Tabelid, diagrammid ja keskmised
Enne alustamist7. klass · raskus 2/5
Mõiste
Statistika aitab andmeid tõlgendada.
Eeldus: oskad liita, jagada, järjestada arve ning lugeda lihtsat tabelit.
Põhimõisted
- Sagedus: mitu korda väärtus esineb.
- Suhteline sagedus: sageduse osa kõigist andmetest.
- Aritmeetiline keskmine: summa jagatud väärtuste arvuga.
- Mediaan: järjestatud andmete keskel olev väärtus; paarisarvu vaatluste korral kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine.
- Mood: kõige sagedasem väärtus.
| Näitaja | Kuidas leitakse? | Millal on kasulik? |
|---|---|---|
| aritmeetiline keskmine | liida kõik väärtused ja jaga väärtuste arvuga | kui erandeid ei ole palju |
| mediaan | järjesta; võta keskmine väärtus või kahe keskmise aritmeetiline keskmine | kui on väga suur või väike erand |
| mood | leia kõige sagedasem väärtus | kui huvitab kõige tavalisem valik |
Sagedustabel näitab, mitu korda väärtused korduvad.
Näide
Üks pakk kaalub 1 kg, teine 2 kg. Kahe paki kogumass on 3 kg, seega keskmine mass on
$$\frac{1+2}{2}=1,5\text{ kg}.$$
Üldiselt liida kõik massid ja jaga pakkide arvuga. Sama reegel kehtib teistegi arvandmete puhul.
Andmed: 2, 4, 4, 5, 10.
Keskmine:
$$\frac{2+4+4+5+10}{5}=5.$$
Mediaan on 4 ja mood on 4.
Sagedustabel:
| Väärtus | Sagedus |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 5 | 1 |
| 10 | 1 |
Erandi korral võib mediaan olla tüüpilisem kui keskmine. Näiteks andmetes 2, 4, 4, 5, 100 on keskmine
$$\frac{2+4+4+5+100}{5}=23,$$
aga mediaan on 4.
Väikese andmestiku täielik analüüs
Küsiti 10 õpilaselt, mitu minutit nad eelmisel päeval matemaatikat harjutasid:
$$10,\ 15,\ 20,\ 20,\ 25,\ 30,\ 30,\ 30,\ 45,\ 75.$$
Sagedustabel:
| Harjutamise aeg minutites | Sagedus |
|---|---|
| 10 | 1 |
| 15 | 1 |
| 20 | 2 |
| 25 | 1 |
| 30 | 3 |
| 45 | 1 |
| 75 | 1 |
Keskmine:
$$\frac{10+15+20+20+25+30+30+30+45+75}{10}=\frac{300}{10}=30.$$
Mediaan: andmeid on 10, seega võtame 5. ja 6. väärtuse:
$$\frac{25+30}{2}=27,5.$$
Mood on 30, sest 30 minutit esineb kõige sagedamini.
Vastus: tüüpiline harjutamise aeg oli umbes 30 minutit. Väärtus 75 tõstab keskmist üles; mediaan on 27,5 minutit.
Diagrammi valik sõltub küsimusest: tulpdiagramm võrdleb rühmi, joondiagramm muutust ajas ja sektordiagramm terviku jaotust.
Võimalikud eksimused
Keskmine ei pruugi kirjeldada tüüpilist väärtust, kui andmetes on suur erand.
Teine tüüpviga on mediaani leidmine ilma andmeid järjestamata. Mediaani jaoks tuleb andmed alati enne suuruse järjekorda panna.
Kolmas tüüpviga on kirjutada järeldus ilma andmeteta. Väide “õpilased harjutasid palju” on ebamäärane. Parem on: “Kõige sagedasem harjutamise aeg oli 30 minutit ja mediaan oli 27,5 minutit.”
Harjutused
Lihtne kontroll
- Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 aritmeetiline keskmine.
- Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mediaan.
- Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mood.
- Andmed on 1, 2, 2, 3, 40. Kumb kirjeldab tüüpilist väärtust paremini: keskmine või mediaan?
Rakendus
- Tee sagedustabel andmetele 1, 1, 2, 4, 4, 4.
- Leia andmete 6, 8, 8, 10, 13, 15 aritmeetiline keskmine.
- Leia samade andmete mediaan.
- Tartu kooli spordipäeval koguti kaugushüppe tulemused meetrites: 2,1; 2,4; 2,4; 2,8; 3,0. Leia mediaan.
Mõtlemisülesanne
- Leia ülesandes 8 antud kaugushüppetulemuste mood.
- Õpilaste lugemisaeg minutites oli 5, 10, 10, 15, 20, 60. Leia keskmine ja mediaan. Kumb kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini?
- Millist diagrammi kasutaksid, kui võrdled lemmikspordialade valikuid?
- Kui 30 õpilasest 12 valis korvpalli, leia korvpalli suhteline sagedus.
Vastused
- $6$, sest summa 30 jagatakse 5 väärtusega.
- $4$, sest järjestatud andmete keskel on 4.
- $3$, sest see esineb kõige sagedamini.
- Mediaan, sest $40$ tõstab aritmeetilist keskmist palju.
- $1$: 2 korda, $2$: 1 kord, $4$: 3 korda.
- $\frac{6+8+8+10+13+15}{6}=10$.
- $\frac{8+10}{2}=9$.
- $2,4$ m.
2,4 m, sest see kaugushüppetulemus esineb kaks korda, teised ühe korra.- Keskmine on $\frac{120}{6}=20$, mediaan on $\frac{10+15}{2}=12,5$. Mediaan kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini, sest 60 minutit on erandlikult suur.
- Tulpdiagrammi, sest võrreldakse valikurühmi.
- $\frac{12}{30}=0,4=40\%$ õpilastest; suhteline sagedus on osa kõigist.
Seosed
Statistika toetab tõenäosust, uurimistöid, mudelite hindamist ja andmepõhist otsustamist. Järgmises peatükis muutub suhteline sagedus sillaks tõenäosuse mõisteni.