Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos
Enne alustamist7. klass · raskus 2/5
Mõiste
Funktsioon on reegel, mis annab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja funktsiooni nimi $f$, kirjutame väljundi kujul
$$y=f(x).$$
Eeldus: oskad avaldisse arvu asendada, tabelit lugeda ning punkti $(x;y)$ koordinaattasandile kanda.
Tähed on nimed. Kirjutised $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ võivad tähistada eri funktsioone. Ka sisendi nimi võib muutuda: valemis $h(t)=2t+3$ on funktsiooni nimi $h$ ja sisend $t$. Funktsiooni mõte jääb samaks.
Sama funktsiooni saab esitada neljal viisil:
- sõnadega: mida sisendiga tehakse;
- tabelina: valitud sisendite ja väljundite paarid;
- valemina: näiteks $f(x)=2x+1$;
- graafikuna: punktid $(x;f(x))$ koordinaattasandil.
Lubatud sisendite hulka nimetatakse määramispiirkonnaks. Näiteks klassi õpilaste arv ei saa olla negatiivne ega murdarv.
Kui vajad abi
Loe $f(3)$ nii: „funktsiooni $f$ väärtus sisendi 3 korral”. Asenda valemis $x$ arvuga 3 ja arvuta kogu avaldis.
Õpetaja lisasoovitused
Lase õpilasel liikuda ühes näites sõnadest tabeli ja valemini ning sealt graafikule. Kontrolli eraldi, kas ta eristab funktsiooni nime, sisendi nime ja väljundit.
Ava graafikuvaatleja ja sea $a=2$, $b=1$. Palu koostada kolme sisendi tabel ning võrrelda seda graafiku ja väärtusekontrolliga.
Kui õpilane ajab sisendi ja väljundi segamini, palu tal öelda seos ühe täislausega: millest tulemus sõltub?
- Miinimum: õpilane leiab valemi järgi ühe funktsiooni väärtuse.
- Tavarada: õpilane seob tabeli, valemi ja graafiku punktid.
- Lisaväljakutse: õpilane põhjendab, kas etteantud vastavus on funktsioon.
Näide
Jalgratta laenutus maksab 3 eurot alustuseks ja 2 eurot iga täistunni eest. Olgu $t$ tundide arv ja $h(t)$ hind eurodes. Siis
$$h(t)=2t+3.$$
| Aeg $t$ tundides | Hind $h(t)$ eurodes |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 4 | 11 |
| 5 | 13 |
Siin $t=0$ tähendab laenutuse algust: 3 eurot tuleb tasuda ka enne esimese tunni möödumist.
Kui $t=4$, siis
$$h(4)=2\cdot4+3=11.$$
Tabeli paar $(4;11)$ tähendab, et nelja tunni hind on 11 eurot. Graafikul tähistab seda sama punkt $(4;11)$.
Vastus: $h(4)=11$ eurot.
Võimalikud eksimused
Tüüpviga on arvata, et $f$ või $h$ on sisend. Avaldises $h(t)$ on $h$ funktsiooni nimi ja $t$ sisend.
Teine viga on anda samale sisendile kaks eri väljundit. Kui tabelis vastab sisendile 2 nii 5 kui 7, ei kirjelda tabel ühte funktsiooni.
Kolmas viga on ühendada graafikul kõik punktid automaatselt. Kui sisend saab olla ainult täisarv, võivad ka graafikul olla ainult eraldi punktid.
Katseta graafikul
Ava lineaarne seos graafikuvaatlejas. Sea $a=2$, $b=1$. Arvuta $y$ sisendi $x=3$ korral ja kontrolli tulemust rakenduse $x$-väljal.
Sisend ja väljund
Avage sama seos. Paluge õppijal valida sisend ja ennustada väljund enne selle kontrollimist. Küsige, kumba arvu näitab graafiku punktis esimene koordinaat.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Kui $f(x)=3x-2$, leia $f(4)$.
- Valemis $p(n)=5n$ nimeta funktsioon ja sisend.
- Kirjuta valemi $y=x+4$ järgi punkt, mille $x=2$.
Rakendus
- Koosta valemi $g(x)=2x+1$ väärtuste tabel sisenditele $0$, $1$ ja $3$.
- Kas paarid $(1;4)$, $(2;5)$ ja $(1;6)$ kirjeldavad ühte funktsiooni? Põhjenda.
- Kinopilet maksab 7 eurot. Kirjuta $n$ pileti koguhinna funktsioon $H(n)$.
Mõtlemisülesanne
- Funktsiooni tabelis on paarid $(0;3)$, $(1;5)$, $(2;7)$ ja $(3;9)$. Paku sobiv valem.
- Too näide funktsioonist, mille eri sisendid annavad sama väljundi.
- Miks ei sobi inimese pikkuse sisendiks negatiivne arv? Millist funktsiooni võiks pikkus mõjutada?
Vastused
- $f(4)=3\cdot4-2=10$.
- Funktsiooni nimi on $p$ ja sisend on $n$.
- $(2;6)$, sest $2+4=6$.
- Paarid on $(0;1)$, $(1;3)$ ja $(3;7)$.
- Ei, sest sisendile 1 on antud kaks eri väljundit.
- $H(n)=7n$, kus $n$ on piletite arv.
- Näiteks $y=2x+3$, sest iga sisendi suurenemisel ühe võrra kasvab väljund kahe võrra.
- Näiteks $f(x)=x^2$: sisendid $-2$ ja 2 annavad mõlemad väljundi 4.
- Pikkus on mõõdetav kaugus ega saa selles olukorras olla negatiivne; näiteks võib pikkusest sõltuda sobiva rõivasuuruse valik.
Seosed
Järgmine peatükk uurib võrdelist seost, kus väljundi ja sisendi suhe on püsiv ning graafik läbib alguspunkti.