Määratud integraal ja pindala
Enne alustamist12. klass · raskus 5/5
Mõiste
Määratud integraal
$$\int_a^b f(x)\,dx$$
kirjeldab kogunenud muutust vahemikus $[a;b]$. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.
Kui graafik on teljest ülalpool, on panus positiivne. Kui graafik on teljest allpool, on panus negatiivne.
Valemid ja tingimused
Kui $F'(x)=f(x)$, siis
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
See on arv. Määratud integraali vastusesse ei lisata +C, sest rajad $a$ ja $b$ fikseerivad tulemuse.
Sama valemit kirjutatakse lühendina nii:
$$\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b.$$
x-teljest ülal oleva piirkonna positiivsena ja all oleva piirkonna negatiivsena.Näide
Leia pindala graafiku $y=2x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [0;3].
Kuna vahemikus [0;3] on $2x\ge0$, on integraal sama mis pindala:
$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=3^2-0^2=9.$$
Võimalikud eksimused
Integraal ja pindala ei ole alati sama arv. Kui funktsioon vahetab märki, tuleb pindala leidmiseks vahemik nullkohtade järgi osadeks jagada.
Seosed
Määratud integraal seob algfunktsiooni arvulise tulemuse ja graafilise pindala. Järgmine moodul laiendab sama mõtte kahe graafiku vahelisele pindalale ja pöördkeha ruumalale.