Murdavaldised

Mõiste

Murdavaldis on avaldis, mille nimetajas on muutuja, näiteks

$$\frac{x+1}{x-3}.$$

Avaldist saab lihtsustada või selle väärtust arvutada, kui $x$ on antud. Näiteks $x=4$ korral on väärtus $\frac{4+1}{4-3}=5$. See ei ole veel võrrand, millest otsida $x$-i.

Nimetaja ei tohi olla null: selles näites ei sobi $x=3$.

Eeldus: oskad harilike murdudega arvutada, tegurdada ja lahendada lihtsaid võrrandeid, millega leitakse nimetaja nullkohad.

Määramispiirkond näitab, milliste muutujaväärtuste korral avaldis on defineeritud. Murdavaldise puhul tuleb välistada kõik väärtused, mis teevad nimetaja nulliks.

Kahe tiimi suuruste suhe

Kahes tiimis oli kummaski $x$ inimest. Esimesse lisandub üks, teisest lahkub kolm. Uued suurused on $x+1$ ja $x-3$, seega esimese tiimi suuruse suhe teise tiimi suurusse on $\frac{x+1}{x-3}$.

Suhe 5 tähendab viis korda nii palju inimesi. Tiimide näites peab $x$ olema täisarv vähemalt 4, et teine tiim ei jääks tühjaks. Avaldist ennast saab arvutada kõigi reaalarvude korral peale $x=3$: olukorra piirang ja avaldise määramispiirkond on eri asjad.

Reeglid

1. Leia keelatud väärtused algse nimetaja järgi.
2. Tegurda lugeja ja nimetaja.
3. Taanda ainult ühiseid tegureid.
4. Liitmisel või lahutamisel vii murdavaldised ühisele nimetajale.

Keelatud väärtused jäävad vastuse juurde ka siis, kui neid põhjustanud tegur hiljem taandub.

Lihtsustatud kuju on algse avaldisega samaväärne ainult algse määramispiirkonna sees.

Kui nimetaja on ruutavaldis, leia keelatud väärtused tegurdamise või ruutvõrrandi abil.

Näide

Taandamisel jagame lugeja ja nimetaja sama nullist erineva teguriga:

$$\frac{6x}{9x}=\frac{2\cdot3\cdot x}{3\cdot3\cdot x}=\frac23,\qquad x\ne0.$$

Siin taandame ühise teguri $3x$. Tingimus $x\ne0$ tuleb algsest nimetajast $9x$.

Avaldis

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

lihtsustub tegurdamise abil:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,$$

aga ainult tingimusel $x\ne3$.

Määramispiirkond enne taandamist:

$$\frac{x^2-4}{x^2-2x}.$$

Kõigepealt nimetaja:

$$x^2-2x=x(x-2).$$

Seega $x\ne0$ ja $x\ne2$. Nüüd tegurdame kogu avaldise:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}.$$

Taandame ühise teguri $x-2$:

$$\frac{x+2}{x},$$

aga tingimused jäävad alles:

$$x\ne0,\qquad x\ne2.$$

Kuigi lihtsustatud avaldises $\frac{x+2}{x}$ ei paista enam tegurit $x-2$, ei tohi $x=2$ algses avaldises lubatud olla.

Ühise nimetajaga liitmine:

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}.$$

Ühine nimetaja on $x(x+1)$, kus $x\ne0$ ja $x\ne-1$.

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3x}{x(x+1)}.$$

$$=\frac{2x+2+3x}{x(x+1)}=\frac{5x+2}{x(x+1)}.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millise $x$ korral pole $\frac{5}{x+2}$ defineeritud?
2. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x-2}$.
3. Miks ei saa avaldises $\frac{x+2}{x}$ taandada lugejast ainult $x$-liiget ära?
4. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-9}$.

Rakendus

5. Liida $\frac1x+\frac2{x+3}$.
6. Lihtsusta $\frac{x^2-16}{x-4}$ ja kirjuta tingimus.
7. Lihtsusta $\frac{x^2-3x}{x}$ ja kirjuta tingimus.

Mõtlemisülesanne

8. Leia määramispiirkond avaldisele $\frac{x+5}{x^2+x-6}$.
9. Liida $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}$ ja kirjuta tingimused.
10. Selgita, miks $\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}$ ei ole defineeritud väärtusel $x=2$, kuigi pärast taandamist jääb $x+4$.
11. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-5x+6}$.

Vastused

1. Keelatud väärtus on $x=-2$, seega määramispiirkonnas peab $x\ne-2$.
2. $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne2$.
3. $x+2$ ei ole korrutis, kus $x$ oleks eraldi tegur.
4. Kuna $x^2-9=(x-3)(x+3)$, siis $x\ne3$ ja $x\ne-3$.
5. $\frac{x+3+2x}{x(x+3)}=\frac{3x+3}{x(x+3)}$, kus $x\ne0,-3$; tingimus tuleb algsetest nimetajatest $x$ ja $x+3$.
6. $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne4$.
7. $\frac{x(x-3)}{x}=x-3$, kus $x\ne0$; taandada tohib alles pärast selle tingimuse märkimist.
8. $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, seega $x\ne-3$ ja $x\ne2$.
9. $\frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$, kus $x\ne1,-1$; need on algsete nimetajate nullkohad.
10. Algse avaldise nimetaja oleks siis $x-2=0$. Nulliga jagada ei saa; taandamine ei muuda algse avaldise keelatud väärtust.
11. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, seega $x\ne2$ ja $x\ne3$.

Seosed

Murdavaldised kasutavad samu ideid nagu arvumurrud, kuid lisavad määramispiirkonna. Järgmine peatükk rakendab neid tingimusi korrutamisel, jagamisel, astendamisel ning mitme tehtega ratsionaalavaldistes.

Kui kirjutame $\frac{x+1}{x-3}=2$, saame murdvõrrandi: nüüd otsime sobivat $x$-i. Murdavaldiste teisendamine kuulub Mapikus 9. klassi; murdvõrrandite lahendamine on 10. klassi teema.