teadaolevatest algväärtustest:

$$F_1=1,\quad F_2=1.$$

Seejärel kasutame reeglit $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$:

$$F_3=F_2+F_1=1+1=2,$$

$$F_4=F_3+F_2=2+1=3,$$

$$F_5=F_4+F_3=3+2=5,$$

$$F_6=F_5+F_4=5+3=8.$$

Seosed

Algoritmid seovad matemaatika informaatika, tõestuste, jadade ja modelleerimisega. Järgmine modelleerimise plokk kasutab sama mõtet: päris olukord tuleb muuta selgete sisendite, reeglite ja väljundiga matemaatiliseks mudeliks.

Probleemilahendus ja mudelid

Mõiste

Matemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.

Mudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.

Valemid ja tingimused

1. Määra muutujad ja nende ühikud.
2. Sõnasta eeldused ning seos muutujate vahel.
3. Arvuta või lahenda võrrand.
4. Tõlgenda vastus algses olukorras.
5. Kontrolli ühikuid, suurusjärku ja mudeli sobivust.

Lineaarse mudeli põhikuju on $y=ax+b$, kus $a$ on muutumiskiirus ja $b$ algväärtus.

Näide

Kui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis

$$y=3x+4.$$

Siin $x$ on sisend ehk tunnid ja $y$ on väljund ehk hind eurodes.

Kui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi

$$3x+4=19.$$

Saame $3x=15$ ja $x=5$. Vastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi. Kontroll: $3\cdot5+4=19$.

Seosed

Modelleerimine ühendab arvud, algebra, funktsioonid, geomeetria, statistika ja analüüsi. Järgmine peatükk tugevdab mudeli kontrolli: ühikud ja suurusjärk näitavad, kas vastus on päriselus võimalik ja mõistlik.

Hinnangud ja ühikuanalüüs

Mõiste

Hinnang aitab kontrollida, kas vastus on mõistlik. Ühikuanalüüs kontrollib, kas valem annab otsitava suuruse.

Hinnangus ei otsita alati täpset vastust. Sageli piisab suurusjärgust: kas vastus on umbes 10, 100, 1000 või miljon?

Valemid ja tingimused

$$v=\frac{s}{t}$$

on teepikkuse ühik meetrites ja aja ühik sekundites:

$$\frac{\text{m}}{\text{s}}=\text{m/s}.$$

Näide

Kui sõita 120 km kiirusega 60 km/h, siis aeg on

$$t=\frac{s}{v}=\frac{120\text{ km}}{60\text{ km/h}}=2\text{ h}.$$

Ühikud kinnitavad, et vastus on aeg.

Peastarvutuse hinnang:

$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000.$$

Täpne väärtus on 1029, seega hinnang oli mõistlik.

Seosed

Hinnang ja ühikuanalüüs on modelleerimise kvaliteedikontroll. Järgmises finantsmatemaatika peatükis aitavad need märgata, kas intress, protsent ja rahaühik on õigesti tõlgendatud.

Finantsmatemaatika

Mõiste

Finantsmatemaatika kasutab protsente, astmeid ja funktsioone raha ajas muutumise kirjeldamiseks.

Finantsülesandes tuleb eristada algsummat, intressimäära, aega, maksete arvu ja kogukulu.

Kontrolli enne arvutust ajasammu: aastaintress käib aastate, kuuintress kuude kohta.

Valemid ja tingimused

Lihtintressi korral on intress ja lõppsumma

$$I=Prt,\qquad A=P+I=P(1+rt).$$

Siin $P$ on algsumma, $r$ perioodi intressimäär ja $t$ perioodide arv.

Liitintressi korral on lõppsumma

$$A=P(1+r)^t.$$

Valemis peavad $r$ ja $t$ olema samas ajasammus: kui $r$ on aastaintress, siis $t$ on aastate arv.

Näide

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas liitintressiga 3 aastat, siis

$$A=1000\cdot1,05^3\approx1157,63.$$

Lihtintressiga oleks sama olukord:

$$A=1000(1+0,05\cdot3)=1150.$$

Kolme aasta jooksul on vahe väike, kuid pikema aja jooksul liitintressi mõju suureneb.

Seosed

Finantsmatemaatika kasutab protsente, funktsioone, hinnanguid ja ühikuanalüüsi. Sama mudelipõhine mõtlemine aitab võrrelda pakkumisi, laene ja säästmist: kirjuta eeldused välja ning kontrolli kogukulu.