Pöördvõrdeline seos
Enne alustamist7. klass · raskus 3/5
Mõiste
Pöördvõrdeline seos on kujul
$$y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0.$$
Eeldus: oskad kasutada võrdeid ning kirjeldada võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna.
Siin $k\ne0$ ning korrutis $xy=k$ jääb samaks. Kui $k>0$, kahaneb funktsioon kummalgi harul eraldi; kui $k<0$, kasvab ta kummalgi harul.
Graafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus $x=0$.
Kontrollküsimus: kas korrutis jääb samaks? Kui $xy=k$, siis seos on pöördvõrdeline.
Kolme 7. klassi mudeli võrdlus:
| Mudel | Valem | Mis on püsiv? | Graafik |
|---|---|---|---|
| võrdeline | $y=kx$ | suhe $y:x=k$ | alguspunkti läbiv sirge |
| lineaarne | $y=kx+b$ | sama $x$-sammu korral sama $y$ muutus | sirge |
| pöördvõrdeline | $y=\frac{k}{x}$ | korrutis $xy=k$ | hüperbool |
Enne valemi valimist otsusta tabeli või olukorra järgi, milline suurus jääb muutumisel samaks.
Näide
Vaja on värvida 12 meetrit tara. Iga inimene värvib tunnis ühe meetri. Eeldame, et kõik töötavad sama kiiresti, saavad korraga eri lõike värvida ega sega üksteist. Tööaeg tundides on siis
$$y=\frac{12}{x},$$
kus $x$ on inimeste arv.
Kui töötegijaid on 3, siis
$$y=\frac{12}{3}=4.$$
Sama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja $x\cdot y=12$.
Kui kasutada saab ainult üht pintslit ja korraga töötab üks inimene, ei lühenda inimeste lisamine aega. Valem ei sobi igale tööle.
Sama mõtet saab kasutada ühtlase liikumise korral. Kui vahemaa on 120 km, siis
$$t=\frac{120}{v}.$$
Vastus: $v=60$ km/h annab $t=2$ h ja $v=80$ km/h annab $t=1,5$ h; korrutis $v\cdot t=120$ jääb samaks.
Mudeli piirid
Pöördvõrdeline mudel on lihtsustus ega pruugi päriselus igavesti töötada.
| Mudel | Millal sobib? | Millal enam hästi ei sobi? |
|---|---|---|
| rohkem töötegijaid, vähem aega | kõik saavad korraga ja segamata töötada | liiga palju inimesi jääb üksteisele ette |
| suurem kiirus, lühem aeg | kiirus on kogu teekonnal ligikaudu püsiv | liiklus, peatused ja kiiruspiirangud muudavad mudelit |
| suurem ühikuhind, väiksem kogus sama raha eest | hind on ühiku kohta sama | soodustused, miinimumkogused või pakendid piiravad valikut |
Võimalikud eksimused
Pöördvõrdeline ei tähenda “negatiivse tõusuga sirget”. Selle graafik ei ole sirge.
Teine tüüpviga on lubada $x=0$. Avaldis $\frac{k}{x}$ ei ole defineeritud, kui $x=0$.
Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Kui $v$ on km/h ja teepikkus on km, siis aeg tuleb tundides.
Neljas tüüpviga on kontrollida ainult seda, et üks suurus kasvab ja teine väheneb. Pöördvõrdelises seoses peab korrutis jääma samaks.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Kui $y=\frac{20}{x}$, leia $y$, kui $x=4$.
- Miks $x=0$ pole lubatud?
- Too päriseluline pöördvõrdelise seose näide.
- Kui 6 inimest teevad töö 5 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 3 inimesel?
Rakendus
- Kui vahemaa on 180 km, kirjuta aeg $t$ kiiruse $v$ kaudu.
- Kui 4 inimest teevad töö 9 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 6 inimesel?
- Sama raha on 24 eurot. Kirjuta ostetav kogus $q$ ühikuhinna $p$ kaudu.
Mõtlemisülesanne
- Kui $q=\frac{24}{p}$, leia $q$, kui $p=3$.
- Miks ei sobi töötegijate mudel alati väga suure inimeste arvu korral?
- Teepikkus on 240 km. Kui kiirus on 80 km/h, leia aeg. Mis ühikus vastus on?
- Tabelis on paarid
(2;12),(3;8),(4;6). Kas seos võib olla pöördvõrdeline? Põhjenda.
Vastused
- $5$, sest $20:4=5$; kontrolliks $x\cdot y=4\cdot5=20$.
- Nulliga ei saa jagada; valem $\frac{k}{x}$ pole siis defineeritud ja $x=0$ tuleb välistada.
- Näiteks kindla vahemaa läbimiseks kuluv aeg ühtlase kiiruse korral: $t=s/v$, kus $s$ on püsiv ja $v>0$.
- Töö kogus on $6\cdot5=30$ inimtundi, seega $30:3=10$ tundi.
- $t=\frac{180}{v}$, kus $v\ne0$ ja konstant 180 on teepikkus.
- Töö kogus on $4\cdot9=36$ inimtundi, seega $36:6=6$ tundi.
- $q=\frac{24}{p}$, kus $p\ne0$ ja konstant 24 on raha kogus.
- Kui sisend on $p=3$, siis väljund on $q=\frac{24}{3}$, ehk $q=8$.
- Inimesed võivad üksteist segada, tööpind võib olla piiratud ja osa töid ei saa korraga teha.
- $t=\frac{240}{80}=3$ tundi.
- Jah, sest korrutis on alati 24: $2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6=24$.
Seosed
Pöördvõrdeline seos näitab, et mitte iga vähenemine ei ole lineaarne. Järgmine ruutfunktsiooni peatükk lisab veel ühe graafiku kuju: parabooli, kus muutumise kiirus ise muutub.