Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala

Enne alustamist12. klass · raskus 5/5

Mõiste

Kahe graafiku vahelise pindala leidmiseks lahuta ülemise funktsiooni väärtusest alumise funktsiooni väärtus. Rajad leitakse lõikepunktidest või antakse ülesandes.

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

Valemid ja tingimused

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

$$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$

Funktsiooni $f(x)\ge0$ graafiku pööramisel ümber $x$-telje saadud keha ruumala on

$$V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx.$$

Kui ristlõikes on välimine raadius $R(x)$ ja sisemine raadius $r(x)$, siis

$$V=\pi\int_a^b\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx.$$

Kahe kõvera pindala ja pöördkeha — Vasakul integreeritakse ülemise ja alumise graafiku vahe; paremal moodustab pöörlemisel iga ristlõige ringketta.

Näide

Leia graafikute $y=2x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.

Lõikepunktid saad võrrandist $2x=x^2$, seega $x=0$ ja $x=2$. Vahemikus [0;2] on $2x\ge x^2$.

$$A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx =\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 =\frac43.$$

Võimalikud eksimused

Esimene tüüpviga on lahutada funktsioonid vales järjekorras. Geomeetriline pindala ei saa olla negatiivne; kontrolli jooniselt, kumb graafik on ülal.

Teine tüüpviga on võtta rajad nullkohtadest, kuigi vaja on graafikute lõikepunkte. Lahenda $f(x)=g(x)$.

Seosed

See moodul ühendab integraali tasandigeomeetria ja ruumalaga. Järgmine moodul kasutab sama kogunemise mõtet liikumise, tootmise, voolu ja töö mudelites.