Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala

Tuum

Kahe graafiku vahelise pindala leidmiseks lahuta ülemise funktsiooni väärtusest alumise funktsiooni väärtus. Rajad leitakse lõikepunktidest või antakse ülesandes.

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

Valemid ja tingimused

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

$$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$

Funktsiooni $f(x)\ge0$ graafiku pööramisel ümber $x$-telje saadud keha ruumala on

$$V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx.$$

Kui ristlõikes on välimine raadius $R(x)$ ja sisemine raadius $r(x)$, siis

$$V=\pi\int_a^b\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx.$$

Kiirnäide

Leia graafikute $y=2x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.

Lõikepunktid saad võrrandist $2x=x^2$, seega $x=0$ ja $x=2$. Vahemikus [0;2] on $2x\ge x^2$.