Määratud integraal ja pindala

Tuum

Määratud integraal

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

kirjeldab kogunenud muutust vahemikus $[a;b]$. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Kui graafik on teljest ülalpool, on panus positiivne. Kui graafik on teljest allpool, on panus negatiivne.

Valemid ja tingimused

Kui $F'(x)=f(x)$, siis

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

See on arv. Määratud integraali vastusesse ei lisata +C, sest rajad $a$ ja $b$ fikseerivad tulemuse.

Sama valemit kirjutatakse lühendina nii:

$$\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b.$$

Kiirnäide

Leia pindala graafiku $y=2x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [0;3].

Kuna vahemikus [0;3] on $2x\ge0$, on integraal sama mis pindala:

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=3^2-0^2=9.$$