Teisendused ja sümmeetria
Enne alustamist8. klass · raskus 3/5
Mõiste
Geomeetriline teisendus viib kujundi punktid uutesse asukohtadesse. Olulised teisendused on lüke, peegeldus, pööre ja homoteetsus.
Eeldus: tunned punkti, sirget, nurka ja sümmeetriatelge. Kui koordinaadid on ebakindlad, korda enne punkti $(x;y)$ lugemist.
Mapiku soovitus: 8. klass. Sümmeetria kordab varasemat; homoteetsus on sarnasuse lisateema, mitte kõigile kohustuslik termin. Positiivse teguriga homoteetsus suurendab või vähendab kujundit kindla keskpunkti suhtes: kaugused keskpunktist korrutatakse teguriga $k>0$. Kui $k=1$, ei muutu midagi.
Lükke puhul liigub iga punkt sama nihega: sama palju ja samas suunas.
Teisendused joonistel
| Teisendus | Mis muutub? | Mis jääb samaks? |
|---|---|---|
| lüke | asukoht | kuju, suurus ja suund |
| peegeldus | asukoht ja suund | kuju ja suurus |
| pööre | asukoht ja suund | kuju ja suurus |
| homoteetsus | asukoht ja suurus | kuju |
Koordinaatides
Peegeldus $x$-telje suhtes:
$$(x;y)\mapsto(x;-y).$$
Peegeldus $y$-telje suhtes:
$$(x;y)\mapsto(-x;y).$$
Mäluabi: peegeldus $x$-telje suhtes muudab $y$-koordinaadi märki, peegeldus $y$-telje suhtes muudab $x$-koordinaadi märki.
Lüke vektoriga (a; b):
$$(x;y)\mapsto(x+a;y+b).$$
Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:
$$(x;y)\mapsto(-y;x).$$
Homoteetsus teguriga $k>0$ alguspunkti suhtes:
$$(x;y)\mapsto(kx;ky).$$
Koordinaatreeglit saab kontrollida ühe punktiga:
| Teisendus | Reegel | Punkti (2; -3) kujutis |
|---|---|---|
| peegeldus $x$-telje suhtes | $(x;y)\mapsto(x;-y)$ | (2; 3) |
| peegeldus $y$-telje suhtes | $(x;y)\mapsto(-x;y)$ | (-2; -3) |
lüke vektoriga (4; 1) |
$(x;y)\mapsto(x+4;y+1)$ | (6; -2) |
| pööre $90^\circ$ vastupäeva | $(x;y)\mapsto(-y;x)$ | (3; 2) |
| homoteetsus teguriga $2$ | $(x;y)\mapsto(2x;2y)$ | (4; -6) |
Kui teisendad tervet kujundit, rakenda sama reeglit kõigile tippudele.
Näide
Punkt (3; -2) peegeldub $x$-telje suhtes punktiks (3; 2).
Lüke vektoriga (-3;4):
$$(2;5)\mapsto(2-3;5+4)=(-1;9).$$
Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:
$$(3;2)\mapsto(-2;3).$$
Homoteetsus teguriga $2$ alguspunkti suhtes:
$$(3;2)\mapsto(6;4).$$
Kolmnurga tippudele saab sama reeglit rakendada eraldi. Kui
$$A(1;1),\quad B(4;1),\quad C(2;3),$$
ja teeme lükke vektoriga (-2; 3), siis
$$A'(-1;4),\quad B'(2;4),\quad C'(0;6).$$
Kõik punktid liikusid 2 ühikut vasakule ja 3 ühikut üles. Kujundi suurus ja kuju ei muutunud.
Kui sama kolmnurk peegeldada $y$-telje suhtes, siis
$$A'(-1;1),\quad B'(-4;1),\quad C'(-2;3).$$
Siin muutub kujundi suund nagu peeglis, aga pikkused jäävad samaks.
Vastus: lükke järel on tipud $A'(-1;4)$, $B'(2;4)$, $C'(0;6)$; peegelduse järel $A'(-1;1)$, $B'(-4;1)$, $C'(-2;3)$.
Võimalikud eksimused
Peegeldusel ei vahetata alati koordinaate. Koordinaatide vahetamine $(x;y)\mapsto(y;x)$ on peegeldus sirge $y=x$ suhtes.
Teine tüüpviga on nimetada homoteetsust lükkeks. Lüke ei muuda suurust, homoteetsus võib suurust muuta.
Kolmas tüüpviga on pööramisel ainult märki vahetada. Pöördel $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti ei ole reegel $(x;y)\mapsto(-x;y)$, vaid
$$(x;y)\mapsto(-y;x).$$
Näiteks (5; -1) läheb punktiks (1; 5).
Harjutused
Lihtne kontroll
- Peegelda punkt
(-4; 1)$y$-telje suhtes. - Nihuta punkt
(2; 5)vektoriga(-3; 4). - Milline teisendus säilitab kujundi suuruse, aga muudab asukohta?
- Pööra punkt
(5; -1)$90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti.
Rakendus
- Rakenda punktile
(-2; 3)homoteetsust teguriga $3$ alguspunkti suhtes. - Peegelda punkt
(6; -2)$x$-telje suhtes. - Tee punktile
(-1; 4)lüke vektoriga(5; -3).
Mõtlemisülesanne
- Pööra punkt
(-3; 2)$90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti. - Kolmnurga tipud on
A(0;1),B(2;1),C(1;4). Tee lüke vektoriga(3; -2). - Milline teisendus võib muuta kujundi suurust: lüke, peegeldus, pööre või homoteetsus?
Vastused
(4; 1), sest peegeldus $y$-telje suhtes muudab $x$-koordinaadi märki.(-1; 9), sest lüke lisab koordinaatidele(-3; 4).- Lüke, peegeldus ja pööre säilitavad suuruse; kõige otsesem "asukoha muutmine sama suunaga" on lüke.
(1; 5), sest $90^\circ$ vastupäeva pöörde reegel on $(x;y)\mapsto(-y;x)$.(-6; 9), sest homoteetsus teguriga 3 korrutab mõlemad koordinaadid.(6; 2), sest peegeldus $x$-telje suhtes muudab $y$-koordinaadi märki.(4; 1), sest(-1+5;4-3)=(4;1).(-2; -3), sest $(x;y)\mapsto(-y;x)$.A'(3; -1),B'(5; -1),C'(4; 2), sest iga tipp liigub 3 paremale ja 2 alla.- Homoteetsus teguriga $k>0$, kui $k\ne1$; teguriga 1 jääb kujund samaks.
Seosed
Teisendused seovad geomeetria koordinaatidega: sama reeglit saab rakendada punktidele, kujunditele ja hiljem vektoritele. See valmistab ette koordinaatteljestiku, vektorite ja funktsioonide graafikute teisendused.