Kümnendsüsteem ja ümardamine

Tuum

Kümnendsüsteemis sõltub numbri väärtus tema järgust ehk kohast. Arvus $583\ 407$ annab tuhandeliste järgu number $3$ järkarvu $3\cdot1000=3000$:

$$\text{kordaja}\cdot\text{järguühik}=\text{järkarv}.$$

$$583\ 407=500\ 000+80\ 000+3000+400+7.$$

Valemid ja tingimused

Olgu $d$ ümardamiskohale järgnev number. Kui $0\le d\le4$, jääb ümardamiskoha number samaks. Kui $5\le d\le9$, suureneb see ühe võrra. Arvuta esmalt täpse väärtusega ja ümarda alles lõpus.

Kiirnäide

Arv 38,746 ümardatuna sajandikeni on 38,75, sest kolmas kümnendkoht on 6.

Arv 5827 ümardatuna kümnelisteni on 5830, sest üheliste number on 7.

Raha puhul on sajandikud sendid. Kui ostukorvi hind on $12,476$ eurot, siis sentideni ümardatult on hind $12,48$ eurot, sest kolmas kümnendkoht on 6.

Naturaalarvud ja tehted

Tuum

Naturaalarvud on loendamise arvud: 1, 2, 3, 4 ja nii edasi. Kui ülesandes on vaja lugeda ka tühja hulka, kasutatakse ka arvu 0. Siis kirjutatakse mõnikord $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$.

Valemid ja tingimused

Kui avaldises on mitu tehet, tehakse need kindlas järjekorras:

1. sulud;
2. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
3. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Lühidalt:

$$\text{sulud}\rightarrow\text{korrutamine ja jagamine}\rightarrow\text{liitmine ja lahutamine}.$$

Võid mõelda nii:

1. Kas avaldises on sulud? Kui jah, arvuta kõigepealt sulgudes olev osa.
2. Kas alles on korrutamist või jagamist? Arvuta need vasakult paremale.
3. Kas alles on liitmist või lahutamist? Arvuta need vasakult paremale.

Kiirnäide

Kui klassis on 4 rida ja igas reas 6 tooli, siis toolide arv on

$$4\cdot6=24.$$

Avaldises

$$8+3\cdot5$$

tehakse enne korrutamine:

$$8+3\cdot5=8+15=23.$$

Kui tahame enne liita, tuleb kasutada sulge:

$$(8+3)\cdot5=11\cdot5=55.$$

Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur

Tuum

Arv $a$ jagub arvuga $b$, kui jagamisel jääki ei teki. Algarv on ühest suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga.

Valemid ja tingimused

• 2-ga: viimane number on paaris.
• 3-ga: ristsumma jagub 3-ga.
• 4-ga: kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga.
• 5-ga: viimane number on 0 või 5.
• 6-ga: arv jagub 2-ga ja 3-ga.
• 9-ga: ristsumma jagub 9-ga.
• 10-ga: viimane number on 0.

$$84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7.$$

Kiirnäide

Arvud 24 ja 36:

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2.$$

Ühised tegurid annavad

$$SÜT(24,36)=2^2\cdot3=12.$$

Vähima ühiskordse jaoks võtame kõik algtegurid suurima astmega:

$$VÜK(24,36)=2^3\cdot3^2=72.$$

Murrud ja kümnendmurrud

Tuum

Murd $\frac ab$ tähendab jagatist $a:b$: $a$ on lugeja ja $b$ nimetaja. Nimetaja $b\ne0$, sest nulliga ei saa jagada. Samaväärsed murrud tähistavad sama arvu, näiteks $\frac12=\frac24=0{,}5$.

Valemid ja tingimused

$$\frac ab=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\qquad k\ne0$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\qquad b,d\ne0$$

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},\qquad b,d\ne0$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc},\qquad b,d,c\ne0$$

Kümnendkuju saamiseks jaga lugeja nimetajaga. Erinimelised murrud vii liitmiseks, lahutamiseks või mugavaks võrdlemiseks ühisele nimetajale. Jagamisel peab jagaja olema nullist erinev.

Kiirnäide

$$\frac23+\frac16=\frac46+\frac16=\frac56.$$

Negatiivsed arvud

Tuum

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad arvud. Arvteljel asuvad nad nullist vasakul.

Enne märgireegli kasutamist ütle, mida miinus selles olukorras tähendab: võlga, langust, vastassuunda või nullist väiksemat arvu.

Vastandarvud asuvad nullist sama kaugel, aga eri pooltel. Näiteks $5$ ja $-5$ on vastandarvud.

Valemid ja tingimused

Korrutamisel ja jagamisel annavad samad märgid positiivse ning erinevad märgid negatiivse vastuse:

$$ (+)\cdot(+)=+,\quad (-)\cdot(-)=+,\quad (+)\cdot(-)=-. $$

Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist:

$$a-b=a+(-b).$$

Sulgude avamisel:

$$+(a-b)=a-b$$

$$-(a-b)=-a+b.$$

Kiirnäide

$$-4+9=5.$$

Arvteljel tähendab see: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu paremale. Jõuad arvuni $5$.

$$-4-9=-13.$$

See tähendab: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu vasakule. Jõuad arvuni $-13$.

$$(-4)\cdot(-9)=36.$$

Tehted ratsionaalarvudega

Tuum

Ratsionaalarv on arv, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena

$$\frac ab,\qquad b\ne0.$$

Ratsionaalarv võib olla positiivne, negatiivne või null. Näiteks $-\frac34$, $1,2$ ja $-5$ on ratsionaalarvud, sest

$$1,2=\frac65,\qquad -5=\frac{-5}{1}.$$

Valemid ja tingimused

Tehete järjekord on:

1. sulud;
2. astendamine;
3. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
4. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Murdude liitmine ja jagamine:

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,\qquad c\ne0.$$

Kiirnäide

Arvutame eri nimetajatega negatiivsete murdude summa:

$$-\frac34+\frac56=-\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac1{12}.$$

Jagame kümnendmurde:

$$-1,2:0,3=-4.$$

Segaarvuga avaldises teisendame kõigepealt segaarvu liigmurruks:

$$1\frac12-\frac23=\frac32-\frac23=\frac56.$$

Protsendid, suhted ja võrded

Tuum

Protsent on sajandik: $1\%=0,01=\frac1{100}$. Protsendiülesandes määra alati esmalt tervik ehk $100\%$. Suhe võrdleb suurusi ja võrre ütleb, et kaks suhet on võrdsed.

$100\%=1$ ja $40\%=\frac{40}{100}=0,4$.

Valemid ja tingimused

$p\%$ arvust $A$:

$$A\cdot\frac p{100}.$$

Kasv $p\%$: $A\left(1+\frac p{100}\right)$. Langus $p\%$: $A\left(1-\frac p{100}\right)$.

Muutus algväärtuse $A$ suhtes:

$$\frac{\text{uus}-A}{A}\cdot100\%,\qquad A\ne0.$$

Võrdes $\frac ab=\frac cd$ kehtib $ad=bc$, kui $b,d\ne0$.

Kiirnäide

80-eurose eseme hind tõuseb 15%. Uus hind on $100\%+15\%=115\%$ senisest hinnast, seega on korrutustegur $1,15$:

$$80\cdot1,15=92\text{ eurot}.$$

Astmed, juured ja standardkuju

Tuum

Astendamine lühendab võrdsete tegurite korrutist: $3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$. Positiivne täisarvuline astendaja näitab tegurite arvu: astmes $a^n$ on $n$ tegurit $a$. Astendajaga 1 on $a^1=a$; nulli ja negatiivse astendaja jaoks on eraldi reeglid.

Ruutjuurimine küsib: milline null või positiivne arv annab iseendaga korrutades juurealuse arvu? $\sqrt9=3$, sest $3\cdot3=9$. Ka $\sqrt0=0$. Reaalarvude hulgas saab ruutjuurt leida ainult siis, kui juurealune arv on vähemalt null.

Valemid ja tingimused

Sama alusega astmete korrutamisel astendajad liidetakse: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, näiteks $2^3\cdot2^4=2^7$.

Sama alusega astmete jagamisel astendajad lahutatakse: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, kui $a\ne0$; näiteks $\frac{5^6}{5^2}=5^4$.

Astme astendamisel astendajad korrutatakse: $(a^m)^n=a^{mn}$, näiteks $(3^2)^4=3^8$.

Korrutise astendamisel astendatakse mõlemad tegurid: $(ab)^n=a^n b^n$, näiteks $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3$.

Kiirnäide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Arvuhulgad ja reaalarvud

Tuum

Arvuhulk on arvude rühm ja sama arv võib kuuluda mitmesse hulka korraga. Põhihulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.$$

Reaalarvude hulka kuuluvad nii ratsionaalarvud kui ka irratsionaalarvud, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Valemid ja tingimused

• $\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
• $\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Lisajoonised

Kiirnäide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Ruutjuur ja juuravaldised

Tuum

Ruutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral. $\sqrt9=3$, sest $3\cdot3=9$; samuti $\sqrt0=0$. Ruutjuure märk annab ühe nulli või positiivse arvu, mitte kahte vastust. Reaalarvude hulgas on $\sqrt a$ määratud siis, kui $a\ge0$.

Valemid ja tingimused

Kui $a,b\ge0$, siis $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$. Jagatise puhul peab lisaks olema $b>0$:

$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

Iga reaalarvu $x$ korral kehtib $\sqrt{x^2}=|x|$.

Kiirnäide

Lihtsustame ja hindame avaldist $\sqrt{72}$.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$$

Sajandikeni ümardamiseks säilitame vahearvutuses rohkem kümnendkohti:

$$6\sqrt2=8,485281\ldots\approx8,49.$$

n-es juur ja ratsionaalarvuline aste

Tuum

Arvu $a$ n-es juur on arv, mille $n$-s aste on $a$. Seda märgitakse $\sqrt[n]{a}$.

• Kui $n$ on paarisarv, peab reaalarvulise juure korral olema $a\ge 0$ ning $\sqrt[n]{a}$ tähistab mittenegatiivset peajuurt.
• Kui $n$ on paaritu, võib $a$ olla ka negatiivne: $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Valemid ja tingimused

Kui avaldised on reaalarvude hulgas määratud, siis

$$a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m,\qquad a^{-r}=\frac1{a^r}\quad(a\ne0).$$

Paarisarvulise juure korral peab juuritav olema mittenegatiivne. Paaritu juur võib olla ka negatiivsest arvust.

Kiirnäide

Arvutame

$$32^{\frac35}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8.$$

Negatiivne astendaja annab pöördarvu:

Lihtsustame avaldise:

$$\sqrt[4]{81x^4}=\sqrt[4]{3^4x^4}=3|x|.$$

Ühikud ja mõõtmine

Tuum

Mõõtmine tähendab võrdlemist kindla ühikuga. Kui laud on 2 meetrit pikk, mahub meetripikkune lõik laua pikkusesse kaks korda.

Valemid ja tingimused

$1\text{ km}=1000\text{ m}$, $1\text{ m}=100\text{ cm}$, $1\text{ cm}=10\text{ mm}$.

$1\text{ kg}=1000\text{ g}$, $1\text{ t}=1000\text{ kg}$.

$1\text{ h}=60\text{ min}$, $1\text{ min}=60\text{ s}$.

$1\text{ l}=1000\text{ ml}$, $1\text{ dm}^3=1\text{ l}$.

Kiirnäide

3,4 km meetrites:

$$3,4\cdot1000=3400\text{ m}.$$

0,75 kg grammides:

$$0,75\cdot1000=750\text{ g}.$$

2,5 m² ruutsentimeetrites:

$$2,5\text{ m}^2=2,5\cdot10\,000=25\,000\text{ cm}^2.$$

Pindala ja ruumala

Tuum

Pindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.

Valemid ja tingimused

Ristkülikul $S=ab$, kolmnurgal $S=\frac{ah}{2}$ ja ringil $S=\pi r^2$. Prisma ruumala on $V=S_ph$; risttahukal seega $V=abc$. Pindala kasutab ruutühikut ja ruumala kuupühikut.

Risttahuka täispindala on $S=2(ab+ac+bc)$: igat tahupaari on kaks.

Lisajoonised

Kiirnäide

Ristküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on

$$S=4\cdot7=28\text{ cm}^2.$$

Kui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis

$$V=2\cdot3\cdot5=30\text{ cm}^3.$$

Sama risttahuka täispindala on

$$S=2(2\cdot3+2\cdot5+3\cdot5)=2(6+10+15)=62\text{ cm}^2.$$

Püstprisma

Tuum

Prismal on kaks võrdset ja paralleelset põhitahku. Püstprisma külgservad on põhitahkudega risti ning külgtahud on ristkülikud.

Prisma nimi tuleb põhja kujust:

• kolmnurkse püstprisma põhitahud on kolmnurgad;
• nelinurkse püstprisma põhitahud on nelinurgad.

Prisma tähtsad osad on põhitahud, külgtahud, põhiservad, külgservad, tipud ja kõrgus. Püstprisma kõrgus on kahe põhitahu vaheline kaugus ning võrdub külgserva pikkusega.

Joonisel ühendavad kaks võrdset kolmnurkset põhitahku kolm ristkülikukujulist külgtahku.

Valemid ja tingimused

Kui põhja pindala on $S_p$, põhja ümbermõõt $P_p$ ja prisma kõrgus $h$, siis

$$V=S_ph,$$

$$S_{\text{külg}}=P_ph,$$

$$S_{\text{täis}}=2S_p+P_ph.$$

Kiirnäide

Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 12 cm², põhja ümbermõõt 16 cm ja prisma kõrgus 10 cm.

Ruumala on

$$V=12\cdot10=120\text{ cm}^3.$$

Külgpindala on

$$S_{\text{külg}}=16\cdot10=160\text{ cm}^2.$$

Täispindala on

$$S_{\text{täis}}=2\cdot12+160=184\text{ cm}^2.$$

Mõõtkava ja proportsioon

Tuum

Mõõtkava näitab, mitu korda on joonis tegelikkusest väiksem või suurem. 1 : 50 000 tähendab, et 1 cm kaardil vastab 50 000 cm tegelikkuses.

Mõõtkava on suhe:

$$\frac{\text{joonisel}}{\text{tegelikkuses}}=\frac1{50\,000}.$$

Valemid ja tingimused

Mõõtkavas $1:n$ kehtib

$$\frac{\text{joonise pikkus}}{\text{tegelik pikkus}}=\frac1n.$$

Enne suhte moodustamist teisenda pikkused samasse ühikusse. Pikkused muutuvad teguriga $n$, pindalad teguriga $n^2$ ja ruumalad teguriga $n^3$, sest ruumala sõltub kolmest mõõtmest.

Kiirnäide

Kui kaardil on vahemaa 4 cm ja mõõtkava on 1 : 25 000, siis tegelik vahemaa on

$$4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}=1\text{ km}.$$

Proportsioonina:

$$\frac{1}{25\,000}=\frac{4}{x}.$$

Ristkorrutis annab

$$x=4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}.$$

Punkt, sirge ja nurk

Tuum

Punkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.

Nurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.

Enne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.

Valemid ja tingimused

Täisnurk on $90^\circ$, sirgnurk $180^\circ$ ja täispööre $360^\circ$. Kõrvunurkade summa on $180^\circ$; tippnurgad on võrdsed. Teravnurk on väiksem kui $90^\circ$, nürinurk aga suurem kui $90^\circ$ ja väiksem kui $180^\circ$.

Lisajoonised

Kiirnäide

Kui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\circ$, siis teine on

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ.$$

Kui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on $42^\circ$, siis tema tippnurk on samuti $42^\circ$.

Pane tähele

Joonis võib olla ebatäpne. Geomeetrias tuleb lähtuda antud andmetest, mitte ainult sellest, kuidas pilt paistab.

Näide. Antud on $\angle COB=60^\circ$. Joonisel paistab see umbes $30^\circ$, kuid kõrvunurga leidmiseks kasuta antud suurust: $x=180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Pildi järgi saadud $150^\circ$ oleks vale.

Teine tüüpviga on kõrvunurki ja tippnurki segi ajada. Kõrvunurgad liituvad $180^\circ$-ks, tippnurgad on omavahel võrdsed.

Kolmnurgad ja nelinurgad

Tuum

Kolmnurgal on kolm külge ja kolm nurka, nelinurgal neli külge ja neli nurka. Kolm pikkust moodustavad kolmnurga ainult siis, kui kahe lühema külje summa on pikemast küljest suurem.

Joonistel on kõrvuti kujundite põhitunnused, mille järgi neid liigitada.

Valemid ja tingimused

Kolmnurga nurkade summa on $180^\circ$, nelinurga nurkade summa $360^\circ$ ning kumera $n$-nurga sisenurkade summa

$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Kolmnurga pindala on $S=\frac{ah}{2}$; kõrgus $h$ peab olema alusega $a$ risti.

Rööpkülikul ja rombil on $S=ah$. Rombil kehtib ka $S=\frac{d_1d_2}{2}$.

Pindalad joonistega

Joonised selgitavad pindalavalemeid; kujundite liigitus on eraldi ülal.

Kiirnäide

Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:

$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$

Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on

$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$

Ring ja sümmeetria

Tuum

Ringjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.

Ring sisaldab ka sisemust. Joonisel on ringi sisemus värvitud, ringjoon on selle piir.

Valemid ja tingimused

Ringjoone pikkus:

$$C=2\pi r=\pi d.$$

Ringi pindala:

$$S=\pi r^2.$$

Ringjoone pikkus mõõdab piirjoont, pindala kogu ringi pinda.

Kui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit $C=\pi d$.

Lisajoonised

Kiirnäide

Kui $r=5$, siis

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78,5.$$

Ringjoone pikkus sama raadiusega on

$$C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31,4.$$

Kui diameeter on $12$, siis raadius on

$$r=\frac{12}{2}=6.$$

Teisendused ja sümmeetria

Tuum

Geomeetriline teisendus viib kujundi punktid uutesse asukohtadesse. Olulised teisendused on lüke, peegeldus, pööre ja homoteetsus.

Mapiku soovitus: 8. klass. Lihtsaid sümmeetriaid korratakse varasemast. Homoteetsus on siin sarnasuse lisateema: kindla keskpunkti suhtes suurendamine või vähendamine positiivse teguriga.

Teisendused joonistel

Lükke puhul liigub iga punkt sama palju ja samas suunas.

Valemid ja tingimused

Peegeldus $x$-telje suhtes: $(x;y)\mapsto(x;-y)$.

Peegeldus $y$-telje suhtes: $(x;y)\mapsto(-x;y)$.

Lüke vektoriga (4;1): $(x;y)\mapsto(x+4;y+1)$.

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti: $(x;y)\mapsto(-y;x)$.

Homoteetsus teguriga $2$ alguspunkti suhtes: $(x;y)\mapsto(2x;2y)$.

Kiirnäide

Punkt (3; -2) peegeldub $x$-telje suhtes punktiks (3; 2).

Lüke vektoriga (-3;4):

$$(2;5)\mapsto(2-3;5+4)=(-1;9).$$

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:

$$(3;2)\mapsto(-2;3).$$

Homoteetsus teguriga $2$ alguspunkti suhtes:

$$(3;2)\mapsto(6;4).$$

Tabelid, diagrammid ja keskmised

Tuum

Statistika korrastab ja võtab kokku andmeid. Sagedus näitab esinemiskordade arvu, aritmeetiline keskmine tasakaalupunkti, mediaan järjestatud andmete keskkohta ning mood kõige sagedasemat väärtust.

Üks pakk kaalub 1 kg ja teine 2 kg. Kokku on 3 kg ning pakke on kaks: keskmine mass on $(1+2)/2=1,5$ kg.

Valemid ja tingimused

$$\text{aritmeetiline keskmine}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},\qquad n>0.$$

Mediaani leidmiseks järjesta andmed. Paaritu arvu väärtuste korral võta keskmine väärtus; paarisarvu korral kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine.

Suhteline sagedus:

$$\frac{\text{sagedus}}{\text{kõigi vaatluste arv}}.$$

Kiirnäide

Andmed $2, 4, 4, 5, 10$ annavad keskmise $5$, mediaani $4$ ja moodi $4$.

Sama andmestik tabelis ja diagrammil

Tabel. Veerud: Väärtus, 2, 4, 5, 10

Väärtus	2	4	5	10
Sagedus	1	2	1	1

Tulpdiagramm võrdleb sagedusi. Joondiagramm sobib muutuseks ajas, sektordiagramm terviku osadeks.

Sageduste summa on viis ehk vaatluste arv.

Tõenäosuse alused

Tuum

Tõenäosus näitab sündmuse toimumise võimalust. See on arv vahemikus 0 kuni 1.

„Soodne tulemus” tähendab tulemust, mille korral uuritav sündmus toimub, mitte tingimata head tulemust. Ka kaotuse tõenäosust arvutades loendame kaotusele vastavaid tulemusi.

Valemid ja tingimused

Kui katsel on lõplik arv võrdvõimalikke tulemusi, siis

$$P(A)=\frac{\text{soodsate tulemuste arv}}{\text{kõikide tulemuste arv}}.$$

Kindel sündmus on tõenäosusega $1$. Võimatu sündmus on tõenäosusega $0$.

$$0\le P(A)\le1.$$

Tõenäosus on mudeli järgi oodatav osa. Suhteline sagedus on päris katse tulemus: kui sündmus toimus 30 katsest 12 korda, siis suhteline sagedus on $\frac{12}{30}=0,4$. Paljude katsete korral võib see anda hinnangu tõenäosusele, kuid väheste katsete puhul võib juhus palju kõikuda.

Kiirnäide

Aus münt annab kulli või kirja, kumbki tõenäosusega $\frac12$. Ausa kuue küljega täringu kõik tulemused 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 on võrdvõimalikud.

Iga kord jagame sündmusele vastavate tulemuste arvu kõigi kuue tulemuse arvuga.

Kombinatoorika

Tuum

Kombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.

Enne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.

Valemid ja tingimused

Kolm erinevat raamatut A, B ja C saab ritta panna kuuel viisil:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Esimesele kohale on 3 valikut, teisele 2 ja viimasele 1: $3\cdot2\cdot1=6$. See on permutatsioon ehk kõigi esemete järjestus; üldiselt on neid $n!$.

Valides viiest erinevast raamatust kaks ilma kordusteta:

• järjekorraga (variatsioon): esimene raamat 5 viisil, teine 4 viisil, kokku $5\cdot4=20$;
• järjekorrata (kombinatsioon): AB ja BA on sama valik, mistõttu jagame kahega: $20/2=10$.

Üldvalemid valiku jaoks, kus $0\le k\le n$ on täisarvud ja kordusi pole: järjekorraga $\frac{n!}{(n-k)!}$, järjekorrata $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; $0!=1$.

Kiirnäide

Raamatute A, B, C, D ja E kahe kaupa valikud on AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Valem $\binom52=10$ kirjeldab sama loendust.

Kaks täringut: paar või summa?

Eristame esimest ja teist ausat täringut. Tulemus $(1;2)$ erineb tulemusest $(2;1)$: koordinaattasandil oleksid need eri punktid. Paare on $6\cdot6=36$.

Kui järjekord ei loe, ühendame paarid $(1;2)$ ja $(2;1)$ jne. Võrdseid paare $(1;1)$ kuni $(6;6)$ on 6; teisi on $30/2=15$. Kokku 21 paaritüüpi.

Võimalikke summasid on 11, arvud 2 kuni 12. Summa 7 tuleb kuuel viisil, summa 2 ühel viisil.

Sõltumatute ausate täringute 36 järjestatud paari on võrdvõimalikud, kuid 21 paaritüüpi ega 11 summat seda ei ole.

Hajuvus ja jaotused

Tuum

Hajuvus kirjeldab väärtuste laialiolekut: hinded 4; 4; 5 on koos, aga 1; 4; 5 hajusamad.

Keskmine näitab tüüpilist taset, hajuvus väärtuste kõikumist selle ümber.

Valemid ja tingimused

Ulatus on suurima ja vähima väärtuse vahe:

$$R=x_{\max}-x_{\min}.$$

Kvartiilid $Q_1$, $Q_2$ (mediaan) ja $Q_3$ märgivad järjestatud andmete neljaks osaks jaotamise piire; kvartiilhaare on $Q_3-Q_1$. Standardhälve mõõdab väärtuste tüüpilist kaugust keskmisest.

Mediaan on paaritu arvu vaatluste korral keskmine väärtus, paarisarvu korral kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine.

Kvartiilide kokkulepe siin: leia alumise ja ülemise poole mediaan. Paaritu arvu vaatluste korral jäta kogu andmestiku mediaan pooltest välja. Tarkvara võib kasutada teistsugust kokkulepet.

Kiirnäide

Andmete 3, 4, 8, 10 ulatus on

$$10-3=7.$$

Andmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Mediaan on $7$. Alumine pool on 2, 3, 5, seega

$$Q_1=3.$$

Ülemine pool on 11, 13, 17, seega

$$Q_3=13.$$

Andmetel 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 on mediaan $(4+5)/2=4,5$, $Q_1=2,5$ ja $Q_3=6,5$. Mediaan ei pea andmetes esinema.

Kui lisada 9, on mediaan 5. Poolte 1; 2; 3; 4 ja 6; 7; 8; 9 mediaanid annavad $Q_1=2,5$ ja $Q_3=7,5$.

Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Tuum

Tõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.

Ühend $A\cup B$ tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus. Ühisosa $A\cap B$ tähendab, et toimuvad mõlemad.

Sündmused hulgajoonistel

Joonis näitab kuuluvust, mitte tõenäosuse arvväärtust: piirkonna pindala ei pea olema tõenäosusega võrdeline.

Täiendsündmus $\overline A$ tähendab, et $A$ ei toimu; vahe $A\setminus B$, et toimub $A$, aga mitte $B$.

Valemid ja tingimused

$P(\overline A)=1-P(A)$ ning $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$.

kus $P(A)>0$ ning $P(B\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.

Lisajoonised

Kiirnäide

Ausat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:

Kui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.

Muutuja ja avaldis

Tuum

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Valemid ja tingimused

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Kiirnäide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Kui $x=-2$ ja $y=5$, siis

$$3x^2-2y+4=3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=6.$$

Võrrandid ja võrratused

Tuum

Võrrandi lahend teeb võrduse tõeseks. Võrratuse lahend on tavaliselt arvude piirkond. Võrrandi või võrratuse mõlemal poolel võib teha sama lubatud tehte.

Valemid ja tingimused

Lineaarvõrrand:

$$ax+b=c,\qquad a\ne0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{c-b}{a}.$$

Võrratuse liitmisel või lahutamisel märk ei muutu. Negatiivse arvuga korrutamisel või jagamisel pöördub võrratuse märk:

$$-2x<6 \quad\Longrightarrow\quad x>-3.$$

Kontrolli võrrandi lahendit algsesse võrrandisse asendades.

Kiirnäide

$$3x-5=10 \qquad |+5$$

$$3x-5+5=10+5$$

$$3x=15 \qquad |:3$$

$$\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}$$

$$x=5.$$

Hulkliikmed ja tegurdamine

Tuum

Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises

$$3x^2-5x+7$$

on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.

Valemid ja tingimused

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Ühise teguri sulgude ette toomine:

$$8x^2+12x=4x(2x+3).$$

Kas alati saab tegurdada? Lihtne tegurdamisvõte ei pruugi kohe näha olla. Näiteks $x^2-1=(x-1)(x+1)$, aga $x^2+1$ ei saa kirjutada kahe reaalarvuliste kordajatega lineaarteguri korrutisena.

Summa kuju aitab liikmeid liita ja koondada; korrutiskuju aitab leida nullkohti või taandada murdavaldisi, säilitades algsed tingimused. Üks kuju ei ole alati teisest parem.

Kiirnäide

Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:

$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$

Algne avaldis annab $x=2$ korral $24$, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.

Ruutvõrrand

Tuum

Ruutvõrrandi üldkuju on

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Kui mõni liige puudub, on selle kordaja 0. Näiteks võrrandis $2x^2-8=0$ on $a=2$, $b=0$, $c=-8$.

Valemid ja tingimused

$D>0$; parabool lõikab $x$-telge kahes punktis.

$D=0$; parabool puutub $x$-telge.

$D<0$; parabool ei lõika $x$-telge.

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Diskriminant:

$$D=b^2-4ac.$$

Lahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on teisendada võrrandit nii, et lõpuks jääks vasakule poole ainult $x=...$.

Kiirnäide

$$x^2-5x+6=0$$

Tegurdame:

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Lahendid on $x=2$ ja $x=3$.

Lahendivalemiga:

$$2x^2+3x-2=0.$$

Siin $a=2$, $b=3$, $c=-2$.

$$D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25.$$

Seega

$$x=\frac{-3\pm5}{4},$$

ning lahendid on $x_1=\frac12$ ja $x_2=-2$.

Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused

Tuum

Ruutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Valemid ja tingimused

Üldjuhul $D=b^2-4ac$ ja reaalarvulised lahendid, kui $D\ge0$, on

$$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.$$

Täielikus ruutvõrrandis on $a,b,c\ne0$. Mittetäielikus ruutvõrrandis on $b=0$, $c=0$ või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:

Jagades kõik liikmed arvuga $a\ne0$, saad taandatud ruutvõrrandi $x^2+px+q=0$, kus $p=b/a$ ja $q=c/a$. Juht $a=1$ on selle kuju erijuht.

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Nullkorrutise reegel kehtib siis, kui teisel poolel on null.

Kiirnäide

Ristküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on 48 cm². Olgu laius $x$, siis pikkus on $x+2$.

$$x(x+2)=48,$$

$$x^2+2x-48=0.$$

Tegurdades saame $(x-6)(x+8)=0$. Pikkuse tõttu sobib $x=6$, seega ristküliku mõõtmed on 6 cm ja 8 cm.

Murdavaldised

Tuum

Murdavaldis on avaldis, mille nimetajas on muutuja, näiteks

$$\frac{x+1}{x-3}.$$

Avaldist saab lihtsustada või selle väärtust arvutada. See ei ole veel võrrand, millest otsida $x$-i.

Kahes tiimis oli kummaski $x$ inimest. Esimesse lisandub üks, teisest lahkub kolm. Esimese tiimi suuruse suhe teise tiimi suurusse on $\frac{x+1}{x-3}$.

Suhe 5 tähendab, et esimeses tiimis on viis korda nii palju inimesi kui teises. Selles olukorras peab $x$ olema täisarv vähemalt 4, et teine tiim ei jääks tühjaks.

Valemid ja tingimused

Nimetaja ei tohi olla null. Avaldise $\frac{x+1}{x-3}$ määramispiirkonnast jääb välja $x=3$.

Taandamisel jagame lugeja ja nimetaja sama nullist erineva teguriga:

$$\frac{6x}{9x}=\frac{2\cdot3\cdot x}{3\cdot3\cdot x}=\frac23,\qquad x\ne0.$$

Keelatud väärtused leia alati algsest, veel taandamata nimetajast.

Kiirnäide

Avaldis

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

lihtsustub tegurdamise abil:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,$$

aga ainult tingimusel $x\ne3$.

Ratsionaalavaldiste tehted

Tuum

Algebraliste murdude tehted kasutavad samu põhimõtteid nagu arvumurrud. Enne arvutamist leia muutujate keelatud väärtused ning tegurda lugejad ja nimetajad, kui see võimaldab ühiseid tegureid taandada.

Valemid ja tingimused

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Kiirnäide

Lihtsustame

$$\frac{x^2-9}{x^2-x-6}:\frac{x+3}{x-3}.$$

Algavaldise tingimused: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0$, seega $x\ne3,-2$. Jagaja $\frac{x+3}{x-3}$ ei tohi olla null, mistõttu ka $x\ne-3$.

Tegurdades, pöörates jagaja ja taandades saame

$$\frac{x-3}{x+2},\qquad x\ne-3,-2,3.$$

Murd- ja juurvõrrandid

Tuum

Murdvõrrandis esineb tundmatu nimetajas. Juurvõrrandis esineb tundmatu juure all. Mõlemas tuleb enne teisendamist kirja panna, millised väärtused on lubatud.

Murdvõrrandi tööjärjekord:

1. kirjuta nimetajate nullkohad keelatud väärtustena;
2. korruta võrrand nimetajate vähima ühiskordsega;
3. lahenda saadud võrrand;
4. kontrolli, et lahend ei oleks keelatud.

Valemid ja tingimused

Murdvõrrandis $\frac{P(x)}{Q(x)}=R(x)$ välista enne nimetajate eemaldamist kõik väärtused, mille korral $Q(x)=0$. Juurvõrrandis peab paarisarvulise juure alune olema mittenegatiivne. Ruutu tõstmine võib anda võõrlahendi, mistõttu kontrolli iga kandidaati algses võrrandis.

Kiirnäide

Võrrandis $\frac{x+1}{x-2}=2$ on $x\ne2$. Nimetaja eemaldamine annab $x+1=2x-4$, seega $x=5$.

Võrrandis $\sqrt{x+1}=x-1$ peab $x\ge1$. Ruutu tõstes saame $x(x-3)=0$; tingimuse ja algvõrrandi täidab ainult $x=3$.

Lineaarvõrrandisüsteemid

Tuum

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Valemid ja tingimused

Asendusvõttes avalda ühest võrrandist näiteks $y$ ja asenda see teise võrrandisse. Liitmisvõttes korruta võrrandeid vajaduse korral nii, et ühe tundmatu kordajad oleksid vastandarvud, ning liida võrrandid. Lahend on arvupaar $(x;y)$, mis peab rahuldama mõlemat võrrandit.

Kiirnäide

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafik on sirge; süsteemi lahendile vastab sirgete lõikepunkt.

Süsteemi

saab lahendada mitmel viisil.

Võrdsustamine: $x+1=-x+5$, seega $x=2$ ja $y=3$.

Liitmine: liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled:

$$y+y=(x+1)+(-x+5).$$

$$2y=6,\qquad y=3.$$

Esimesest võrrandist $3=x+1$, seega $x=2$. Teisest $3=-x+5$, samuti $x=2$. Mõlemad võtted annavad lahendi $(2;3)$.

Kui võtet pole ette antud, vali see, millega saad lahendi lihtsamalt. Kui ülesanne nõuab kindlat võtet, kasuta seda. Kontrolli lahendit mõlemas algses võrrandis.

Võrrandisüsteemide tekstülesanded

Tuum

Tekstülesandes ei ole süsteem ette antud: see tuleb olukorrast ise koostada. Kahe tundmatu kasutamine sobib siis, kui otsitakse kaht seotud suurust ja tekst annab nende kohta kaks sõltumatut seost.

Valemid ja tingimused

Arvu $x$ tähendus ja ühik tulevad tekstist. Piletite puhul annab esimese seose koguarv, teise kogutulu: ühe liigi tulu on $\text{piletihind}\cdot\text{piletite arv}$. Piletite arv peab olema mittenegatiivne täisarv.

Kiirnäide

Koolietendusele müüdi 34 piletit. Täiskasvanu pilet maksis 8 eurot ja õpilase pilet 5 eurot. Pileteid müüdi kokku 218 euro eest. Mitu kummagi hinnaga piletit müüdi?

Olgu $x$ täiskasvanupiletite ja $y$ õpilaspiletite arv. Koguarv ja kogutulu annavad

Esimesest võrrandist $y=34-x$. Asendame teise:

$$8x+5(34-x)=218.$$

$$3x=48,\qquad x=16.$$

Siis $y=34-16=18$. Kontroll: $16+18=34$ piletit ja $8\cdot16+5\cdot18=218$ eurot.

Vastus: müüdi 16 täiskasvanupiletit ja 18 õpilaspiletit.

Võrratused ja vahemikud

Tuum

Võrratus kirjeldab väärtuste hulka, mitte ainult ühte arvu. Lahendit esitatakse sageli arvteljel või vahemikuna.

Valemid ja tingimused

Negatiivse arvuga korrutades või jagades pöördub võrratuse märk:

Näiteks $-2x<6$. Jagame mõlemad pooled arvuga −2 ja pöörame märgi:

$$\frac{-2x}{-2}>\frac6{-2},\qquad x>-3.$$

Teine võimalus: korrutame mõlemad pooled arvuga −1, saades $2x>-6$. Seejärel jagame positiivse arvuga 2; märk enam ei pöördu ja saame samuti $x>-3$.

Kiirnäide

$$3x+1\le10$$

$$3x\le9$$

$$x\le3.$$

Vahemikuna:

$$(-\infty;3].$$

Ühisosa:

$$[1;6]\cap[4;9]=[4;6].$$

Ühend:

$$[1;6]\cup[4;9]=[1;9].$$

Kui vahemikud ei puutu kokku, jääb ühend kaheks osaks:

$$[1;3]\cup[5;7].$$

Ruut- ja ratsionaalvõrratused

Tuum

Ruut- või ratsionaalvõrratus küsib, millistes arvtelje osades on avaldis positiivne, negatiivne või null. Üksiku lahendi asemel saadakse tavaliselt vahemik või vahemike ühend.

Valemid ja tingimused

Ruutvõrratust saab tõlgendada ka parabooli kaudu: $f(x)\le0$ küsib, kus graafik asub $x$-teljel või sellest allpool.

Kiirnäide

Lahendame

$$x^2-x-6\le0.$$

Tegurdamiseks otsime kahte arvu, mille korrutis on −6 ja summa −1. Sobivad −3 ja 2, sest $(-3)\cdot2=-6$ ning $-3+2=-1$. Kontrolliks avame sulud:

$$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6.$$

See on $x^2-x-6$, seega võrratus on

$$(x-3)(x+2)\le0.$$

Nullkohad on $-2$ ja $3$. Ülespoole avanev parabool on nullkohtade vahel mittepositiivne, seega

$$x\in[-2;3].$$

Kui tegurid kohe silma ei hakka, leia kõigepealt ruutvõrrandi $x^2-x-6=0$ lahendid üldvalemiga.

Koordinaatteljestik

Tuum

Punkti asukohta tasandil kirjeldab paar (x; y). Esimene arv näitab liikumist horisontaalselt, teine vertikaalselt.

Selles materjalis eraldab koordinaate semikoolon, sest koma kasutatakse kümnendkohana.

Horisontaalne telg on $x$-telg. Vertikaalne telg on $y$-telg. Telgede lõikepunkt on alguspunkt (0;0).

Valemid ja tingimused

Punkti $(x;y)$ märkimisel liigu esmalt $x$ järgi paremale või vasakule ja seejärel $y$ järgi üles või alla. Veerandites on koordinaatide märgid

Teljel oleva punkti üks koordinaat on 0.

Kiirnäide

Punkt (3; -2) asub 3 ühikut paremal ja 2 ühikut allpool alguspunkti.

Punkt (-4; 2) asub 4 ühikut vasakul ja 2 ühikut üleval. See on II veerandis.

Punkt (0; -5) ei ole üheski veerandis, sest ta asub $y$-teljel.

Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos

Tuum

Funktsioon on reegel, mis annab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja funktsiooni nimi $f$, kirjutame väljundi kujul

$$y=f(x).$$

Sama funktsiooni saab esitada neljal viisil:

• sõnadega: mida sisendiga tehakse;
• tabelina: valitud sisendite ja väljundite paarid;
• valemina: näiteks $f(x)=2x+1$;
• graafikuna: punktid $(x;f(x))$ koordinaattasandil.

Valemid ja tingimused

Tähed on nimed. Kirjutised $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ võivad tähistada eri funktsioone. Ka sisendi nimi võib muutuda: valemis $h(t)=2t+3$ on funktsiooni nimi $h$ ja sisend $t$. Funktsiooni mõte jääb samaks.

Kiirnäide

Jalgratta laenutus maksab 3 eurot alustuseks ja 2 eurot iga täistunni eest. Olgu $t$ tundide arv ja $h(t)$ hind eurodes. Siis

$$h(t)=2t+3.$$

Siin $t=0$ tähendab laenutuse algust: 3 eurot tuleb tasuda ka enne esimese tunni möödumist.

Kui $t=4$, siis

$$h(4)=2\cdot4+3=11.$$

Tabeli paar $(4;11)$ tähendab, et nelja tunni hind on 11 eurot. Graafikul tähistab seda sama punkt $(4;11)$.

Võrdeline seos

Tuum

Kaks suurust on võrdelises seoses, kui ühe suuruse mingi arv kordi muutumisel muutub teine sama arv kordi. Võrdelise seose valem on

$$y=kx,$$

kus $k$ on võrdetegur.

Valemid ja tingimused

$$y=kx,$$

kus $k$ on võrdetegur.

Kui $x\ne0$, saab võrdeteguri leida suhtest

$$k=\frac{y}{x}.$$

Võrdetegur näitab, kui palju väljundit vastab ühele sisendi ühikule. Näiteks hind 2 eurot kilogrammi kohta tähendab $k=2\ \text{€/kg}$.

• suhe $\frac yx$ on kõigis tabeli ridades sama;
• kui $x=0$, siis $y=0$;
• graafik on alguspunkti läbiv sirge.

Kiirnäide

Õunte hind on 2 eurot kilogrammi kohta. Kui $x$ on õunte mass kilogrammides ja $y$ hind eurodes, siis

$$y=2x.$$

Kolme kilogrammi hind on

$$y=2\cdot3=6\text{ eurot}.$$

Suhe $y:x$ on alati 2. Kui õunu ei osteta, on nii mass kui hind null; seetõttu läbib graafik alguspunkti.

Lineaarfunktsioon

Tuum

Lineaarfunktsiooni graafik on sirge. Kujul $y=kx+b$ on $k$ sirge tõus ja $b$ algordinaat; graafiku lõikepunkt $y$-teljega on $(0;b)$.

Valemid ja tingimused

$$y=kx+b.$$

Kahe eri $x$-koordinaadiga punkti järgi:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Siin $(x_1;y_1)$ ja $(x_2;y_2)$ on kaks punkti. Alaindeksid 1 ja 2 tähistavad punktide numbreid. Valem eeldab, et $x_1\ne x_2$, sest nulliga jagada ei saa.

Kui $k>0$, sirge tõuseb; kui $k<0$, langeb; kui $k=0$, on $y=b$ konstantne. Leia $b$, asendades ühe teadaoleva punkti valemisse.

Kiirnäide

Leia sirge valem punktide $(1;1)$ ja $(2;3)$ järgi.

1. Tõus. $x$ kasvab $2-1=1$ ja $y$ kasvab $3-1=2$ võrra. Seega

$$k=\frac{3-1}{2-1}=2.$$

2. Algordinaat. Asendame punkti $(1;1)$ valemisse $y=2x+b$:

$$1=2\cdot1+b,\qquad b=-1.$$

3. Valem ja kontroll. Saime $y=2x-1$. Teine punkt sobib, sest $3=2\cdot2-1$.

Pöördvõrdeline seos

Tuum

Pöördvõrdeline seos on kujul

$$y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0.$$

Siin $k\ne0$ ning korrutis $xy=k$ jääb samaks. Kui $k>0$, kahaneb funktsioon kummalgi harul eraldi; kui $k<0$, kasvab ta kummalgi harul.

Graafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus $x=0$.

Valemid ja tingimused

Pöördvõrdelise seose samaväärsed kujud on

$$y=\frac{k}{x},\qquad xy=k.$$

Siin $x\ne0$ ja $k\ne0$.

Tegur $k$ on kõigi vastavate $x$- ja $y$-väärtuste korrutis. Graafik on hüperbool ning koordinaatteljed on selle asümptoodid.

Kiirnäide

Vaja on värvida 12 meetrit tara. Iga inimene värvib tunnis ühe meetri. Eeldame, et kõik töötavad sama kiiresti, saavad korraga eri lõike värvida ega sega üksteist. Tööaeg tundides on siis

$$y=\frac{12}{x},$$

kus $x$ on inimeste arv.

Kui töötegijaid on 3, siis

$$y=\frac{12}{3}=4.$$

Sama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja $x\cdot y=12$.

Kui kasutada saab ainult üht pintslit ja korraga töötab üks inimene, ei lühenda inimeste lisamine aega. Valem ei sobi igale tööle.

Ruutfunktsioon

Tuum

Ruutfunktsiooni üldkuju on

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.$$

Selle graafik on parabool.

Graafikult loetud tähtis punkt peab asendamisel andma sama $y$-koordinaadi.

Valemid ja tingimused

Nullkohad leitakse võrrandist $ax^2+bx+c=0$. Sümmeetriatelg ja haripunkt on

$$x=x_h=-\frac{b}{2a},\qquad H=(x_h;f(x_h)).$$

Kui $a>0$, avaneb parabool üles; kui $a<0$, alla. Lõikepunkt $y$-teljega on (0;c).

Kiirnäide

Funktsiooni $y=x^2-4$ nullkohad:

$$x^2-4=0$$

$$x=\pm2.$$

Haripunkt on punktis (0;-4), sest parabool on sümmeetriline $y$-telje suhtes ja kõige madalam punkt on seal.

Näide üldkujus:

$$y=2x^2-8x+3.$$

Sümmeetriatelg on $x_h=\frac{8}{4}=2$ ja $y_h=f(2)=-5$, seega haripunkt on (2;-5).

Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Tuum

Ruutfunktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafiku skitseerimiseks leia avanemissuund, sümmeetriatelg, haripunkt, nullkohad ja lõikepunkt $y$-teljega. Mudelis kasuta ainult seda graafiku osa, millel on olukorras tähendus.

Valemid ja tingimused

Parabooli sümmeetriatelg ja haripunkt on

$$x=x_h=-\frac{b}{2a},\qquad H=(x_h;f(x_h)).$$

Nullkohad lahendavad võrrandi $f(x)=0$ ning lõikepunkt $y$-teljega on $(0;c)$. Kordaja $a$ märk määrab avanemissuuna.

Kiirnäide

Joonestame funktsiooni $y=-x^2+2x+3$.

Parabool avaneb alla, sest $a=-1$. Nullkohad:

$$-x^2+2x+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0,$$

seega $x=-1$ ja $x=3$. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel $x=1$. Haripunkti väärtus on $f(1)=4$, seega haripunkt on (1;4). $y$-telje lõikepunkt on (0;3); selle sümmeetriline paariline on (2;3).

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Tuum

Eksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

Logaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Valemid ja tingimused

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Funktsioonid $y=a^x$ ja $y=\log_a x$ on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.

Kiirnäide

$$\log_2 8=3,$$

sest

$$2^3=8.$$

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on $1,05$. Kolme aasta pärast on summa

$$1000\cdot1,05^3\approx1157,63\text{ eurot}.$$

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Tuum

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

Valemid ja tingimused

Eeldame $a>0$, $a\ne1$, $x>0$ ja $y>0$. Aluse vahetamisel ka $b>0$ ning $b\ne1$.

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Kiirnäide

Lahendame

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

seega

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Tuum

Funktsioonid $\sin x$, $\cos x$ ja $\tan x$ kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.

Täisnurkses kolmnurgas oli

$$\sin\alpha=\frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}.$$

Valemid ja tingimused

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Tangens:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\ne0.$$

Sama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:

$$\sin(x+360^\circ)=\sin x,\qquad \cos(x+360^\circ)=\cos x.$$

Kiirnäide

Kui $\alpha=30^\circ$, siis

$$\sin30^\circ=\frac12.$$

Ühikringil tähendab see, et vastava punkti $y$-koordinaat on $\frac12$.

Kui $\alpha=150^\circ$, siis nurk on II veerandis. Seal on siinus positiivne ja koosinus negatiivne:

$$\sin150^\circ=\frac12,$$

$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Funktsioonide teisendused

Tuum

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Valemid ja tingimused

Nihkereeglites eeldame, et $c>0$. Kui $c=0$, nihet ei ole; negatiivse $c$ korral on suund vastupidine.

$f(x)+c$; nihe üles $c$ ühikut.

$f(x)-c$; nihe alla $c$ ühikut.

$f(x-c)$; nihe paremale $c$ ühikut.

$f(x+c)$; nihe vasakule $c$ ühikut.

$af(x)=a\cdot f(x)$, kus $a$ on nullist erinev arv: kõik $y$-koordinaadid korrutatakse arvuga $a$. Kui $|a|>1$, venib graafik püstsuunas; kui $0<|a|<1$, surutakse see püstsuunas kokku. Negatiivne $a$ peegeldab graafiku lisaks $x$-telje suhtes.

$f(ax)=f(a\cdot x)$, kus $a$ on nullist erinev arv: funktsiooni sisend korrutatakse arvuga $a$, mistõttu jagatakse kõik $x$-koordinaadid arvuga $a$. Kui $|a|>1$, surutakse graafik rõhtsuunas kokku; kui $0<|a|<1$, venib see rõhtsuunas. Negatiivne $a$ peegeldab graafiku lisaks $y$-telje suhtes.

$-f(x)$; peegeldus $x$-telje suhtes.

$f(-x)$; peegeldus $y$-telje suhtes.

Kiirnäide

Kui punkt (2;3) on graafikul $y=f(x)$, siis punkt (2;6) on graafikul $y=2f(x)$, aga punkt (1;3) on graafikul $y=f(2x)$. Väljas olev kordaja muudab kõrgust; funktsiooni sees olev kordaja muudab rõhtsuunalist asukohta vastupidise teguriga.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühiku alla nihutatud parabool, mille haripunkt on (-4;-1).

Geomeetriline definitsioon ja tõestus

Tuum

Definitsioon ütleb täpselt, mida mõiste tähendab. Teoreem on matemaatiline väide, mille tõesus tuleb tõestada. Tõestus seob antud tingimused põhjendatud sammude kaudu järeldusega.

Näiteks rööpküliku definitsioon on: rööpkülik on nelinurk, mille mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed. Väide „rööpküliku vastasküljed on võrdsed” on omadus, mitte definitsioon; see tuleb põhjendada.

Valemid ja tingimused

Tõestus algab antud tingimustest, kasutab definitsioone või varem tõestatud teoreeme ja lõpeb nõutud järeldusega. Näiteks tippnurkade korral

$$\alpha+\beta=180^\circ,\qquad \beta+\gamma=180^\circ,$$

millest sama arvu $\beta$ lahutamisel järeldub $\alpha=\gamma$.

Kiirnäide

Tõestame, et kahe lõikuva sirge tippnurgad on võrdsed.

Antud: sirged lõikuvad ning tekivad nurgad $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$, kus $\alpha$ ja $\gamma$ on tippnurgad.

Kõrvunurkade summa on $180^\circ$, seega

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

ja

$$\beta+\gamma=180^\circ.$$

Järelikult $\alpha+\beta=\beta+\gamma$. Lahutades mõlemalt poolelt $\beta$, saame $\alpha=\gamma$.

Paralleelsed sirged ja nurgad

Tuum

Paralleelsed sirged on kaks eri sirget, mis asuvad samal tasandil ega lõiku. Lõikaja lõikab neid kahes eri punktis.

Valemid ja tingimused

Kui $a\parallel b$ ja lõikaja lõikab mõlemat sirget, siis:

• vastavad nurgad on võrdsed;
• põiknurgad on võrdsed;
• samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.

Iga nimetatud nurgaseos on ka paralleelsuse tunnus. Pelgalt kahe võrdse nurga leidmisest ei piisa: kontrolli nende asendit.

Nurgaseoste põhjendus.

Kiirnäide

Sirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\circ$.

Sellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\circ$. Tema kõrvunurk on

$$180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$

Sama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Tuum

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Valemid ja tingimused

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad raskuskeskmes, mis jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on pikem.

Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte ja on alustega paralleelne. Aluste pikkused on $a,b>0$ ja nende ristkaugus $h>0$:

$$m=\frac{a+b}{2},\qquad S=mh.$$

Kesklõikude põhjendused ning raskuskeskme põhjendus.

Kiirnäide

Kolmnurga kolmas külg $BC$ on 14 cm. Selle küljega paralleelne kesklõik on

$$MN=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm. Trapetsi kesklõik on

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm}.$$

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Tuum

Kesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Valemid ja tingimused

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Korrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Korrapärase $n$-nurga ühe sisenurga suurus on

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Lisajoonised

Kiirnäide

Piirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\circ$. Piirdenurk on

$$124^\circ:2=62^\circ.$$

Korrapärase kuusnurga kesknurk on

$$360^\circ:6=60^\circ,$$

ja üks sisenurk

$$\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Ringjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\circ$.

Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Tuum

Sarnased kujundid saadakse üksteisest kõigi pikkuste korrutamisel sama positiivse arvuga ning vajaduse korral nihutamisel, pööramisel või peegeldamisel.

Valemid ja tingimused

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Sarnasustegur esimeselt kolmnurgalt teisele on $k=DE/AB=EF/BC=DF/AC>0$. Kui $k<1$, kujund väheneb; kui $k=1$, on kujundid võrdsed.

Ümbermõõt muutub $k$ ja pindala $k^2$ korda. Põhjendus ja sarnasuse tunnused.

Kiirnäide

Püstise 1,5 m pikkuse lati vari on 2 m ja püstise puu vari 8 m. Mõõdame samal ajal horisontaalsel maal ning käsitleme päikesekiiri paralleelsetena. Kolmnurgad on sarnased, seega

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Pythagoras ja sarnasus

Tuum

Pythagorase teoreem seob täisnurkse kolmnurga külgi. Sarnastel kujunditel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad pikkused samas suhtes.

Valemid ja tingimused

Täisnurkses kolmnurgas:

$$a^2+b^2=c^2,$$

kus $c$ on täisnurga vastaskülg ehk hüpotenuus.

Sarnasustegur:

$$k=\frac{\text{uue kujundi pikkus}}{\text{algse kujundi vastav pikkus}}.$$

Pikkused ja ümbermõõdud muutuvad $k$ korda, pindalad $k^2$ korda ning ruumalad $k^3$ korda.

Kiirnäide

Kaatetite 6 ja 8 korral $c=\sqrt{6^2+8^2}=10$.

Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk

Tuum

Täisnurkse kolmnurga kaatetid on $a,b>0$ ja hüpotenuus $c$. Siis $a^2+b^2=c^2$.

Valemid ja tingimused

Paigutame neli võrdset täisnurkset kolmnurka kaatetitega $a,b>0$ küljega $a+b$ ruudu nurkadesse. Keskmise kujundi küljed on hüpotenuusid $c$ ning nurgad $180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ$, sest kolmnurga teravnurkade summa on $90^\circ$.

$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$

Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb

$$a^2+b^2=c^2.$$

Täielik pindalatõestus.

Korrapärase kumera hulknurga pindala on $S=Pr/2$, kus $P$ on ümbermõõt ja $r$ apoteem ehk kaugus keskpunktist küljeni.

Kiirnäide

Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast. Ühe kolmnurga kõrgus on

$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$

Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala

$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$

Tõestamine ja ringjoone teoreemid

Tuum

Kesk- ja piirdenurga seosest järelduvad piirdenurkade võrdsus ning Thalese teoreem. Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Valemid ja tingimused

• Samale kaarele toetuv kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem: $\theta=2\alpha$.
• Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
• Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Kui $AB$ on diameeter, peab ringjoonel asuv tipp $C$ erinema punktidest $A$ ja $B$.
• Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Lisajoonised

Kiirnäide

Poolringile vastav kesknurk on $180^\circ$. Sellele toetuv piirdenurk on $180^\circ:2=90^\circ$.

Vektorid

Tuum

Vektor kirjeldab nihet. Vektoril on pikkus ja suund, aga tal ei ole kindlat asukohta: sama vektorit võib joonisel nihkena ümber paigutada, kui pikkus ja suund jäävad samaks.

Koordinaatteljestikus kirjeldavad vektori komponendid nihet telgede suunas: $\vec a=(3;2)$ tähendab 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Valemid ja tingimused

Kui $\vec a=(a_1;a_2)$ ja $\vec b=(b_1;b_2)$, siis

$$\vec a+\vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2),\qquad k\vec a=(ka_1;ka_2).$$

Vektori pikkus on $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ ning punktist $A$ punkti $B$ suunatud vektor on $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

Lisajoonised

Kiirnäide

Kui $\vec a=(2;1)$ ja $\vec b=(3;-2)$, siis

$$\vec a+\vec b=(2+3;\ 1+(-2))=(5;-1).$$

Kui punktid on $A(1;2)$ ja $B(4;6)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;4).$$

Skalaarkorrutis ja vektorite nurk

Tuum

Kahe vektori skalaarkorrutis on arv, mis seob nende pikkused ja vahelise nurga. Tasandil

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$

Geomeetriliselt

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha,$$

kus $\alpha$ on mittenullvektorite vaheline nurk. Skalaarkorrutise tulemus on arv, mitte vektor.

Valemid ja tingimused

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha,$$

kus $\alpha$ on vektorite vaheline nurk vahemikus $0^\circ$ kuni $180^\circ$.

$$\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}.$$

Kiirnäide

Olgu

$$\vec a=(3;4),\qquad \vec b=(-4;3).$$

Siis

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot(-4)+4\cdot3=0.$$

Mõlemad vektorid on mittenullvektorid, seega on nad risti.

Koordinaatgeomeetria

Tuum

Koordinaatgeomeetria kasutab geomeetriliste objektide kirjeldamiseks arve ja võrrandeid.

Punkti asukohta kirjeldavad koordinaadid, lõigu pikkust saab arvutada Pythagorase teoreemi abil ning sirget saab kirjeldada võrrandiga.

Samad arvud võivad olla eri rollis: punkt (3;2) ütleb asukoha, vektor (3;2) või nihe (3;2) ütleb, kui palju liikuda $x$- ja $y$-suunas.

Valemid ja tingimused

Kahe punkti $A(x_1;y_1)$ ja $B(x_2;y_2)$ vaheline kaugus:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Lõigu keskpunkt:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

Kiirnäide

Punktide (1; 2) ja (4; 6) kaugus:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Nende keskpunkt on

$$M\left(\frac{1+4}{2};\frac{2+6}{2}\right)=(2{,}5;4).$$

Punkte (1;3) ja (3;7) läbiva sirge tõus on $k=\frac{7-3}{3-1}=2$; asendus annab $b=1$ ja sirge võrrandi $y=2x+1$.

Joone ja ringjoone võrrandid

Tuum

Joone võrrand on tingimus, mida täidavad täpselt selle joone punktide koordinaadid. Sirget saab kirjeldada mitmel samaväärsel kujul.

Sirge levinud kujud:

$$y=kx+b,$$

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

$$Ax+By+C=0,\qquad A^2+B^2>0.$$

Valemid ja tingimused

$$y=kx+b,$$

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

$$Ax+By+C=0,\qquad A^2+B^2>0.$$

Kui sirge läbib punkti $P(x_0;y_0)$ ja tema sihivektor on $(p;q)$, siis sobib võrrand

$$q(x-x_0)-p(y-y_0)=0.$$

Paralleelsetel mittevertikaalsetel sirgetel on sama tõus. Ristuvate sirgete korral on $k_1k_2=-1$, kui mõlemad tõusud on olemas.

Keskpunkti $K(a;b)$ ja raadiusega $r$ ringjoone võrrand on

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$

Kiirnäide

Sirge läbib punkte $A(1;2)$ ja $B(3;6)$. Tõus on

$$k=\frac{6-2}{3-1}=2.$$

Punkti-tõusu kuju annab

$$y-2=2(x-1),$$

seega $y=2x$ ehk üldkujul $2x-y=0$.

Ruumigeomeetria

Tuum

Ruumigeomeetrias töötame kolmemõõtmeliste kehadega: prismad, püramiidid, silindrid, koonused ja kerad. Neid saab käes hoida, ehitada või joonisel kujutada.

Kolmemõõtmelise keha puhul küsitakse sageli kahte asja:

• pindala: kui suur on keha välispind;
• ruumala: kui palju ruumi keha hõivab või mahutab.

Joonised aitavad enne valemi valimist eristada keha põhja, kõrgust ja külgpinda.

Valemid ja tingimused

Prisma ruumala:

$$V=S_p h,$$

kus $S_p$ on põhja pindala ja $h$ on kõrgus.

Püramiidi ruumala:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kuubi erijuht, kui serv on $a$:

$$V=a^3,\qquad S=6a^2.$$

Silindri ruumala on $V=\pi r^2h$, koonuse ruumala $V=\frac13\pi r^2h$ ja kera ruumala $V=\frac43\pi r^3$.

Kiirnäide

Silindri raadius on 3 cm ja kõrgus 5 cm:

$$V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi.$$

Kui kuubi serv on 4 cm, siis

$$V=4^3=64\text{ cm}^3,$$

ja pindala on

$$S=6\cdot4^2=96\text{ cm}^2.$$

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Tuum

Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.

Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus, mitte keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.

Joonisel tuleb kõrgus ja kaldpikkus enne arvutamist selgelt lahus hoida.

Valemid ja tingimused

Püramiidil $V=\frac13S_ph$ ja $S=S_p+S_k$. Pöördkehadel:

$$V_{\text{silinder}}=\pi r^2h,$$

$$V_{\text{koonus}}=\frac13\pi r^2h,$$

$$V_{\text{kera}}=\frac43\pi r^3.$$

Koonuse täispindala on $S=\pi r^2+\pi rs$; moodustaja $s$ ei ole ruumala valemis kasutatav kõrgus $h$.

Kiirnäide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:

$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$

Põhja pindala on 36 cm² ja külgpindala 60 cm². Seega täispindala on 96 cm² ning ruumala $V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3$.

Trigonomeetria

Tuum

Täisnurkses kolmnurgas seovad siinus, koosinus ja tangens nurka külgedega.

Vaatleme nurka $\alpha$. Selle nurga suhtes:

• hüpotenuus on täisnurga vastas olev pikim külg;
• lähiskaatet on nurga $\alpha$ kõrval olev kaatet;
• vastaskaatet on nurga $\alpha$ vastas olev kaatet.

Valemid ja tingimused

Kui vastaskaatet on $a$, lähiskaatet $b$ ja hüpotenuus $c$, siis

$$\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.$$

Need küljesuhted kehtivad täisnurkse kolmnurga teravnurga kohta: $0^\circ<\alpha<90^\circ$ ja $a,b,c>0$. Siinus ja koosinus on sel juhul suuremad kui 0 ja väiksemad kui 1. Nurga leidmisel kasutatakse pöördfunktsioone, näiteks $\alpha=\arcsin(a/c)$; kraadides vastuse saamiseks vali kalkulaatoris kraadirežiim.

Kiirnäide

Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on $c=10$ cm ja $\sin\alpha=\frac35$. Leia vastaskaatet $a$.

$$\frac35=\frac a{10}$$

$$a=10\cdot\frac35=6.$$

Vastaskaatet on $6$ cm.

Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Tuum

Kolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Täisnurkse kolmnurga määravad kaks kaatetit, hüpotenuus koos sellest lühema kaatetiga või üks külg koos ühe teravnurgaga.

Valemid ja tingimused

Kui $a$ on nurga $\alpha$ vastaskaatet, $b$ lähiskaatet ja $c$ hüpotenuus, siis

$$\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.$$

Kui $\beta$ on teine teravnurk, siis lisaks kehtivad

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \alpha+\beta=90^\circ.$$

Vali seos, milles esinevad otsitav suurus ja teadaolevad suurused.

Küljepikkused peavad olema positiivsed ning $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Ühe külje ja nurga puhul peab olema teada nende vastastikune asend. Hüpotenuus peab olema pikem kui kumbki kaatet. Ainult nurkade põhjal küljepikkusi leida ei saa.

Kiirnäide

Täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga $\alpha=38^\circ$ suhtes on 5 cm. Leiame ülejäänud suurused.

$$a=5\tan38^\circ\approx3,91\text{ cm},$$

$$c=\frac5{\cos38^\circ}\approx6,35\text{ cm}.$$

Teine teravnurk on $52^\circ$.

Trigonomeetrilised valemid

Tuum

Trigonomeetrilised valemid võimaldavad nurki teisendada ja avaldisi lihtsustada. Nende alus on ühikring ning seos

Negatiivse nurga valemid on

Valemid ja tingimused

Kiirnäide

Leiame $\sin75^\circ$:

Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Tuum

Need teoreemid aitavad lahendada ka mittetäisnurkseid kolmnurki.

Kolmnurga küljed $a,b,c$ on vastavalt nurkade $A,B,C$ vastas.

Valemid ja tingimused

Tingimused: $a,b,c>0$, $0^\circ<A,B,C<180^\circ$ ja $A+B+C=180^\circ$.

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Kui $C=90^\circ$, siis $\cos C=0$ ja saame Pythagorase teoreemi.

Põhjendused: siinusteoreemi tõestus ja koosinusteoreemi tõestus.

Kiirnäide

Kui $a=7$, $b=9$ ja nurk nende vahel on $60^\circ$, siis

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\cos60^\circ.$$

Kuna $\cos60^\circ=\frac12$, siis

$$c^2=49+81-126\cdot\frac12=67,$$

seega

$$c=\sqrt{67}\approx8{,}2.$$

Radiaanid ja perioodilisus

Tuum

Radiaan on nurga mõõtühik. Ühe radiaani suurusele kesknurgale vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega. See on täpne definitsioon, mitte lähend. Täispööre on

$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$

$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$

Nurga $\alpha\ge0$ suurus radiaanides on $\alpha=s/r$, kus $s$ on vastava kaare pikkus ja $r>0$ raadius samas ühikus. Negatiivne nurk tähistab päripäeva pööret.

Valemid ja tingimused

$$\text{radiaanid}=\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \text{kraadid}=\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Põhivastavused on $90^\circ=\pi/2$, $180^\circ=\pi$ ja $360^\circ=2\pi$.

Siinuse ja koosinuse vähim positiivne periood on $2\pi$, tangensil $\pi$. Siin on $x$ radiaanides:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \tan(x+\pi)=\tan x.$$

Tangensi seos kehtib seal, kus $\cos x\ne0$, s.t $x\ne\frac\pi2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Kiirnäide

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$

Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:

$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$

Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$

Trigonomeetrilised põhivõrrandid

Tuum

Trigonomeetrilisel võrrandil on perioodilisuse tõttu enamasti lõpmata palju lahendeid. Kõigepealt leitakse ühikringilt ühe täispöörde lahendid, seejärel lisatakse periood.

Põhikujud:

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Valemid ja tingimused

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Kiirnäide

Lahendame vahemikus $0\le x<2\pi$:

Esmalt eraldame siinuse:

Ühikringil on siinus $\frac12$ I ja II veerandis. Seega

Jadad

Tuum

Jada on järjestatud arvude loend. Selles peatükis märgime jada liikme sümboliga $a_n$.

Tähistus: $n$ on liikme järjekorranumber, $a_n$ on selle koha väärtus.

Näiteks jadas

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$$

on esimene liige $a_1=3$, teine liige $a_2=7$ ja neljas liige $a_4=15$.

Valemid ja tingimused

Aritmeetilises jadas liidetakse iga kord sama vahe $d$:

$$a_n=a_1+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2.$$

Geomeetrilises jadas korrutatakse iga kord sama teguriga $q$:

$$a_n=a_1q^{n-1},\qquad S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1.$$

Kiirnäide

Jadas 3, 7, 11, 15 on vahe $d=4$, seega

$$a_n=3+(n-1)\cdot4.$$

Kümnes liige on

$$a_{10}=3+9\cdot4=39.$$

Esimese kümne liikme summa on

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=210.$$

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Tuum

Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus

ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.

Valemid ja tingimused

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

Lõpmatu geomeetrilise rea summa leidub ainult siis, kui $|q|<1$:

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Tingimus $|q|<1$ tähendab, et jada liikmed hääbuvad nulli poole.

Kiirnäide

Leiame jada

piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:

Kuna $\frac1n\to0$, siis

Hääbuva geomeetrilise jada

esimene liige on $6$ ja tegur $q=1/2$. Seega

$$S=\frac6{1-1/2}=12.$$

Piirväärtus, tuletis ja integraal

Tuum

Piirväärtus kirjeldab, millele avaldis või funktsioon läheneb. Tuletis kirjeldab muutumiskiirust. Integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku ja telje vahel.

Analüüsi põhiküsimus on: mis juhtub siis, kui vaatame muutumist väga väikeste sammudega või kogume väga paljud väikesed osad kokku?

Valemid ja tingimused

Tuletis punktis $x_0$ on vahe jagatise piirväärtus:

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$

Kui $F'(x)=f(x)$, siis määratud integraali arvutab Newtoni-Leibnizi valem:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Tuletis on lokaalne muutumiskiirus; määratud integraal liidab muutuse kogu vahemikus.

Kiirnäide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$f'(x)=2x.$$

Punktis $x=3$ on muutumiskiirus 6.

See tähendab, et graafiku $y=x^2$ puutuja tõus punktis $x=3$ on 6.

Tuletise arvutusreeglid

Tuum

Tuletis $f'(x)$ kirjeldab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust ja graafiku puutuja tõusu. Enne tuletamist tunne ära avaldise väline tehe: summa, korrutis, jagatis või funktsioon funktsiooni sees.

Valemid ja tingimused

$$c'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1}.$$

$$(f+g)'=f'+g',\qquad (fg)'=f'g+fg'.$$

$$\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0.$$

$$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\,g'(x).$$

Kiirnäide

$$\bigl(3x^2-5x+7\bigr)'=6x-5.$$

Ahelreegliga $((2x+1)^3)'=6(2x+1)^2$.

Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Tuum

Astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilistel funktsioonidel on eri põhituletised. Enne arvutamist tunne ära funktsioonipere; seejärel rakenda vajaduse korral summa-, korrutise-, jagatise- või ahelreeglit.

Põhivalemid on

Valemid ja tingimused

Kui funktsiooni sees on avaldis $g(x)$, lisa ahelreegliga sisemise funktsiooni tuletis:

Kiirnäide

Leia funktsiooni

$$f(x)=e^{2x}+\ln(x+1)-3\cos x$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa ja kasutame kahes esimeses liikmes ahelreeglit:

Algse funktsiooni määramispiirkond nõuab $x>-1$; sama piirang jääb ka tuletise kasutamisel oluliseks.

Tuletise rakendused

Tuum

Tuletis kirjeldab muutumiskiirust ja graafiku puutuja tõusu.

Valemid ja tingimused

• Kui $f'(x)>0$, siis funktsioon kasvab.
• Kui $f'(x)<0$, siis funktsioon kahaneb.
• Võrrand $f'(x)=0$ annab ekstreemumi kandidaate. Kontrolli ka määramispiirkonda kuuluvaid kohti, kus tuletist ei ole, näiteks $|x|$ miinimumi kohal $x=0$. Kinnise lõigu suurima ja vähima väärtuse leidmisel arvesta ka otspunkte.

Puutuja võrrand kohal $x_0$ on

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

Kiirnäide

Uuri funktsiooni $f(x)=x^2-4x+1$.

$$f'(x)=2x-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.$$

Tuletis on enne $2$ negatiivne ja pärast $2$ positiivne, seega on kohal $x=2$ miinimum. Selle väärtus on $f(2)=-3$.

Erista: $f(x_0)$ on funktsiooni väärtus punktis, $f'(x_0)$ on puutuja tõus ja muutumiskiirus seal.

Teine tuletis, kõverus ja käänupunkt

Tuum

Teine tuletis on tuletise tuletis:

$$f''(x)=(f'(x))'.$$

Esimene tuletis kirjeldab funktsiooni tõusu. Teine tuletis kirjeldab, kuidas see tõus muutub.

• Kui $f''(x)>0$, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
• Kui $f''(x)<0$, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.

Valemid ja tingimused

$$f''(x)=(f'(x))'.$$

• Kui $f''(x)>0$, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
• Kui $f''(x)<0$, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.

Õpikutes nimetatakse neid vastavalt nõgusus- ja kumerusvahemikeks. Kindla järelduse alus on siiski $f''$ märk ja graafiku kuju.

Käänupunkt on graafiku punkt, kus kõveruse suund muutub. Võrrand $f''(x)=0$ annab ainult kandidaadi; käänupunkti kinnitab $f''$ märgi muutus.

Kiirnäide

Uuri funktsiooni $f(x)=x^3-3x$ ekstreemumeid ja käänupunkti.

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Kriitilised punktid on $x=-1$ ja $x=1$. Tuletise märk näitab maksimumi punktis $(-1;2)$ ja miinimumi punktis $(1;-2)$.

$$f''(x)=6x.$$

Teine tuletis vahetab kohal $x=0$ märki, seega on käänupunkt $(0;0)$.

Algfunktsioon ja määramata integraal

Tuum

Algfunktsioon on tuletise tagasikäik. Kui

$$F'(x)=f(x),$$

siis $F(x)$ on funktsiooni $f(x)$ algfunktsioon.

Määramata integraal tähendab kõigi algfunktsioonide hulka:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$

Kirjutis $dx$ näitab, et algfunktsiooni otsitakse muutuja $x$ järgi.

Valemid ja tingimused

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne-1.$$

$$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C,\qquad x\ne0.$$

Integraal on lineaarne:

$$\int(af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx.$$

Kiirnäide

Leia

$$\int (3x^2-4x+5)\,dx.$$

Integreerime liikmete kaupa:

$$\int 3x^2\,dx=x^3,$$

$$\int -4x\,dx=-2x^2,$$

$$\int 5\,dx=5x.$$

$$\int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C.$$

Määratud integraal ja pindala

Tuum

Määratud integraal

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

kirjeldab kogunenud muutust vahemikus $[a;b]$. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Kui graafik on teljest ülalpool, on panus positiivne. Kui graafik on teljest allpool, on panus negatiivne.

Valemid ja tingimused

Kui $F'(x)=f(x)$, siis

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

See on arv. Määratud integraali vastusesse ei lisata +C, sest rajad $a$ ja $b$ fikseerivad tulemuse.

Sama valemit kirjutatakse lühendina nii:

$$\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b.$$

Kiirnäide

Leia pindala graafiku $y=2x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [0;3].

Kuna vahemikus [0;3] on $2x\ge0$, on integraal sama mis pindala:

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=3^2-0^2=9.$$

Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala

Tuum

Kahe graafiku vahelise pindala leidmiseks lahuta ülemise funktsiooni väärtusest alumise funktsiooni väärtus. Rajad leitakse lõikepunktidest või antakse ülesandes.

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

Valemid ja tingimused

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

$$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$

Funktsiooni $f(x)\ge0$ graafiku pööramisel ümber $x$-telje saadud keha ruumala on

$$V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx.$$

Kui ristlõikes on välimine raadius $R(x)$ ja sisemine raadius $r(x)$, siis

$$V=\pi\int_a^b\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx.$$

Kiirnäide

Leia graafikute $y=2x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.

Lõikepunktid saad võrrandist $2x=x^2$, seega $x=0$ ja $x=2$. Vahemikus [0;2] on $2x\ge x^2$.

Integraali rakendused

Tuum

Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Rakenduse tähenduse otsustavad küsimus ja ühikud: integraal võib anda nihke, teepikkuse, koguse või pindala.

Valemid ja tingimused

Kui $F'(x)=f(x)$, siis määratud integraal on arv:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Kui kiirus võib olla negatiivne, tuleb eristada:

$$\text{nihe}=\int_a^b v(t)\,dt,$$

$$\text{teepikkus}=\int_a^b |v(t)|\,dt.$$

Kiirnäide

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=9.$$

Näiteks kui keha kiirus on

$$v(t)=2t$$

meetrit sekundis ja aeg $t$ on sekundites, siis vahemikus [0;3] läbitud teepikkus on

$$\int_0^3 2t\,dt=9\text{ m}.$$

Mis on tõestus?

Tuum

Tõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.

Tõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.

Valemid ja tingimused

• Otsene tõestus alustab eeldusest $P$ ja jõuab järjest põhjendatud sammudega järelduseni $Q$.
• Väite $P\Rightarrow Q$ võib tõestada ka samaväärse suuna $\neg Q\Rightarrow\neg P$ kaudu.
• Vastuväiteline tõestus eeldab tõestatava väite eitust ja jõuab vastuoluni.
• Vastuväide näitab, et üldväide ei saa olla tõene.
• Üksik näide võib väite ümber lükata, kuid ei tõesta väidet kõigi juhtude kohta.

Kiirnäide

Väide: kui täisarv $n$ jagub 4-ga, siis $n$ on paarisarv.

Otsene tõestus: kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et

$$n=4k.$$

Aga

$$4k=2(2k).$$

Kuna $2k$ on täisarv, saab $n$ kirjutada kujul $2\cdot\text{täisarv}$. Seega $n$ on paarisarv.

Loogika, hulgad ja tõestus

Tuum

Loogikas kontrollime, kas järeldus tuleb eeldustest päriselt välja. Hulk on objektide kogum. Tõestus näitab, miks väide kehtib kõigil lubatud juhtudel.

Valemid ja tingimused

$$P\Rightarrow Q$$

tähendab: kui eeldus $P$ kehtib, siis järeldus $Q$ peab kehtima.

$$4\mid n\Rightarrow 2\mid n.$$

Vastupidine suund ei pruugi kehtida:

$$2\mid n\not\Rightarrow 4\mid n,$$

sest $6$ jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

$$P\Leftrightarrow Q$$

tähendab, et mõlemad suunad kehtivad: $P\Rightarrow Q$ ja $Q\Rightarrow P$.

Hulkade põhitähised on $x\in A$, $A\subseteq B$, ühend $A\cup B$ ja ühisosa $A\cap B$.

Kiirnäide

Kui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga. Vastupidine väide ei kehti: 6 jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

Hulkade näide:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

Kui $x\in\mathbb{N}$, siis kindlasti $x\in\mathbb{Z}$. Vastupidine ei kehti: $-3\in\mathbb{Z}$, aga $-3\notin\mathbb{N}$, kui naturaalarvud algavad 1-st.

Matemaatiline induktsioon

Tuum

Matemaatiline induktsioon on tõestusviis väidetele, mis sõltuvad naturaalarvust $n$.

Intuitsioon on nagu doominorida:

• esimene doomino kukub;
• iga doomino lükkab järgmise ümber.

Kui mõlemad tingimused kehtivad, kukuvad kõik doominod. Induktsioonis tähendab see:

• väide kehtib esimese $n$ väärtuse jaoks;
• kui väide kehtib mingi $n$ jaoks, siis kehtib see ka $n+1$ jaoks.

Valemid ja tingimused

1. Baassamm: tõesta väide esimese väärtuse jaoks.
2. Induktsioonisamm: eelda, et väide kehtib $n$ korral, ja tõesta, et siis kehtib see $n+1$ korral.

Kui väidet tähistada $P(n)$, siis tõestuse kuju on:

$$P(1)\quad\text{ja}\quad P(n)\Rightarrow P(n+1).$$

Kiirnäide

Väide:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Baassamm $n=1$:

$$1=\frac{1\cdot2}{2}.$$

Baassamm kehtib.

Induktsioonieeldus: oletame, et mingi naturaalarvu $n$ korral kehtib

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Siis

$$S_{n+1}=1+2+\cdots+n+(n+1).$$

Induktsioonieelduse abil:

$$\begin{aligned} S_{n+1} &=\frac{n(n+1)}2+(n+1)\\ &=\frac{(n+1)(n+2)}2. \end{aligned}$$

See on sama valem $n+1$ korral, seega väide kehtib kõigi $n\in\mathbb N$ jaoks.

Algoritmid ja rekursioon

Tuum

Algoritm on täpne sammude jada probleemi lahendamiseks. Rekursioon tähendab, et objekt või arvutus määratletakse eelmiste väärtuste kaudu.

Hea algoritm kirjeldab:

• sisendit: millised andmed antakse;
• samme: mida nendega tehakse;
• väljundit: mis tulemus saadakse;
• lõpetamistingimust: millal töö lõpeb.

Valemid ja tingimused

Fibonacci jada:

$$F_1=1,\qquad F_2=1,$$

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.$$

Siin on peatustingimused $F_1=1$ ja $F_2=1$. Ilma nendeta ei teaks, kust arvutamist alustada.

Rekursioonis peab iga samm liikuma lihtsama juhu poole: $F_6$ vajab $F_5$ ja $F_4$, need vajavad veel varasemaid liikmeid, kuni jõutakse väärtusteni $F_1$ ja $F_2$.

Kiirnäide

Leia $F_6$.

Alustame teadaolevatest algväärtustest:

$$F_1=1,\quad F_2=1.$$

Seejärel kasutame reeglit $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$:

$$F_3=F_2+F_1=1+1=2,$$

$$F_4=F_3+F_2=2+1=3,$$

$$F_5=F_4+F_3=3+2=5,$$

$$F_6=F_5+F_4=5+3=8.$$

Probleemilahendus ja mudelid

Tuum

Matemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.

Mudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.

Valemid ja tingimused

1. Määra muutujad ja nende ühikud.
2. Sõnasta eeldused ning seos muutujate vahel.
3. Arvuta või lahenda võrrand.
4. Tõlgenda vastus algses olukorras.
5. Kontrolli ühikuid, suurusjärku ja mudeli sobivust.

Lineaarse mudeli põhikuju on $y=ax+b$, kus $a$ on muutumiskiirus ja $b$ algväärtus.

Kiirnäide

Kui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis

$$y=3x+4.$$

Siin $x$ on sisend ehk tunnid ja $y$ on väljund ehk hind eurodes.

Kui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi

$$3x+4=19.$$

Saame $3x=15$ ja $x=5$. Vastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi. Kontroll: $3\cdot5+4=19$.

Hinnangud ja ühikuanalüüs

Tuum

Hinnang aitab kontrollida, kas vastus on mõistlik. Ühikuanalüüs kontrollib, kas valem annab otsitava suuruse.

Hinnangus ei otsita alati täpset vastust. Sageli piisab suurusjärgust: kas vastus on umbes 10, 100, 1000 või miljon?

Valemid ja tingimused

$$v=\frac{s}{t}$$

on teepikkuse ühik meetrites ja aja ühik sekundites:

$$\frac{\text{m}}{\text{s}}=\text{m/s}.$$

Kiirnäide

Kui sõita 120 km kiirusega 60 km/h, siis aeg on

$$t=\frac{s}{v}=\frac{120\text{ km}}{60\text{ km/h}}=2\text{ h}.$$

Ühikud kinnitavad, et vastus on aeg.

Peastarvutuse hinnang:

$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000.$$

Täpne väärtus on 1029, seega hinnang oli mõistlik.

Finantsmatemaatika

Tuum

Finantsmatemaatika kasutab protsente, astmeid ja funktsioone raha ajas muutumise kirjeldamiseks.

Finantsülesandes tuleb eristada algsummat, intressimäära, aega, maksete arvu ja kogukulu.

Kontrolli enne arvutust ajasammu: aastaintress käib aastate, kuuintress kuude kohta.

Valemid ja tingimused

Lihtintressi korral on intress ja lõppsumma

$$I=Prt,\qquad A=P+I=P(1+rt).$$

Siin $P$ on algsumma, $r$ perioodi intressimäär ja $t$ perioodide arv.

Liitintressi korral on lõppsumma

$$A=P(1+r)^t.$$

Valemis peavad $r$ ja $t$ olema samas ajasammus: kui $r$ on aastaintress, siis $t$ on aastate arv.

Kiirnäide

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas liitintressiga 3 aastat, siis

$$A=1000\cdot1,05^3\approx1157,63.$$

Lihtintressiga oleks sama olukord:

$$A=1000(1+0,05\cdot3)=1150.$$

Kolme aasta jooksul on vahe väike, kuid pikema aja jooksul liitintressi mõju suureneb.